山东科技大学概率统计简明教程习题主编卓相来八详细答案_石油大学出版社
山东科技大学2019-2020第二学期概率论与数理统计考试A卷答案
山东科技大学2019—2020学年第二学期《概率论与数理统计》考试试卷答案（A 卷）一、选择题1. A ，2. C,3. D,4. B, 5 C二、填空题1.14， 2. 0.3， 3. 45， 4. 31， 5. 19三、计算题1.解(1)：)3,2,1(=i A i 分别表示所取的产品是甲，乙，丙车间生产的事件，B ：“取得的产品为次品”。
25.0)(1=A P ，1(|)0.05P B A =，25.0)(2=A P ，2(|)0.03P B A = 5.0)(3=A P ，3(|)0.02P B A =……………………………..3分 由全概率公式 ∑==31)|()()(i i i A B P A P B P0.250.050.250.030.50.02=⨯+⨯+⨯＝0.03…………………………6分 (2)由贝叶斯公式11131()()0.250.05()0.41670.03()()iii P A P B A P A B P A P B A =⨯===∑……………6分2.解：(1)由概率密度性质1301()4cf x dx cx dx ∞-∞===⎰⎰，所以4c =...............2分 (2) 由概率密度函34,01,()0,.x x f x ⎧<<=⎨⎩其他a. 当0x ≤时，{}()0F x P X x =≤=b. 当01x <<时，340()()4xxF x f t dt t dt x -∞===⎰⎰c. 当 1x ≥时，{}()1F x P X x =≤=故X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≤⎩……………………………4分 （3）411111()(1)()022216P X F F ⎧⎫-<<=--=-=⎨⎬⎩⎭………………………………….4分 3. 解:（1）由已知有222012201()(,)330X x xy dy x xx f x f x y dy +∞-∞⎧⎛⎫+=+≤≤⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪⎩⎰⎰其它……….4分12011101()(,)33602Y x xy dx yx f y f x y dx y +∞-∞⎧⎛⎫+=+≤≤⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪≤≤⎩⎰⎰0…………………..4分 （2）由于2211201,02()()(,)3360X Y x x y x y f x f y f x y ⎧⎛⎫⎛⎫++≤≤≤≤⎪ ⎪⎪=≠⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎩所以X 与Y 不相互独立……………………………………………………………………………2分四．综合题1. 解(1)1()()1E X xf x dx x x dx θθθθ∞∞-+-∞===-⎰⎰，由1X θθ=-，所以 θ的矩阵估计量为ˆ1X X θ=-……………6分 构造似然函数(1)121(),,,,1nj n j L x x x x θθθ-+==>∏，………5分对似然函数取对数 1ln ()ln (1)ln nj j L n x θθθ==-+∑，………2分令方程1ln ()ln 0nj j d L n x d θθθ==-=∑，………………………………3分所以θ的最大似然估计量为1ˆln njj nxθ==∑………………4分2．问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=，……………2分0H 的否定域为2(4)t t α>………………4分计算可得 3.252X =，52211(5)0.000174i i S X X ==-=∑，0.013S =……………3分0.005(4) 4.6041t =， 3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=………………4分 因为0.0050.345 4.6041(4)t t =<=，所以接受0H ，即可以认为这批砂矿镍含量为3.25…………………………2分。
工程数学-概率统计简明教程答案
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件� A (1) 抛一枚硬币两次�观察出现的面�事件}{两次出现的面相同�A � (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数�事件{�A 一分钟内呼叫次数不超过次}� 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只�测试其寿命�事件{�A 寿命在到小时之间}。
20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(����������� )},(),,{(�����A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数�则 },2,1,0|{������k k X � }3,2,1,0|{���k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命�单位�小时��则 )},0({�����X � )}2500,2000({��X A . 2. 袋中有10个球�分别编有号码1至10�从中任取1球�设�A {取得球的号码是偶数}��B {取得球的号码是奇数}�{取得球的号码小于5}�问下列运算表示什么事件� �C (1)�(2)B A �A B �(3)�(4)A C A C �(5)C A �(6)C B ��(7)C A �. 