2014年华师大版数学八上能力培优11.1平方根与立方根
华师大版数学八年级上册11.1.1《平方根》习题
《平方根》练习
一、填空题
1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以a 的平方根是 ． 2．非负数a 的平方根表示为 ．
3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是_______或者 ．
4．16的平方根是 ．
5．非负的平方根叫 平方根．
二、选择题
6．9的算术平方根是( )．
A ．-3
B ．3
C ．±3
D ．81
7．下列计算正确的是( )．
A ．4=±2
B ．98192==-）（
C ．636=±
D ．992-=-
8．下列说法中正确的是( )．
A ．9的平方根是3
B ．16的算术平方根是±2
C ．16的算术平方根是4
D ．16的平方根是±2
三、计算题
9． 计算．
(1)9-
= (2)9= (3)16
1= (4)±25.0= 10． 求下列各数的平方根．
(1)100； (2)0； (3)
259； (4)1； (5)49
151； (6)0．09． 11．81
16的平方根是_______；9的平方根是_______． 四、能力训练
12． 一个自然数的算术平方根是x ，则它后面一个数的算术平方根是( )．
A ．x +1
B ．x 2+1
C ．1+x
D ．12+x 13． 若2m -4与3m -1是同一个数的平方根，则m 的值是( )． A ．-3 B ．1 C ．-3或1 D ．-1
14．已知x ，y y -3)2=0，则xy 的值是( )． A ．4 B ．-4 C ．49 D ．4
9-。
八年级华数上 11.1 平方根与立方根
11.1平方根与立方根——平方根三维教学目标知识与技能：1、了解平方根的概念、开平方的概念.会用根号表示一个数的平方根.2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算.3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根.过程与方法：1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平.2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点.情感态度与价值观：1、创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2、在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐.3、提高学生“用数学”的意识.教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根.教学难点：对只有非负数才有平方根的理解.课堂导入1、到目前为止我们已学过哪些运算？2、一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的逆运算是什么呢？教学过程一、创设问题情景学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果画布的面积依次改为：9、16、36……那么相应的边长是多少？二、探索归纳(1) 平方根的概念2若，则x叫做a的平方根.ax(2) 举例：∵2552=∴5是25的一个平方根问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？(3)总结求一个数平方根的方法.三、举例应用例1 求100的平方根.解 因为10＝100， （－10）＝100，除了10和－10以外，任何数的平方22都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.例2 求36的平方根.解：因为所以36的平方根为±6.,36)6(2=±四、试一试（1） 144的平方根是什么?（2） 0的平方根是什么?（3） －4有没有平方根?为什么?答案：（1） （3）－4没有平方根，因为没有一个12144±=±00)2(=±、数的平方是－4.请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.通过以上题目的解答，你发现了什么？概括：一个正数必定有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.五、课堂练习1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 .2、平方根是它本身的数是 .3、如果-b 是a 的平方根，那么A 、；B 、 ；C 、；D 、2a b =2b a =2a b -=2b a -=4、求下列各式中的x 的值⑴ ⑵1962=x 01052=-x答案：1、±9，±9，2、03、B4、x=±16,x=±2六、课堂小结1、平方根的定义.2、平方根的性质：正数有两个平方根它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.课堂作业1、求下列各数的平方根：（1）49（2）（3）36（4）.8116()22-2、已知2a-1的一个平方根是+3,求2a-1的另一个平方根及a 的值.答案：1、（1）∵ （3）∵()4972=±()4972=±∴±7是49的平方根.∴±7是49的平方根.（2）∵ （4）∵8116942=⎪⎭⎫ ⎝⎛±()422=- ∴是的平方根. 94±8116()422=± ∴±2是的平方根.()22-2、因为一个数如果有平方根，那么它的两个平方根互为相反数.已知2a-1的一个平方根是+3，所以2a-1的另一个平方根是-3.∵2a-1= ∴ a=5()23±教学反思易错点：对平方根的意义不理解；对平方与开平方两种运算之间的互逆关系不理解.（1）在求一个正数的平方根时，容易只写正的平方根，丢掉负的平方根.（2）如果已知一个数的一个平方根，求这个数.不知道该怎么做.11.1平方根与立方根——立方根三维教学目标知识与技能：1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2、了解立方与开立方运算互为逆运算.3、能利用开立方运算求某些数的立方根.4、能用计算器求某些数的立方.过程与方法：1、创设学生熟悉的问题情景，激发学生的求知欲.2、鼓励学生积极思维，体会类比的数学方法.情感态度与价值观：1、培养学生积极思维，动口、动手能力.2、培养学生团结协作的团队精神.教学重点：会用根号表示一个数的立方根，能通过立方运算求某些数的立方根.教学难点：立方根与平方根性质的区分.课堂导入现有一个体积为216立方厘米的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？教学过程一、探索发现问题：1、这个实际问题，是个怎样的计算问题？2、你能找一个数，使这个数的立方等于216吗？3、如果，正方体的体积依次为：64，125，343，那么相应的正方体的棱长为多少？4、从这里可以抽象出一个什么数学概念？概括：立方根的概念如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.二、试一试（1）27的立方根是什么?（2） －27的立方根是什么?（3） 0的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．思考：通过计算你发现了什么？（和平方根的性质比较.）概括：立方根的性质和表示方法.正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.为了计算方便，数a 的立方根，记作，读作“三次根号a”，a 称为被开方数.a 三、举例应用例4求下列各数的立方根：（1）； （2） －125； （3） －0.008．278解（1） 因为（），所以323.322783=（2） 因为（－5）＝－125，所以＝－5．33125-（3）因为所以(),008.02.03-=-2.0008.03-=-例5用计算器求下列各数的立方根：（1） 1331；（2）9.263（精确到0.01）解（1） 在计算器上依次键入（，3■显示结果为11，所以＝11．31331（2）略四、课堂练习1、判断下列说法是否正确,并说明理由.（1）的立方根为 （）27832±（2） 25的平方根是5 （）（3） -64没有立方根 （）（4） -4的平方根是 -2（ ）（5） 0的平方根和立方根都是0 （）2、求下列各式的值.（1） （2） （3） （4）64643+-36427-327327102-答案：1、（1）错 （2）错（3）错 （4）错 （5）正确五、课堂小结1、什么是立方根？2、正数、0、负数的立方根有何特点？3、通过本节课的学习，有何体会？ 课堂作业1、求下列各数的立方根：（1） 0.125；（2） －；（3） 1728．64272、求下列各式的值.（1） （2）3、在哪两个整数之间?10答案：1、（1）0.5因为所以（2） （3）12125.0)5.0(3=5.0125.03=43-2、（1） （2）1.0001.03-=-54125643-=-3、因为 所以16109<<4103<<教学反思：混淆平方根与立方根的性质平方根与立方根是两个不同的概念，具有不同的性质.它们有如下区别：（1）只有非负数有平方根，而任何数都有立方根：（2）正数有两个平方根，而立方根只有一个.如果对以上区别理解不清，解题时就容易把平方根与立方根混淆起来.3001.0-312564-。
华师版八年级数学上册第11章 数的开方1 平方根
试一试
1. 144的平方根是什么？
12
2. 0的平方根是什么？
0
4
3.25
的平方根是什么？
2
5
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平
方不可能是负数
试 一 试
（1）144的平方根是什么？
±12
（2）0的平方根是什么？
0
通过这些题
目的解答，你能
发现什么？
（3）-4有没有平方根？为什么？
平方根可以记作 a，其中a称为被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 0=0 .
根号
± a
（a是非负数，a≥
被开方数
0）
典例精析
【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（ ）
A．8
B．-8
C．-2
D．-2或8
【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根，
∴x=±5，y=3
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
第1课时 平方根
1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一
个数的平方根、算术平方根；
2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些
非负数的算术平方根；
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的
边长是多少？
( 6 )2=25.