解(1) 是必然事件� ��B A � (2) ��A B 是不可能事件� (3) {取得球的号码是2�4}� �A C (4) �A C {取得球的号码是1�3�5�6�7�8�9�10}� (5) �C A {取得球的号码为奇数�且不小于5}�{取得球的号码为5�7�9}� (6) ��C B C B ��{取得球的号码是不小于5的偶数}�{取得球的号码为6�8�10}�(7) ���C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6�8�10} 3. 在区间上任取一数�记]2,0[���������121x x A ����������2341x x B �求下列事件的表达式�(1)�(2)B A �B A �(3)B A �(4)B A �. 解(1) ���������2341x x B A �;(2) ������������B x x x B A �21210或����������������2312141x x x x �;(3) 因为B A ��所以��B A � (4)������������223410x x x A B A 或��������������223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件� C B A ,,(1) 出现�都不出现�记为�� A C B ,1E (2) 都出现�不出现�记为�� B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现�记为�� 3E(4) 三个事件中至少有一个出现�记为�� 4E(5) 三个事件都不出现�记为�� 5E (6) 不多于一个事件出现�记为�� 6E (7) 不多于两个事件出现�记为�� 7E (8) 三个事件中至少有两个出现�记为�。
山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容习题三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设试求：（1）的联合分布律；（2）解（1）的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1)下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0.第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为.第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得于是所求的分布律为0 10 01（2）=2. 将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。
试写出的联合分布律.解由表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为，所以，的取值为，的取值为，且于是而均为不可能事件.所求的的联合分布律为0 1 2 31 0 03 03. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求的联合分布律.解的取值为，的取值为,其联合分布律为0 1 2 30 0 01 02 04. 设二维随机变量概率密度为求:（1）常数；（2）；（3）；（4）.解（1）由概率密度的性质，得,故.于是(4）.5. 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中，试求关于的一元二次方程无实根的概率.解二维随机变量在区域服从均匀分布，由的面积，所以的概率密度为若关于的一元二次方程无实数根，则判别式的一元二次方程无实数根的概率为.6. 设与的联合概率密度为求与的联合分布函数解7. 设与的联合概率密度为 yO图3-7其中区域如图3-7所示，试求与的边缘概率密度. 2 解8. 二维随机变量概率密度为试求:（1）确定常数；（2）边缘概率密度.解（1）由概率密度的性质，得,故.于是(2) 的边缘概率密度的边缘概率密度9. 设袋中有标记为的四张卡片，从中不放回地抽取两张，表示首次抽到的卡片上的数字，表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 .（1）求的概率分布；（2）给出与的边缘分布；（3）求在下的条件概率分布和在下的条件概率分布.解 (1) 的取值为，的取值为,的概率分布为1 2 3 4123 0（2）给出与的边缘分布1 2 3 41 2 3（3）求在下的条件概率分布1 2 3在下的条件概率分布1 410. 在第8题中，试求（1）已知事件发生时的条件概率密度；（2）.解（1）由已知事件发生时的条件概率密度（2）.由当时11. 设服从区域上的均匀分布，设区域；（1）写出的联合密度函数；（2）给出与的边缘密度函数；(3）求在时的条件密度函数和在时的条件密度函数；. （4）求概率.解（1）区域的面积.的联合密度函数为（2）与的边缘密度函数；（3），在时的条件密度函数已知事件发生时的条件概率密度（4）概率12. 二维随机变量概率密度为求解从而于是从而13. 相互独立，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表完成上述表格中的空格.解. 相互独立，有的可能取值有，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表14. 已知随机变量与的分布律分别为-1 0 1 0 1已知 .试求（1）与的联合分布律；（2）与是否相互独立？为什么？