4
3
，
2
(4)∵(±0.7)2=0.49，
，
∴0.49的平方根为±0.7．
知识点二 算术平方根的概念
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相
反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立
华师大版八年级数学上册《11.1平方根与立方根—立方根》同步练习含答案解析
《11.1 平方根与立方根—立方根》一、选择题1．若8x3+1=0，则x为（）A．﹣ B．± C．D．﹣2．的平方根与﹣8的立方根之和为（）A．﹣4 B．0 C．﹣6或2 D．﹣4或03．如果=a，那么a是（）A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对二、填空题4．的立方根是，平方根是．5．若（x﹣1）3=125，则x= ．6．立方根等于它本身的数为．三、选择题7．若﹣1＜m＜0，且n=，则m、n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定8．﹣27的立方根与的平方根之和为（）A．0 B．6 C．0或﹣6 D．0或6四、填空题9．若x4=16，则x= ；若3n=81，则n= ．10．若，则x= ；若，则x ．11．当x 时，有意义；当x 时，有意义．12．若，则x+y= ．13．计算：+﹣+= ．五、解答题14．求下列各数的立方根（1）﹣0.001；（2）3；（3）（﹣4）3．15．求下列各式中的x的值．（1）x3﹣216=0；（2）（x+5）3=64；（3）（x+1）3=8．16．计算题（1）××3（2）×．17．若与互为相反数，求的值．18．已知=1﹣a2，求a的值．《11.1 平方根与立方根—立方根》参考答案与试题解析一、选择题1．若8x3+1=0，则x为（）A．﹣ B．± C．D．﹣【考点】立方根．【分析】先求得x3的值，然后依据立方根的性质求解即可．【解答】解：∵8x3+1=0，∴x3=﹣．∴x=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查的是立方根的性质，求得x3的值是解题的关键．2．的平方根与﹣8的立方根之和为（）A．﹣4 B．0 C．﹣6或2 D．﹣4或0【考点】立方根；平方根．【分析】先求的平方根，再求﹣8的立方根，然后求和．【解答】解：∵ =4，4的平方根为±2，﹣8的立方根为﹣2故它们的和是﹣4或0．故选D．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的定义．3．如果=a，那么a是（）A．±1 B．1，0 C．±1，0 D．以上都不对【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵ =1， =﹣1， =0，∴=a，那么a是±1，0．故选：C．【点评】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．二、填空题4．的立方根是 2 ，平方根是±2．【考点】立方根；平方根；算术平方根．【分析】先根据算术平方根的定义得到=8，然后根据平方根和立方根的定义分别求出8的平方根与立方根．【解答】解：∵ =8，∴8的平方根为±2，8的立方根为=2．故答案为：2，±2．【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±，也考查了立方根的定义．5．若（x﹣1）3=125，则x= 6 ．【考点】立方根．【分析】根据立方根定义得出x﹣1=5，求出即可．【解答】解：（x﹣1）3=125=53，x﹣1=5，x=6，故答案为：6．【点评】本题考查了立方根的定义的应用，能得出方程x﹣1=5是解此题的关键．6．立方根等于它本身的数为1，﹣1，0 ．【考点】立方根．【分析】根据立方根的意义得出即可．【解答】解：立方根等于它本身的本身的数为1，﹣1，0，故答案为：1，﹣1，0．【点评】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．三、选择题7．若﹣1＜m＜0，且n=，则m、n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定【考点】实数大小比较．【分析】取特殊值，m=﹣，再比较即可．【解答】解：∵﹣1＜m＜0，∴取m=﹣，∴m=﹣=﹣，∵n==﹣=﹣，∴n＜m，故选A．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．8．﹣27的立方根与的平方根之和为（）A．0 B．6 C．0或﹣6 D．0或6【考点】实数的运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：±=﹣3±3，则﹣27的立方根与的平方根之和为为0或﹣6．故选C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、填空题9．若x4=16，则x= ±2 ；若3n=81，则n= 4 ．【考点】有理数的乘方．【专题】计算题．【分析】原式利用乘方的意义计算即可确定出x的值；根据已知等式，利用乘方的意义确定出n的值即可．【解答】解：若x4=16，则x=±2；若3n=81，则n=4．故答案为：±2；4．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．10．若，则x= 1或0 ；若，则x ≤0 ．【考点】立方根；算术平方根．【分析】根据立方根和算术平方根的定义计算即可．【解答】解：∵，∴x=1或0，∵，∴x≤0，故答案为：1或0；≤0．【点评】本题主要考查立方根和算术平方根的知识点，比较简单．11．当x ≥时，有意义；当x 取任意实数时，有意义．【考点】二次根式有意义的条件；立方根．【专题】常规题型．【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可；根据立方根的被开方数可以是任意实数解答．【解答】解：根据题意得，3x﹣1≥0，解得x≥；5x+2可以取任意实数，∴x取任意实数．故答案为：≥，取任意实数．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，以及任意实数都有立方根的性质，需熟练掌握．12．若，则x+y= 1 ．【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【专题】计算题．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2，∴x+y=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．13．计算：+﹣+= ﹣．【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=×+×﹣2+2=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五、解答题14．求下列各数的立方根（1）﹣0.001；（2）3；（3）（﹣4）3．【考点】立方根．【分析】根据立方根的计算方法可以解答本题．【解答】解：（1）；（2）；（3）．【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法．15．求下列各式中的x的值．（1）x3﹣216=0；（2）（x+5）3=64；（3）（x+1）3=8．【考点】立方根．【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程．【解答】解：（1）x3﹣216=0x3=216x=x=6；（2）（x+5）3=64x+5=x+5=4x=﹣1；（3）（x+1）3=8x+1=x+1=2x=2．【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法．16．计算题（1）××3（2）×．【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=10×（﹣2）×3×0.7=﹣42；（2）原式=60×=240．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若与互为相反数，求的值．【考点】立方根；相反数．【分析】根据相反数得出+=0，得到x与y的关系，再代入求出即可．【解答】解：∵与互为相反数，∴+=0，∴1﹣2x+3y﹣2=0，1+2x=3y，∴==3．【点评】本题考查了立方根，代数式的值，相反数的应用，能求出x与y的关系是解此题的关键．18．已知=1﹣a2，求a的值．【考点】立方根．【分析】分三种情况：1﹣a2=﹣1，1﹣a2=﹣0，1﹣a2=1，进行讨论求解即可．【解答】解：依题意有1﹣a2=﹣1，解得a=±；1﹣a2=0，解得a=±1；1﹣a2=1，解得a=0．故a的值是=±，a=±1，a=0．【点评】此题考查了立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．注意分类思想的应用．。
华东师大版八年级上册 11.1 平方根 讲义
典型例题：平方根例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系．解：（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．（2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起．（1）算出A 点到B 、C 、D 、E 、F 之间的长度．（2）以图中A 、B 、C 、D 、E 、F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“分析：利用勾股定理可以算出A 点与C 、D 、E 、F 各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．解 ：（1）3=AB cm ．171422=+=AC cm ．5254202422=⨯==+=AD cm ．5253422==+=AE cm ．133222=+=AF cm ．（2）图中BEF CEF ∆∆,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ∆是等腰三角形． 又因为101322=+==BF BE cm ，因此BEF ∆是等腰三角形．例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，若46.13,23.9==b a ，求c 的长（精确到0．01）．分析：根据勾股定理222c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值．解：222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ， ∴32.163645.26646.1323.92222≈=+=+=b a c ．例4 求下列各数的平方根．（1）9 （2）49223（3）0．81 解：（1）∵ 9)3(2=±∴9的平方根是3±，即39±=±．（2）∵4916949223=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即.71349223±=± （3）∵81.0)9.0(2=±∴0．81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．例5 求下列各数的平方根和算术平方根．（1）0.0064 （2）4922 （3）2)1312(1- （4）2)7(- 解答：（1）因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．（2）因为491004922=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是710． （3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是135． （4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．说明：本题考查求平方根和求算术平方根的方法．因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了．例6 求下列各式中的x ：（1）02892=-x （2）81)1(2=+x ．分析：根据平方根的定义，或22a x =，则)0(≥±=a a x ，其中（2）中)1(+x 看成一个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．解答：（1）∵ 02892=-x ，即2892=x ．∴ 17289±=±=x ．（2）∵ 81)1(2=+x ，∴ 9811±=±=+x ，当91=+x 时，8=x ；当91-=+x 时，10-=x ．例7 已知0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．分析：只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解已知方程． 解答1：由0144252=-x 得251442=x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 当512=x 时，.1025213512521352==+⨯=+x 解答2：由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 如果031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．分析：已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．解答： ∵0,03,01≥++≥-≥+z y x y x ∴ 031≥+++-++z y x y x ∵031=+++-++z y x y x∴应有⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.231z y x说明：求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．例9 选择题：下列命题中真命的个数是（ ）．（1）;2.04.0= （2）;43169±= （3）22-的平方根是2-； （4）2)3(-的算术平方根是3-；（5）57±是25241的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根； （7）21的算术平方根是41． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义．（1）4.004.0)2.0(2≠=2.0∴不是4.0的算术平方根．故（1）是假命题．（2）题中169是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题．（3）题中422-=-，由平方根性质：负数没有平方根． 所以（3）也是假命题．（4）中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个负数，不符合算术平方根的定义． 故（4）也是假命题．（5）,252412549)57(2==± 25241∴的平方根是57±． 此为真命题． （6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确．（7）求21的算术平方根，应是对21进行开方运算，而非平方运算． 故此命题也不是真命题．解答：应选（A ）说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念．其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根．例10 如果一个数的平方根是3+a 与152-a ，那么这个数是多少？分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0．解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以0)152()3(=-++a a ，解得4=a ,当4=a 时，73=+a ，即两个平方根分别为7和7-，故原数为49说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解．。
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4. 解：∵ a 1 0 ， b2 6b 9 (b 3)2 0 ，且 a 1 b2 6b 9 0 ，
∴ a 1 0 ， (b 3)2 0 ，
∴ a 1 ， b 3 .由三角形三边关系得 a b c a b ，
∴2 c 4 .
m
m 0
5. 解：同意小刚的说法.理由：在
2013
2013
（2）用你发现的规律说明 3 2013
与20133
的关系.
20133 1
20133 1
状元笔记：
[知识要点]
1. 平方根与立方根
1 一般地，如果 x2 a ，那么 x 就叫做 a 的平方根.
2 一个正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根.
3 一般地，如果 x3 a ，那么 x 就叫做 a 的立方根.
a 9 0
2.
解：根据算术平方根的意义，得 9
a
，
0
∴ a 9 ， b 7 ， ∴ a b 16 . 故 a b 的平方根是4 .
3. 解：根据题意得 x y 1
0 ，即x y 1 0 ，解得x 2 .
x y 5
x y 50
y 3
∴ 3x y 3 2 3 9 ，
∴ 3x y 的算术平方根是 3.
2013
2013
（2） 32013
20133
.
20133 1
20133 1
“
”
“
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
华师大版八年级数学上册教案含教学反思
11.1 平方根与立方根第1课时教学目标1．了解数的平方根的概念，会求某些非负数的平方根；2．会用根号表示一个数的平方根．教学重难点【教学重点】数的平方根的概念.【教学难点】求某些非负数的平方根.课前准备无教学过程一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25、2.提出问题，探索解决问题的办法、(1)平方根的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根、问：有了这个规定以后，a是什么数?让学生思考、交流后回答：a是非负数、(2)在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根、问：25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25?(因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根)从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根)三、范例例1、求100的平方根、提问：(1)你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗?让学生讨论、交流后回答。
(2)你能正确书写解题过程吗?请一位同学口述，教师板书。
(3)l0和－l0用±10表示可以吗?试一试(1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么?(3)425的平方根是什么? (4)0.81的平方根是什么?(5)－4有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答、总结四、课堂练习说出下列各数的平方根：1、642、0.253、4981五、小结1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何?2、如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根?为什么?3、0的平方根有几个?是什么数?4、负数有平方根吗?为什么?六、作业习题12.1第1题、11.1 平方根与立方根第2课时教学目标1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；2.了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根；3.会利用开方运算求某些非负数的平方根.教学重难点【教学重点】数的算术平方根的概念，用根号表示一个数的算术平方根.【教学难点】利用开方运算求某些非负数的平方根.课前准备无教学过程一、创设问题情境1、什么是平方根?求出36，1.44，81625各数的平方根、2、一个正数如果有平方根，那么有几个?它们之间的关系如何?3、负数有平方根吗?为什么?二、算术平方根的概念及其应用1、算术平方根概念。
八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根11.1.1平方根习题课件新版华东师大版
(2)2.25；
1 (3)24；
12 解：(1)±13
12 13；
(4)0.0004. (2)±1.5 1.5；
33 (3)±2 2； (4)±0.02 0.02.
9. 如图，将一块面积为 30 m2 的正方形铁皮的四个 角各截去一个面积为 2 m2 的小正方形，剩下的部分刚好 能围成一个无盖的长方体运输箱，求此运输箱底面的边 长．(精确到 0.1 m)
得，如 4，有些数则不能直接求得，如 5，但可以通过
计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，
运用规律求得，请同学们观察下表：
(1)从表中所给的信息中，你能发现什么规律？请将
规律写出来．
n 0.09 9 n 0.3 3
900 90000 … 30 300 …
解：被开方数的小数点向右或向左每移动两位，算 术平方根则相应地向右或向左移动一位．
4. 一个自然数的算术平方根是 a，则与它相邻的下
一个自然数的算术平方根是( )
A. a＋1
B．a＋1
C．a2＋1
D. a2＋1
【解析】∵一个自然数的算术平方根为 a，∴这个
自然数为 a2，∴下一个自然数是 a2＋1，它的算术平方根
是 a2＋1.