解（1）由可知故因而与的联合分布律的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表由以上结果，，于是与不独立.15. 二维随机变量概率密度为试求（1）与是否相互独立？为什么？；(2），与，其中解（1）的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意的常数有.所以与是否相互独立（2）与，其中16. 与是相互独立的随机变量,在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为试求与的联合概率密度；设含有的二次方程，试求有实根的概率.解（1）在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度（2）含有的二次方程，若有实根，则判别式的二次方程，若有实根的概率为17. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于”的概率. 解在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量与在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度事件“两数之和小于”的概率.18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为的指数分布，即的概率密度为现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率；(2)恰好用两根钻头的概率。
概率与数理统计第四版(简明版)课后习题答案
随机变量的函数及其分布
总结词
描述通过函数变换得到的随机变量的概率分 布情况。
详细描述
对于一个或多个随机变量，通过函数变换可 以得到新的随机变量。这些新随机变量的概 率分布可以通过对原随机变量的概率分布进 行函数变换得到。例如，如果X是一个随机 变量，f(X)是关于X的函数，那么f(X)的概率 分布可以通过对X的概率分布进行函数变换 得到。常见的函数变换包括线性变换、幂函 数变换等。在得到新随机变量的概率分布后， 可以进一步分析其性质和特征。
多元线性回归分析的假设包括线性关系、误差项独立同分 布以及误差项的无偏性。
详细描述
在进行多元线性回归分析之前，需要检验各因变量与自变 量之间的线性关系，并确保误差项独立且服从相同的分布 ，同时误差项的均值为零，以保证估计的回归系数是无偏 和有效的。
总结词
多元线性回归分析的应用范围广泛，包括经济、金融、生 物、医学和社会科学等领域。
随机变量的定义与性质
随机变量是定义在样本 空间上的一个实值函数 ，其取值随试验结果的 变化而变化。
随机变量具有可加性、 独立性、有限可加性等 性质，这些性质在随机 变量的计算和推导中有 着重要的应用。
离散型随机变量是取有 限个或可数个值的随机 变量，其分布律是一个 离散的概率分布。常见 的离散型随机变量包括 二项分布、泊松分布等 。
边缘概率分布与条件概率分布
总结词
描述随机变量的边缘概率分布和条件概 率分布，即考虑某些变量的取值对其他 变量的概率分布的影响。
VS
详细描述
边缘概率分布是指考虑某些随机变量的取 值后，其他随机变量的概率分布情况。对 于两个随机变量X和Y，X的边缘概率分布 表示为P(X)，表示在给定Y取某个值的条件 下，X的概率分布。条件概率分布则表示在 给定某个事件发生的条件下，其他随机变 量的概率分布情况。条件概率分布表示为 P(X|Y)，表示在Y取某个值的条件下，X的 概率分布。
山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第七章详细答案_石油大学出版社
20、设总体,其中为已知,为未知参数,就是来自总体得一个样本,现有未知参数得两个无偏估计量
试问那一个更有效?
解
当时,更有效、
21、设就是来自总体得一个样本,其中为已知,试证
就是未知参数得无偏估计量、
解
所以就是未知参数得无偏估计量、
22、设统计量与就是未知参数得两个相互独立得无偏估计量,且,,试确定常数,使得就是未知参数得无偏估计,并使最小?
习题七
1、已知总体得概率密度为其中为未知参数,就是来自总体得一组样本,试求得最大似然估计量、
解构造似然函数,
故,令,
所以得最大似然估计量为
2.已知总体得概率密度为其中为已知,为未知参数,就是来自总体得样本,试求得矩估计量与最大似然估计量、
解,
由,所以得矩估计量为、
构造似然函数,
令方程
所以得最大似然估计量为、
解这里
方差比/得置信水平为得置信区间为
即、
17、为比较甲、乙两种灯泡得寿命,从甲型灯泡中随机抽取只,测得样本均值为(小时),样本标准差为(小时);从乙型灯泡中随机抽取只,测得样本均值为(小时),样本标准差为(小时)、假定甲、乙两种灯泡得寿命分别服从正态分布与,且相互独立、试求两个正态分布得方差比得置信水平为得置信区间、
15、某公司利用两条自动化流水线罐装矿泉水,现从两条自动化流水线上生产得矿泉水中分别抽取瓶与瓶,并测量每瓶矿泉水得体积(毫升),进而算得样本均值分别为与,样本方差分别为与、假定这两条自动化流水线所装矿泉水得体积都分别服从正态分布与,试求得一个置信水平为得置信区间、
解这里
得置信水平为得置信区间为
16、设两位化验员独立地对某钟化合物得含氯量用相同得方法各作次测量,其测量值得样本方差分别为,,设,分别为化验员所测量得测量值总体得方差,总体均为正态总体,求方差比/得置信水平为得置信区间、
概率统计简明教程(第四版)课后答案
习 题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
中国石油大学《概率论与数理统计》复习试题与答案
概率论与数理统计》期末复习题一、填空题1. (公式见教材第10页P10) 设A,B为随机事件，已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P( B-A)= _______ 。