5. 计算： 25－(－1)2＝ 4 ． 6. 一个正数的平方根是 2m－1 与－m＋2，则 m ＝ －1 ，这个正数是 9 ．
5. 设 441＝a，则下列结论正确的是( D )
A．a＝441
B．a＝4412
C．a＝－21
D．a＝21
6. 若 a、b 为实数，且满足│a－2│＋ －b2＝0，
则 b－a 的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
华师大版初二上册数学 11.1.1 平方根 重点习题练习复习课件
22．观察下表回答问题．
a … 0.000 1 0.01
1
100 10 000 …
a … 0.01
x
1
y
100 …
(1)表格中 x＝___0_._1___，y＝___1_0____；
(2)从表格中探究 a 与 a之间的规律，叙述出来，并利用这个规 律解决下面两个问题． ①已知 10≈3.16，则 1 000≈__3_1_._6___； ②已知 3.24＝1.8，若 a＝180，则 a＝__3_2_4_0_0__．
第11章 数的开方
第1节 平方根与立方根 第1课时 平方根
1．如果一个数的__平__方____等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根．
2．一个正数有两个平方根，它们互为_相__反__数___，0 的平方根是 0， 负数没有平方根，正数 a 的平方根表示为± a，正数 a 的 _正__的__平__方__根_____，叫做 a 的算术平方根．
1．【中考·泰州】4 的平方根是( A ) A．±2 B．－2 C．2 D．±12
2．(－3)2 的平方根是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．以上均不对
3．下列说法正确的是( C ) A．－9 的平方根是－3 C．25 的平方根是±5
B．9 的平方根是 3 D．25 的平方根是－5
4．下列说法不正确的是( D ) A．21 的平方根是± 21 C．－ 21是 21 的平方根
11．【中考·湘西州】 3－ 2的结果精确到 0.01 是(可用科学计算 器计算)( C ) A．0.30 B．0.31 C．0.32 D．0.33
12．估算 7正确的是( B ) A．在 2.5 与 2.6 之间 B．在 2.6 与 2.7 之间 C．在 2.7 与 2.8 之间 D．在 2.8 与 2.9 之间
八年级数学上册 11.1 平方根与立方根《立方根》典型例题素材 (新版)华东师大版
《立方根》典型例题例1 求下列各数的立方根：（1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）.3438 解：（1）2733= ，∴27的立方根是3，记作.3273=（2）125)5(3-=- ，∴－125的立方根是－5，记作.51253-=-（3）064.04.03= ，∴0.064的立方根是0.4，记作4.0064.03=．（4）003= ，∴0的立方根是0，记作.003=（5）3438)72(3= ，∴3438的立方根是72，记作.7234383= 例2 求下列各式中的x ：（1）012583=+x （2）()343143=-x ； （3）064252=-x ； （4）02713=+x ．分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题.解答：（1）∵012583=+x ，∴12583-=x ， 即81253-=x ，∴38125-=x ，即25-=x ； （2）∵()343143=-x ，∴334314=-x ，即714=-x ，∴2=x ；（3）∵064252=-x ，∴64252=x ，∴6425±=x ，即85±=x ； （4）∵02713=+x ，∴2713-=x ，∴3271-=x ，即31-=x ． 说明：求解过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解的个数不同.例3 圆柱形水池的深是1.4m ，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）．分析：圆柱的体积h r V ⋅=2π，由于蓄水80吨，每吨水的体积是1立方米，因此水池的体积至少应为80立方米．解：4.1,80,2==⋅=h V h r V π，∴3.4,4.114.3802≈⋅⋅=r r （米）（负值舍去）．答：水池底面半径为4.3米．例4 阅读下面语句：①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-．②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同．④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．在上面语句中，正确的有（ ）A ．1句B ．2句C ．3句D ．4句分析：当1=k 时，3331)1(-=-k ，而当2=k 时，11)1()1(33633==-=-k ，可见①不正确；1)1(3-=-，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能等于1-，所以②不正确；当0>a 时，3a 是正数，当0<a 时，3a 是负数，所以③是正确的；04.02.0,2.004.0>=，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，3001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0>a ，那么33a a -=-”，这个关系式对 0<a 时也是正确的，只不过相当于等式两边调换了位置，所以⑤是正确的．解答： B说明： 考查立方根的定义及性质．例5 设827-=x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．89,23,827-- B ．89,23,827- C ．49,23,827- D ．49,23,827-- 分析：64729)827(2=-， ∵,64729)827(2= ∴ 827)827(2=-．∵ 827)23(2-=，∴233-=x ． ∵647292=x ，64729)49(3=，∴4932=x ． 解答： C说明：考查平方根、立方根的求法．例6 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0．其中错误的是A ．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④分析：一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立方根等于本身的数有0，1和1-．所以①、②、④都是错的，只有③正确．解答：B说明：立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆．例7 下列语句正确的是（ ）A ．64的立方根是2B ．-3是27的负立方根C ．216125的立方根是65± D ．2)1(-的立方根是1- 分析：A 中64=8，它的立方根是2，对；B 中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，错；C 中正数的立方根应只有一个，错；D 中2)1(-=1，它的立方根是1，而不是1-．解答：A说明：注意立方根意义例8 下列语句对不对？为什么？（1）0.027的立方根是0.3．（2）3a 不可能是负数．（3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ．（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．分析：立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．因为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考虑问题，上述题不难解答．解答：（1）正确．因为027.0)3.0(3=，所以0.027的立方根是0.3．（2）不正确．当a 是负数时，就有一个负的立方根，即3a 就是负数．（3）正确．如果b 是正数，它的立方根a 也是正数；如果b 是负数，它的立方根a 也是负数；如果b 是零，它的立方根是零，所以0≥ab ．（4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是零．说明：立方根与平方根有相似之处，但也有区别，主要是：一个数的立方根是惟一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错．例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．分析：立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题．解答1：∵21663=，∴62163=，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为236=÷（厘米）解答2：设小正方体的棱长为a 厘米，则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得216)3(3=a ，∴216273=a ，83=a ，2=a （厘米）．解答3：设小正方体的棱长为a 厘米．则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得216)3(3=a ，∴621633==a ，∴2=a （厘米）．。
八年级数学华师大版上册【能力培优】全套练习题(含答案)
第11章 数的开方11.1平方根与立方根专题一 算数平方根与绝对值的综合运用1. 20b -=，则2013()a b +=______.2. 已知a 、b 满足7b =，求a b -的平方根.3. 如果1x y -+互为相反数，求3x y +的算术平方根.专题二 被开方数中字母的取值问题4. 已知△ABC 的三边长分别为a b c ，，，2690b b -+=，求c 的取值范围.5.在学习平方根知识时，老师提出一个问题：中的m 的取值范围相同吗？小明说相同，小刚说不同，你同意谁的说法？说出你的理由.专题三（算术）平方根与立方根的规律探究6. ===，…，请你将猜想到n≥的代数式表示出来.的规律用含自然数n(1)7.n>）的等式来表示你发现的规律吗？（1）你能用含有n（n为整数，且1（2的关系.状元笔记：[知识要点]1. 平方根与立方根=，那么x就叫做a的平方根.（1）一般地，如果2x a（2）一个正数a a的算术平方根.=，那么x就叫做a的立方根.（3）一般地，如果3x a2. 性质（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.（2a≥；①被开方数a非负，即0≥.（3）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0.[温馨提示]1. 负数没有平方根，但是它有立方根.2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解.[方法技巧]体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.参考答案1. 1- 【解析】 0=，20b -=，即3a =-，2b =. ∴2013()a b +=2013(32)1-+=-.2. 解：根据算术平方根的意义，得9090a a -≥⎧⎨-≥⎩，∴9a =，7b =-，∴16a b -=.故a b - 的平方根是4±.3. 解：根据题意得10x y -+=，即1050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩.∴33239x y +=⨯+=， ∴3x y +的算术平方根是3.4. 0≥，2269(3)0b b b -+=-≥2690b b -+=，0=，2(3)0b -=，∴1a =，3b =.由三角形三边关系得a b c a b -<<+， ∴24c <<.5. 解：同意小刚的说法.中，020m m ≥⎧⎨->⎩，得2m >；020m m ≥⎧⎨->⎩，或020m m ≤⎧⎨-<⎩，得2m >，或0m ≤.m 的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.6. (1)n n =+≥.7. 解：（1=.（2=.11.2实数与数轴专题一 与实数分类有关的问题1. 要使22(327)x --为有理数，则x 的值是（ ） A .0 B .3 C . ±3 D .不存在2. 已知314.34a =，30.1434b =，则ab的值为______. 3. 请写出满足条件51101x -+<<-的x 的整数解.4. 设23x =+，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求31b a b-++的值.专题二 数形结合思想在实数中的应用5. 如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A 、B ，且点A 为线段BC 的中点，则点C 表示的数是（ ）A .51-B .15-C .52- D.25-6.实数a 、b 在数轴上的对应点A 、B 的位置如图所示，则化简233()a b a a b +---=______.7. 已知实数a 、b 、c 在数轴上的对应的点位置如图所示，化简： 222()(c )a a c a b -++--.专题三 相反数、倒数、绝对值的综合应用8. 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 2，求2a bm cd m++-的值.9. 已知a 、b 20a b b +-=；解关于x 的方程2(2)3a x b a ++=+.状元笔记[知识要点]1. 无理数无限不循环小数叫做无理数.2. 实数的有关概念及分类（1）实数的概念：有理数和无理数统称实数.（2）有理数的相反数、绝对值、倒数的概念在实数范围内仍适用. （3）实数的分类：[温馨提示]1. 实数与数轴上的点一一对应..2. 有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序. [方法技巧]利用数形结合的数学思想，可使化简变得方便.参考答案1. C 【解析】 ∵22(327)0x -≥，又22(327)0x --≥，∴22(327)0x -=，∴3x =±. 2. 1000000 【解析】根号内向左移动六位小数，根号外就向左移动两位.3. 解：∵2<-，∴121<-+，即11<-.∵3<，∴311-<，即21<，∴满足条件11x <<的x 的整数解是x =-1，0，1，2.4. 解：∵12<<11.2x =，∴x 的整数部分是31，即3a =. 1b =-，0a b=+.5. D 【解析】 点B 表示的数比点A 1，点C 表示的数比点A 表示的数小1，即点C 表示的数为11)2-=6. a - 【解析】 由数轴可知0,0,0a b a b <>+<.原式=()()()a b a a b -+----=a -.7. 解：根据a 、b 、c 在数轴上对应点的位置可知，0c a <<，0b >，∴0a c +<，0c a -<.原式=a a c c a b -++--=()()a a c a c b -+++--=a a c a c b -+++--=a b -.8. 解：由题意得：0a b +=，1cd =，m =m =∴2a bm cdm ++-2(1=+-1=.9. 0,0,b ≥≥0,b =∴0a b +=，0b =.∴a =b =代入方程得2(23x +=，即(21x -=-∴x =第12章整式的乘除12.1幂的运算专题一与幂的计算有关的探究题1. 我们约定a&b=10a×10b，如2&3=102×103=105，那么4&8为（）A．32 B．1032 C．1012 D．12102. 已知10a=3，10b=5，10c=7，试把105写成底数是10的幂的形式___________．3. 小丽给小明出了一道计算题：若（-3）x•（-3）2•（-3）3=（-3）7，求x的值，小明的答案是-2，小亮的答案是2，你认为___________的答案正确（请填“小丽”、“小明”或“小亮”）．并说明理由.4．我们规定：a*b=10a×10b，例如3*4=103×104=107．（1）试求12*3和2*5的值；（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如果相等，请验证你的结论．专题二阅读理解题5. 为了求1+2+22+23+24+...+22013的值，可令S=1+2+22+23+24+ (22013)则2S=2+22+23+24+…+22013+22014，因此2S-S=（2+22+23+…+22013+22014）-（1+2+22+23+…+22013）=22014-1．所以：S=22014-1．即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1．请依照此法，求：1+4+42+43+44+…+42013的值．6. 阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．解：∵2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725，，而16＜27,∴2100＜375.请根据上述解答过程解答：若a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）状元笔记：[知识要点]1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即a m·a n=a m+n(m、n都是正整数）.a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再与n个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n=a m+n.2. 幂的乘方是指几个相同的幂相乘法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(a m)n=a mn（m，n都是正整数）.3. 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab)n=a n b n（n是正整数）．4.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即a m÷a n= a m-n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n)．参考答案1. C 【解析】4&8=104×108=1012．故选C ．2. 10a+b+c 【解析】105=3×5×7，而3=10a ，5=10b ，7=10c ，∴105=10a •10b •10c =10a+b+c . 故应填10a+b+c ．3. 小亮 【解析】小亮的答案是正确的．理由如下：∵（-3）x •（-3）2•（-3）3=（-3）x+2+3=（-3）7，∴x+2+3=7，解得x=2．故填小亮．4. 解：（1）12*3=1012×103=1015，2*5=102×105=107；（2）相等．∵（a*b ）*c=（10a ×10b）*c=b +a 1010×10c =b +a 1010+c ，a*（b*c ）=a*（10b ×10c ）=10a+10b+c ．∴（a*b ）*c ≠a*（b*c ）．5. 解：为了求1+4+42+43+44+...+42013的值，可令S=1+4+42+43+44+ (42013)则4S=4+42+43+44+ (42014)所以4S-S=（4+42+43+44+…+42014）-（1+4+42+43+44+…+42013）=42014-1，所以3S=42014-1，所以S=31（42014-1）， 即1+4+42+43+44+…+42013=31（42014-1）． 6. 解：∵a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，∴a=（25）111，b=（34）111，c=（43）111，d=（52）111，∴a=32111，b=81111，c=64111，d=25111．∵81＞64＞32＞25，∴81111＞64111＞32111＞25111，∴b ＞c ＞a ＞d ．12.2 整式的乘法专题 阅读探究题1. 阅读下列解答过程，并回答问题．在（x 2+ax+b ）与（2x 2-3x-1）的积中，x 3系数为-5，x 2系数为-6，求a ，b 的值．解：(x 2+ax+b ）•（2x 2-3x-1）=2x 4-3x 3+2ax 3+3ax 2-3bx ①=2x 4-（3-2a ）x 3-（3a-2b ）x 2-3bx..②根据对应项系数相等，有⎩⎨⎧-=--=-623523b a a .③ 回答：（1）上述解答过程是否正确？____________．（2）若不正确，从第_________步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？ __________________．（3）写出正确的解答过程．2. （1）计算（x+1）（x+2）=_____________，（x-1）（x-2）=___________，（x-1）（x+2）=__________，（x+1）（x-2）=_______________．（2）你发现（1）小题有何特征，会用公式表示出来吗？（3）已知a 、b 、m 均为整数，且（x+a ）（x+b ）=x 2+mx+12，则m 的可能取值有多 少个?状元笔记【知识要点】1. 单项式与单顶式相乘法则：单项式与单项武相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．2. 单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3. 多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【方法技巧】1. 先利用乘法交换律和乘法结合律，再利用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法．对于法则不要死记硬背，要注意以下几点：(1)积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值．(2)要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉．(3)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用.参考答案1. 解：（1）不正确，（2）第①步出现错误，第②③步还有错误；（3）（x 2+ax+b ）（2x 2-3x-1）的展开式中含x 3的项有：-3x 3+2ax 3=（2a-3）x 3，含x 2的项有：-x 2+2bx 2-3ax 2=（-3a+2b-1）x 2．又∵x 3项的系数为-5，x 2项的系数为-6，∴有 ⎩⎨⎧-=-+--=-，，6123532b a a ，解得 ⎩⎨⎧-=-=41b a ．2. 解：（1）（x+1）（x+2）=x 2+3x+2，（x-1）（x-2）=x 2-3x+2，（x-1）（x+2）=x 2+x-2，（x+1）（x-2）=x 2-x-2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x+p ）（x+q ）=x 2+（p+q ）x+pq 结构．（3）因为12可以分解以下6组数，a ×b=1×12，2×6，3×4，（-1）×（-12）， （-2）×（-6），（-3）×（-4），所以m=a+b 应有6个值．12.3 乘法公式 专题一 与乘法公式有关的规律探究题1. 观察下列各式：（x-1）（x+1）=x 2-1（x-1）（x 2+x+1）=x 3-1（x-1）（x 3+x 2+x+1）=x 4-1（x-1）（x 4+x 3+x 2+x+1）=x 5-1（1）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（x n-1+x n-2+x n-3+…+x 2+x+1）=____；（2）根据（1）求出：1+2+22+…+262+263的结果.2.观察下面各式规律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n个的式子，并证明你的结论．专题二与平方差公式有关的图形问题3. 如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2．若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．（1）图2中大正方形的面积为__________；（2）图2中两个梯形的面积分别为__________；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为______________________．4. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为_______；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_______若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=___________(4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢?（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.专题三平方差公式的逆运用5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？状元笔记【知识要点】1. 平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2．用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．2.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2 -2ab+b2.语言叙述为：两数和（或差）的平方，【方法技巧】平方差公式常用的几种变化形式：(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；（4）指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4（5）增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,…完全平方公式常有以下几种变化形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab；(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2);(4)2ab=(a2+b2)-(a-b)2；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab；（6）(a-b)2-(a+b)2=4ab.参考答案1. 解：①（x-1）（x n-1+x n-2+x n-3+…+x 2+x+1）=x n -1；②原式=（2-1）（263+262+…+22+2+1）=264-1．2. 解：第n 个式子：n 2+[n （n+1）]2+（n+1）2=[n （n+1）+1]2.证明：因为左边=n 2+[n （n+1）]2+（n+1）2 =n 2+（n 2+n ）2+（n+1）2=（n 2+n ）2+2n 2+2n+1=（n 2+n ）2+2（n 2+n ）+1=（n 2+n+1）2，而右边=（n 2+n+1）2，所以，左边=右边，等式成立3. 解：（1）图中大正方形的面积为x 2；（2）两个梯形的面积分别为21（x+y ）（x-y ）； （3）x 2-y 2=2×21（x+y ）（x-y ）；即x 2-y 2=（x+y ）（x-y ）． 4. 解：（1）（m-n ）2（2）（m-n ）2+4mn=（m+n ）2（3）±5（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2（5）答案不唯一，例如：5. 解：（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4×503=5042-5022，所以28和2012是神秘数．（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．12.4因式分解专题因式分解的巧妙应用1．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（）A．