2. __________________________________________ (见教材P11-P12 )设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一个是一等品的概率是.3. (见教材P44-P45)设X~N3, 4 ,且c 满足PX.C=PX 空C ，则C =O4. (见教材P96)设随机变量X服从二项分布，即X~B(n, p),且EX =3, p=1/7,则n= 厶5. (见教材P126 ) 设总体X服从正态分布N(2,9) , X,,X^ X9是来自总体的样本，—1 9X X i 则P(X_2)= _____________ 。
9 i 46. (见教材P6-7 )设A,B是随机事件，满足P(AB) = P(AB),P(A) = p,则P(B) = _.7. (见教材P7)代B事件，则AB -• AB =___________ 。
8. (见教材P100-P104 ) 设随机变量X,Y相互独立，且X ~ N(1,5),Y ~ N(1,16),Z =2X -Y -1则Y与Z的相关系数为__________9. (见教材P44-P45)随机变量X ~ N(2,4), ：(1) =0.8413, ：'(2) =0.9772，则P{—2 空X 乞6}=10. (见教材P96)设随机变量X 服从二项分布，即X ~ B(n,p),且EX =3, p=1/5，贝V n = _____ .y Q~X > 0 11（见教材P42） 连续型随机变量X 的概率密度为f （x ）=j 」'则0,x 兰 012. （见教材P11-P12 ）盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品.现从盒中任取3只，设3只中所含次品数为X ，则P X = 1二 ___________________ .2 213.（见教材P73-P74） 已知二维随机变量（X ，丫）~ N （」1, 一；匚1 ,匚2；訂，且X与Y 相互独立，则P = ______二、选择题1.（见教材P37-38）设离散型随机变量 X 的分布列为其分布函数为 F （x ）则F （3）= _______ .3. （见教材P133-136）矩估计是（A. 0B. 0.3C. 1D. 0.82.(见教材 P39-40) 设随机变量X 的概率密度为 x, f (x )= <2 -x,0,1 ：： x_ 2则X 落在区间0.4, 1.2内的概率为). (A) 0.64;(B) 0.6;(C) 0.5;(D) 0.42 .A.点估计B.极大似然估计C. 区间估计D.无偏估计4.（见教材P31）甲乙两人下棋，每局甲胜的概率为0.4 ,乙胜的概率为0.6 , 比赛可采用三局两胜制和五局三胜制，则采用_____________ 时,乙获胜的可能性更大？A.三局两胜制B.五局三胜制C.五局三胜制和三局两胜制都一样D.无法判断5.(见教材P69和P71和P100)下列结论正确的是()A. 与n相互独立,则与 n不相关B. 与n不独立,则与耳相关C. 与n不相关,则与 n相互独立D. 与n相关，则与耳相互独立6(见教材P33).每次试验的成功率为p(0 ::P :::1),则在3次重复试验中至少失败一次的概率为()。
山东科技大学自编概率学(卓相如)课后题习题一解答
C 140
C
C 3 2
43
252
C197
2431
16.在 1500 个产品中有 400 个次品、1100 个正品，任意取 200 个，求：（1）恰 有 10 个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。
解：（1）P(A)=
C
C 10 190
400 1100
；
C 200 1500
（2）设至少有两个次品的事件为 A，则至多有一个次品的事件为 A ,则 P(A)=1-
情况，5 人生日都在星期日的情况有 525 种，所以，P(5 个人的生日都在星期日）
= 525 1 ； 3655 75
（2）5 个人的生日都不在星期日的情况有（52 6）5 种，所以 P(5 个人的生日都不
在星期日）=（52 6）5 65 ；
3655
75
（3）由于 5 个人的生日不都在星期日是 5 个人的生日都在星期日的逆事件，所
P(至多三天不下雨）
1
(P(
A4
)
P(
A5
))
1
(4
1 16
5
1) 16
7 16
9.在同一随机试验中，设 A，B 是两事件，且 P(A)=0.6,P(B)=0.7,问：
（1）在什么条件下 P(AB)取到最大值，最大值是多少？；
（2）在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？
解：（1）P(AB)= P(A) P(B) P(AB),当P(AB)最小，即A B 时，P(AB)取最
解：（1）S=1，2,3,4,5,6，设出现奇数点的事件 为A，则A 1,3,5；
（2） S (i, j) i, j 1,2,6，A=(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (4,1), (6,1)，
山东科技大学概率统计简明教程习题主编卓相来八详细答案_石油大学出版社