30 B．－30 C．11 D．－112．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．3．在下列三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中.（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．状元笔记【知识要点】我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子边形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【方法技巧】因式分解的方法：(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．参考答案1．B 【解析】∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30.故选B．2．2013 【解析】32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．3．解：(1)（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2)x2－4x＞x2+2x，合并同类项，得－6x＞0，解得x＜0．12.5整式的除法专题与乘除互逆运算相关的问题1. 已知一个多项式与单项式-7x2y3的积为21x4y5-28x7y4+14x6y6，试求这个多项式.2. 已知被除式为x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，求除式．状元笔记【知识要点】1. 单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，2. 多项式除以单项式法则：多项式除以单项武，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即：（a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m．【温馨提示】1. 计算单项式除以单项式时要注意：(1)商的符号；(2)运算顺序与有理数运算顺序相同．2. 在进行多项式除以单项式时，一定要注意符号，不要漏除每一项．多项式除以单项式的关键是逐项去除，结果的项数与多项的项数相同，这是检验是否漏项的重要方法．注意多项式带单位对要加括号.参考答案1. 解：依题意：所求多项式=（21x4y5-28x7y4+14x6y6）÷（-7x2y3）=-3x2y2+4x5y-2x4y3．2. 解：[x3+3x2-1-（-1）]÷x=（x3+3x2）÷x=x2+3x．第13章 全等三角形13.1命题与定理专题 定义与命题1．下列语句中，定义的个数有 （ ） ①两点之间，线段最短；②过点M 作已知直线l 的平行线；③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； ④两直线平行，同位角相等； ⑤单项式和多项式统称为整式.A.1个B.2个C.3个D.4个 2．下列语句中属于命题的有 （ ） （1）两点确定一条直线； （2）不许大声喧哗！ （3）连结线段MN ；（4）两个锐角的和一定是直角； （5）536+>；（6）不相交的两条直线叫作平行线.A.2个B.3个C.4个D.5个4. 若规定“⊙”是一种运算符号，且2yx y x xy ⊕=-，试计算：(4)(32)-⊕⊕的值.状元笔记：[知识要点]1．定义：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义．2．命题：对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句（陈述句）叫作命题．3．命题的组成：命题由条件和结论组成，如果引入的部分是条件，那么引出的部分是结论．4. 逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.5. 真假命题：正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.6. 证明：要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫作证明.参考答案1. B 【解析】③和⑤是定义.2. C 【解析】（1）（4）（5）（6）是命题.3. ②⑤4. 解：∵2yx y x xy ⊕=-，∴2(4)(32)(4)(3232)(4)(3)-⊕⊕=-⊕-⨯⨯=-⊕-311(4)2(4)(3)24246464-=--⨯--=--=-.13.2 三角形全等的判定专题一 与全等三角形有关的规律探究1. 如图，已知AB=AC ，D 为∠BAC 的平分线上的一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB=AC ，D 、E 为∠BAC 的角平分线上的两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB=AC ，D 、E 、F 为∠BAC 的平分线上的三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是________.2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BE 平分∠ABC 交CD 、AC 分别于G 、E ，GF∥AC 交AB 于F ，猜想：EF 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由．3. 如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N. （1）那么∠1与∠2有什么关系？AM，CN有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？请说明理由．专题二全等三角形与图形变换4. 两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．5. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．6. 在△ABC中∠BAC是锐角，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，垂足分别为D、E，且DB=DC,AE=BE.（1）求证：AH=2BD；（2）若将∠BAC改为钝角，其他条件不变，上述的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．专题三利用三角形全等解决实际问题7.如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点），相距25 km，C、D为铁路同旁的两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产产品收购站E，使C、D两村庄到E站的距离相等，求E站应建在离A站多远处，并说明理由.状元笔记[知识要点]1. 全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS.2. 全等三角形与图形变换寻找和利用两三角形间的平移或旋转变换关系，能够给命题的证明带来方便. [温馨提示]1. 全等图形指形状相同，大小相等的两个图形.2. 表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. [方法技巧]2. 解：EF⊥AB. 理由如下：∵BE平分∠ABC，∴∠CBG=∠FBG.∵GF∥AC，∴∠A=∠G FB.∵∠A+∠ACD=∠BCG+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCG=∠G FB.又∵BG=BG，∴△FBG≌△CBG.∴BF=BC.∵EB=EB，∠CB E=∠FB E，∴△FBE≌△CBE，∴∠EFB=∠ECB=90°.∴EF⊥AB.3. 解：（1）∠1=∠2， AM=CN.理由如下：∵AB=CD，AD=BC，AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴∠DAC=∠BCA.又∵AO=CO，∠CON=∠AOM，∴△AOM≌△CON . ∴∠1=∠2，AM=CN.（2）成立，同理可证△AOM≌△CON . 4. 解：△BAE ≌△CAD.证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE =∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD. 又∵AB=AC ，AE=AD ， ∴△BAE ≌△CAD.5. 解：BE=EC ，BE ⊥EC ．证明：∵AC=2AB ， AD=CD ， ∴AB=AD=CD ．∵∠EAD=∠EDA=45°， ∴∠EAB=∠EDC=135°. ∵EA=ED ，∴△EAB ≌△EDC(SAS)， ∴∠AEB=∠DEC ，EB=EC ， ∴∠BEC=∠AED=90°， ∴BE=EC ，BE ⊥EC ．6. 解：（1）证明：如图（1），∵ AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠A EH=∠BEC =90°,∴∠EAH +∠C =∠EBC +∠C=90°， ∴∠EAH =∠EBC . 又∵AE=BE ，∴△AEH≌△BEC， ∴AH=BC. 又∵DB=DC, ∴AH=2BD.（2）成立.同理可证△AEH≌△BEC .7. 解：E 站应建在离A 站10 km 处.理由如下： 在线段AB 上截取AE=BC=10 km ， 又因为AB=25 km ，所以BE=AB-AE=25-10=15(km)， 所以AD=BE=15km. 在△ADE 和△BEC 中，,90,,AD BE A B AE BC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩所以△ADE ≌△BEC （SAS ）. 所以DE=EC.13.3 等腰三角形专题一 与等腰三角形有关的探究题1. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 2. 如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3……在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3……在射线 OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014 的边长为（ ） A.2013 B. 2014 C.20122D. 201323. 如图,在△AB 1A 中, ∠B ＝20°,AB ＝1A B ，在1A B 上取一点C,延长1AA 到2A ,使得12A A ＝1A C ; 在2A C 上取一点D,延长12A A 到3A ,使得23A A ＝2A D ;……，按此做法进行下去,求∠n A 的度数.O MNB 1A 1B 2B 3A 2A 3A 44. 如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．专题二等腰（边）三角形中的动点问题6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE 是等腰三角形．8. 阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．状元笔记[知识要点]1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．3．等腰三角形的判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”．（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【方法技巧】1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形．3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．参考答案1. C 【解析】 由ca bc ab c b a ++=++222得：222()()()0a b b c a c -+-+-=，所以000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，所以a b c ==，所以②、③是真命题，故选C. 2. C 【解析】 ∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴A 1B 1=A 2B 1，∠1=60°. ∵∠MON=30°， ∴∠2=30°=∠MON ， ∴A 1B 1 =OA 1=1= A 1A 2.同理可证：A 2B 2 =OA 2 =2，A 2A 3=OA 2 =2，A 3A 4=OA 3 =4=22，A 4A 5=OA 4 =8=32. 以此类推：A 2013B 2013A 2014=22012． 故选C ．3. 解：如图，在△AB 1A 中， ∵∠B ＝20°,AB ＝1A B ， ∴∠1AA B ＝80°. 在△12A A C 中， ∵12A A ＝1A C ，∴∠12A A C ＝112AA B ∠＝1802⨯＝211802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝40°. 在△23A A D 中, ∵23A A ＝2A D ,∴∠23A A D ＝1212A A C ∠＝118022⨯⨯＝311802-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝20°. 依此类推, 得∠n A 的度数为11802n -⎛⎫⎪⎝⎭.故∠n A 的度数为1n-11808022n -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或.4. 解：（1）∵△AOC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC ， ∴∠OCD=90°，CO=CD ， ∴△COD 是等腰直角三角形；（2）△BOD 为等腰三角形． 理由如下：∵△COD 是等腰直角三角形， ∴∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°， ∴∠OBD=180°-80°-50°=50°． ∴△BOD 为等腰三角形． 5. 解：（1）△ODE 是等边三角形， 其理由是：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， ∴△ODE 是等边三角形； （2）BD=DE=EC ，其理由是： ∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC=60°， ∴∠ABO=∠OBD=30°， ∵OD ∥AB ，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB ， ∴DB=DO ， 同理可证EC=EO. ∵DE=OD=OE ， ∴BD=DE=EC ． 6. 60°，60°，60°.证明: ∵BM=CN ；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM ≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;8. 解：（1）证明：连结AP ，BP ，CP.则=ABC BPC APC APB S S S S ++△△△△，即12311112222BC h BC r AC r AB r ⋅=⋅+⋅+⋅， ∵AB=BC=AC ，∴r 1+r 2+r 3=h （定值）． （2）存在；2.13.4 尺规作图专题 作图应用题1. 如图，直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）2 .如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30° B．45° C．60° D．90°3. 如图，四边形ABCD是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点P的位置，现在轮到你打，你应该把在点Q位置的白球打到AB边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？4. 如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）5. 如图，△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称. （1）画出直线EF （尺规作图）；（2）设直线MN 与EF 相交于点O ，夹角为α，试探求∠BOB ''与α的数量关系.参考答案1. D 【解析】（1）作点P关于直线l的对称点P'；(2)连接P'Q，交直线l于点M；沿着P—M—Q的路线铺设，即为最短.2. 解：如图，作点P关于AB的对称点P'，连接P Q'交AB于点M，则点M就是所求的点，即把在点Q位置的白球打到边AB上的点M处，才能反弹回来撞到黑球.3. A 【解析】如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连结CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连结OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP.同理可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2.∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，∴OC=OD=CD=2.∴△COD是等边三角形.∴2α=60°.∴α=30°．故选A．4. 解：如图所示：（1）作BC的垂直平分线b，交BC于E；（2）分别作BE、CE的垂直平分线a，c，分别交BC于D，F；（3）连接AD，AE，AF，则AD，AE，AF即为分割线.5. 解：（1）如图，连接C C '''，作线段C C '''的垂直平分线EF ，则直线EF 即为所求.（2）连接BO ，B O ',B O ''.由△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，易知∠BOM=∠B OM '.由△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称，易知∠B OE '=∠B OE ''，所以∠B OB '''=∠BOM+∠B OM '+∠B OE '+∠B OE ''=2(∠B OM '+∠B OE ')=2α，即：∠BOB ''=2α.14.2 勾股定理的应用专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为a 、高为b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A 1C 1B 1，A 2C 2B 2，…则每一根这样的竹条的长度最少是______________2. 请阅读下列材料：问题：如图（2），一圆柱的底面半径为5 dm ，高为BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线.小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则222222212525)5(5ππ+=+=+==AC AB AC l路线2：高线AB + 底面直径BC.如上图（1）所示：设路线2的长度为2l ，则225)105()(2222=+=+=AC AB l .0)8(25200252252525222221>-=-=-+=-πππl l∴2221l l > ∴21l l >.所以要选择路线2较短.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件 改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm ” 继续按前面的路线进行计算。
八年级数学上册 11.1 平方根与立方根 典型例题 平方根素材 (新版)华东师大版
典型例题：平方根例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系．解：（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．（2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起．（1）算出A 点到B 、C 、D 、E 、F 之间的长度．（2）以图中A 、B 、C 、D 、E 、F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“分析：利用勾股定理可以算出A 点与C 、D 、E 、F 各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．解 ：（1）3=AB cm ．171422=+=AC cm ．5254202422=⨯==+=AD cm ．5253422==+=AE cm ．133222=+=AF cm ．（2）图中BEF CEF ∆∆,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ∆是等腰三角形． 又因为101322=+==BF BE cm ，因此BEF ∆是等腰三角形．例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，若46.13,23.9==b a ，求c 的长（精确到0．01）．分析：根据勾股定理222c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值．解：222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ，∴32.163645.26646.1323.92222≈=+=+=b a c ．例4 求下列各数的平方根．（1）9 （2）49223（3）0．81 解：（1）∵ 9)3(2=±∴9的平方根是3±，即39±=±．（2）∵4916949223=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即.71349223±=± （3）∵81.0)9.0(2=±∴0．81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．例5 求下列各数的平方根和算术平方根．（1）0.0064 （2）4922 （3）2)1312(1- （4）2)7(- 解答：（1）因为0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08．（2）因为491004922=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是710． （3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是135． （4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．说明：本题考查求平方根和求算术平方根的方法．因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了． 例6 求下列各式中的x ：（1）02892=-x （2）81)1(2=+x ． 分析：根据平方根的定义，或22a x =，则)0(≥±=a a x ，其中（2）中)1(+x 看成一个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．解答：（1）∵ 02892=-x ，即2892=x ． ∴ 17289±=±=x ．（2）∵ 81)1(2=+x ， ∴ 9811±=±=+x ，当91=+x 时，8=x ；当91-=+x 时，10-=x ．例7 已知0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值． 分析：只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解已知方程． 解答1：由0144252=-x 得251442=x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴512=x ． 当512=x 时，.1025213512521352==+⨯=+x 解答2：由0144252=-x ，得144252=x ，即144)5(2=x ，∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 如果031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．分析：已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．解答： ∵ 0,03,01≥++≥-≥+z y x y x∴ 031≥+++-++z y x y x ∵031=+++-++z y x y x∴应有⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+,00301z y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.231z y x说明：求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．例9 选择题：下列命题中真命的个数是（ ）．（1）;2.04.0= （2）;43169±= （3）22-的平方根是2-； （4）2)3(-的算术平方根是3-；（5）57±是25241的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根； （7）21的算术平方根是41． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义．（1）4.004.0)2.0(2≠= 2.0∴不是4.0的算术平方根．故（1）是假命题．（2）题中169是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题．（3）题中422-=-，由平方根性质：负数没有平方根． 所以（3）也是假命题．（4）中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个负数，不符合算术平方根的定义． 故（4）也是假命题． （5）,252412549)57(2==± 25241∴的平方根是57±． 此为真命题． （6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确．（7）求21的算术平方根，应是对21进行开方运算，而非平方运算． 故此命题也不是真命题． 解答：应选（A ）说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念．其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根．例10 如果一个数的平方根是3+a 与152-a ，那么这个数是多少？分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0．解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以0)152()3(=-++a a ，解得4=a ,当4=a 时，73=+a ，即两个平方根分别为7和7-，故原数为49说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解．。
华师大版八年级上册数学 第11章 数的开方 单元全套课后习题练习复习课件
2．【中考·南京】面积为4的正方形的边长是( B ) A．4的平方根 B．4的算术平方根 C．4开平方的结果 D．4的立方根
3．【中考·黔西南】下面是洪涛同学的小测 卷，他的得分应是___1_0_0___分．
4．下列说法正确的是( C ) A．0.8的立方根是0.2 B．负数没有立方根 C．－1的立方根是－1 D．如果一个数的立方根是这个数本身，那 么这个数必是1或0
3
解：由题意知 4x－37＝3， ∴4x－37＝33＝27，解得 x＝16. ∴2x＋4＝2×16＋4＝36.∵(±6)2＝36， ∴36 的平方根是±6.∴2x＋4 的平方根是±6.