习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若总体标准差不改变，总体均值有无显著性变化（α=0.05）?1.【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取三十六名考生的成绩，算得平均成绩为65.5分，标准差为15分.问在显著性水平10.0=α下，能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？2.解：按题意需检验01Hμ==70Hμ=7000：，：因为总体2X~Nμ,且15，故，选取检验统计量XZ=，从而拒绝域为z 1.α/20.05z=z=65又由已知可得x66.5n=36=，故有，|.70||z| 1. 1.15/36|x-μ|655865σ/n所以，在显著水平0.=1下，不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.3.设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论.5. 类似地用第一节单边假设检验的思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的结论2、3条.6. 某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布.现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：18，27，23，15，18，15，18，20，17，8问能否肯定新药的副作用小？（05.0=α）6.解： 根据题意需检验::2222，01H H 因为2XN(μ,σ)，且σ未知所以，选择检验统计量X T = 则拒绝域为：.005t-t(9)=-t (9)=-1.8331 又由已知可计算得.179x，s .5043所以，..x -μt ===-256-18331 拒绝0H ，即认为新药的副作用小。
工程数学《概率统计简明教程》习题全解(高教版)
习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
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习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若总体标准差不改变，总体均值有无显著性变化（α=0.05）?1.【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取三十六名考生的成绩，算得平均成绩为65.5分，标准差为15分.问在显著性水平10.0=α下，能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？2.解：按题意需检验01Hμ==70Hμ=7000：，：因为总体2X~Nμ,且15，故，选取检验统计量XZ=，从而拒绝域为z 1.α/20.05z=z=65又由已知可得x66.5n=36=，故有，|.70||z| 1. 1.15/36|x-μ|655865σ/n所以，在显著水平0.=1下，不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.3.设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论.5. 类似地用第一节单边假设检验的思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的结论2、3条.6. 某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布.现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：18，27，23，15，18，15，18，20，17，8问能否肯定新药的副作用小？（05.0=α）6.解： 根据题意需检验::2222，01H H 因为2XN(μ,σ)，且σ未知所以，选择检验统计量X T = 则拒绝域为：.005t-t(9)=-t (9)=-1.8331 又由已知可计算得.179x，s .5043所以，..x -μt ===-256-18331 拒绝0H ，即认为新药的副作用小。
7.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）.7.【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H H n z x x z z z μμμασ≥<======-===->-=- 所以接受H 0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.8. 科学上的重大发现往往是由年轻人作出的，下面列出了自16世纪中叶至20世纪早期的十二项重大发现者和他们发现时的年龄一论断？（05.0=α）8、解： 根据题意需检验::40>40，01H H 因为2XN(μ,σ)，且σ未知 所以，选择检验统计量X T =则拒绝域为：.005tt (11)=t (11)=1.7959 又由已知可计算得.354167x ，s .86707所以，..17959x -μt ===-18331<.故，拒绝0H ，即相信“发现时发现者的平均年龄μ不超过40岁”这一论断。
9.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n 1=200，x =0.532kg, s 1=0.218kg ； 第二批棉纱样本：n 2=200，y =0.57kg, s 2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05) 9.【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).wH Hn nt n n t zsx ytttαμμμμα=≠===+-=≈=======-<所以接受H0，认为两批强度均值无显著差别.10. 某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大小相等的烟叶标本，测量尼古丁含量的毫克数，实验室分别做了六次测定，数据如下：甲：25 28 23 26 29 22乙：28 23 30 25 21 27试问：这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？给定05.0=α，假定尼古丁含量服从正态分布且具有公共方差。
10.解：根据题意需要检验假设012H:μ-μ=δ=0，112H:μ-μ=δ0因为1X N(μ,)2，2Y~N(μ,)2，且2未知所以，选2111)(nnSYXT+--=ωδ为检验统计量，其中2)1()1(21222211-+-+-=nnSnSnSω从而，拒绝域为.α1200252t t(n+n-2)=t(10)=2.2281又由已知可得,.,.625575211n x s；..625671107222n=,y=,s=从而.t=0099<2.2281所以，接受H，即这两种香烟的尼古丁含量无显著差异11. 为比较甲，乙两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取甲型子弹10发，得到枪口速度的平均值为5001=x(m/s)，标准差10.11=s（m/s）.随机地取乙型子弹20发，得到枪口速度的平均值为4962=x(m/s)，标准差20.11=s（m/s）.假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为方差相等.问在显著性水平05.0=α下，能否判断甲型步枪的速度明显地高于乙型步枪的速度？11.解：根据题意需要检验假设:21≥-μμH，0:211<-μμH因为1X N(μ,)2，2Y~N(μ,)2，且2未知所以，选T1n ωX -YS +2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S ω 从而，拒绝域为α120.05t -t (n +n -2)=-t (28)= -1.7011又由已知可得2211n =10,x =500,s =1.1； n ,y,s .2249612222从而 t=6.25 -1.7011所以，接受0H ，即甲型步枪的速度明显地高于乙型步枪的速度。
12.某种导线的电阻服从正态分布N （μ，20.005）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s =0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005? 12.【解】00102222/20.0251/20.975222220.025220:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H H n s n s αασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===> 故应拒绝H 0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.13.某厂生产金属丝，产品指标为为折断力，折断力的方差被用作工厂生产精品的表征. 方差越小，表明精度越高.以往工厂一直把该方差保持在64及以下.现从一批产品中抽取10根作折断力试验，测得结果（单位为千克）如下：578 572 570 568 572 570 572 596 584 570.由上述数据算得样本均值和样本方差分别为575.2,75.73.为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差变大了.试在显著性水平05.0=α下，检查厂方的怀疑.13.01220.0522220.0520:64;:64.9,0.05,0.008,(1)(9)16.919.(1)975.7310.65,(9).64H H n s n n s ασσαχχχχχσ≤>===-==-⨯===<故不能拒绝H 0，从而生产流程正常.14.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠14.【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<所以接受H 0，拒绝H 1.15. 现有甲. 乙两台车床生产同一型号的滚珠.根据经验认为两台车床生产的滚珠直径都服从正态分布.现从这两台车床生产的产品中分别抽出8个和9个，测得直径(单位:mm)分别为甲 15.0 14.5 15.2 14.8 15.1 15.2 14.8 15.5乙 15.2 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 15.0 15.2试问：乙车床生产的滚珠直径的方差是否比甲车床生产的小? （05.0=α） 15.解： 根据题意需要检验假设22012H :σσ，>22112H :σσ 因为，滚珠直径都服从正态分布，且12，未知。
所以，选2221S S F =为检验统计量从而，拒绝域为005=78=3.5α12.F F (n -1,n -1)F (,)又因为s .0095521，s .0026122， 所以， s F s ==..2122369535故，拒绝0H ，即甲车床生产的滚珠直径的方差比乙车床生产的大。
16. 从一大批产品中抽取100个样品，检测到含60个一级品，利用置信区间与假设检验的关系回答：能否由此推断这批产品的的一级品率p 不低于50%？（取05.0=α） 16.这批产品的的一级品率p 不低于50%.* * * * * *17. 设,,,12n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，参数,2未知，且1n n22i i i=1i=1X =X ,θ=X -Xn ，则假设01H :μ=0,H :μ0的t 检验使用的统计量t =____________________。