A．x
B．2x
C．0
D．－2x
3
【点拨】 x2－ x3＝|x|－x.∵x＜0，
∴原式＝－x－x＝－2x.
3
13．当 a 取__任__意__数____时， a－1有意义．
【解析】正数、负数、0都有立方根，只 有正数和0有平方根．此题易因误认为负 数没有立方根而出错．
14．求下列各数的立方根： (1)0.001；
解答问题：已知 y＝ 1－2x＋ 2x－1＋2，求 xy 的值．
解：∵y＝ 1－2x＋ 2x－1＋2， ∴1－2x＝0，且 2x－1＝0， ∴x＝12，则 y＝2， ∴xy＝122＝14.
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根 第3课时 立方根
1．【中考·烟台】－8 的立方根是( B ) A．2 B．－2 C．±2 D．－2 2
的值是( D )
A．－3
B．－1
C．1
D．－3或1
【解析】2m－4与3m－1是同一个数的平方根，
分2m－4＝3m－1和2m－4＋3m－1＝0两种情
华师版八年级上册数学第11章数的开方 复习课件
学计算器计算)( C )
A．0.30
B．0.31
C．0.32
D．0.33
能力提升练
12．估算 7正确的是( B ) A．在2.5与2.6之间 B．在2.6与2.7之间 C．在2.7与2.8之间 D．在2.8与2.9之间
能力提升练
13．【2021·南阳期中】一个正方形的面积为29，则它的边
长应在( C )
A．±1
B．1，0
C．±1，0
D．以上均不对
基础巩固练
6．【2021·晋城期末】下列说法错误的是( C ) A．3 a 中的a可以是正数、负数、零 B． a 中的a不可能是负数 C．数a的平方根一定有两个，它们互为相反数 D．数a的立方根只有一个
能力提升练
7．估算的 3 220值在( C )
A．4与5之间
能力提升练 12．已知一个正方体的体积是1 000 cm3，现在要在它的8个
角上截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体
积是488 cm3，截去的每个小正方体的棱长是多少？ 解：设截去的每个小正方体的棱长是x cm.根据题意得 8x3＝1 000－488， 8x3＝512， x3＝ 64，
x＝ 4. 答：截去的每个小正方体的棱长是4 cm.
华师版 八年级上
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根 1．平方根
新知笔记
1．如果一个数的__平__方____等于a，那么这个数叫做a的 平方根．
新知笔记
2．一个正数有两个平方根，它们互为_相__反__数___，0的平方 根是0，负数没有平方根，正数a的平方根表示为± a， 正数a的_正__的__平__方__根___，叫做a的算术平方根．
①已知 10 ≈3.16，则 1 000 ≈___3_1_.6___； ②已知 3.24 ＝1.8，若 a ＝180，则a＝__3_2_4_0_0__．
新华东师大版八年级数学上册11.1.1、平方根
3
是x的一个平方根，那么x的另一个平方
3 ）；
0 ）； ），算术平方根等于 0，1
(4)平方根等于它本身的数是（ 它本身的数是（
(5) 一个数的平方等于 0.01 ，这个数是（ ±0.1 ）；
2 (6) （ 5） 5
(7)求下列各数的平方根：0.81， 0， 81 ±0.9 ，0， ± 3
x
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥 很高兴，他想裁出一块面积为25cm2的正
5cm
方形画布，画上自己的得意之作参加比
赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形 的面积 边长
1
9
16
般地，如果一个数X的平方等于a，即X2=a那
么这个数X叫做a的平方根。
例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就 说3和-3是9的平方根。也可以说:9的平方 根是±3.
所以 0.25 的平方根是 0.5， 0.25 0.5 即
求下列各式的值：
(1) 144
(2) 0.81 （3）±
121 196
解: (1)因为 2 144， 所以 144 12 12
(2)因为0.92 0.81， 所以 0.81 0.9
121 121 11 11 (3)因为 ， 所以 196 14 14 196
求下列各数的平方根
1)
100
9 2) 16
3) 0.25
解: 1)
2)
3) 因为( 0.5)2 = 0.25,
9 的平方根是 3 , 即 9 3 所以 4 16 4 16
即 所以100的平方根是 10， 100 10 3 2 9 因为( ) = , 4 16
华师版八年级数学上册第11章1 平方根
特别解读：(1)算术平方根 a具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a ≥ 0； ②算术平方根 a是非负数，即 a ≥ 0 .
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
知3－讲
知3－讲
2. 开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
3. 平方根与算术平方根的区别与联系
知3－讲
算术平方根
所以m＝(2a－1)2＝[2×(－1)－1]2＝(－3)2＝9.
故m的值为1或9.
知2－练
3-1. 已知一个正数x的两个平方根分别是2a－3与5－a，则 a＝__－__2___，x＝___4_9___.
知2－练
3-2. [期末·北京海淀区]已知正数a的两个平方根分别是x和 x＋y.
(1)若x＝2，求y的值； 解：∵正数a的两个平方根是x和x＋y， ∴x＋x＋y＝0，∴y＝－2x. 若x＝2，则y＝－4.
解：(1)因为82＝64， 所以64的算术平方根是8，即 64＝8.
知3－练
(2)因为(32)2＝94＝214，所以214的算术平方根是32，即 2 14＝32. (3)因为0.62＝0.36， 所以0.36的算术平方根是0.6，即 0.36＝0.6. (4)52的算术平方根是5，即 52＝5.
(5)因为52＝(－5)2，
平方根
区 定义不同 正叫数 做aa的的正算的术平平方方根根，如等叫果于做一aa，的个那平数么方的这根平个方数
别
个数不同
一个正数的算术平 方根只有一个
一个正数的平方根 有两个，它们互为 相反数
续表：
知3－讲
算术平方根
平方根
表示方 非负数a的算术平方 非负数a的平方根
区 法不同
根表示为 a
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第11章 数的开方
11.1平方根与立方根（附答案）
专题一 算数平方根与绝对值的综合运用
1. 20b -=，则2013()a b +=______.
2. 已知a 、b 满足7b =，求a b -的平方根.
3. 如果1x y -+3x y +的算术平方根.
专题二 被开方数中字母的取值问题
4. 已知△ABC 的三边长分别为a b c ，，，2690b b -+=，求c 的取值范围.
5.中的m 的取值范围相同吗？小明说相同，小刚说不同，你同意谁的说法？说出你的理由.
专题三（算术）平方根与立方根的规律探究
6. ===
n≥的代数式表示出来.
的规律用含自然数n(1)
7.
n>）的等式来表示你发现的规律吗？（1）你能用含有n（n为整数，且1
（2的关系.
状元笔记：
[知识要点]
1. 平方根与立方根
=，那么x就叫做a的平方根.
（1）一般地，如果2x a
（2）一个正数a a的算术平方根.
=，那么x就叫做a的立方根.
（3）一般地，如果3x a
2. 性质
（1）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0只有一个平方根，是0本身；③负数没有平方根.
（2
a≥；
①被开方数a非负，即0
≥.
（3）立方根的性质：
①一个正数有一个正的立方根；
②一个负数有一个负的立方根；
③0的立方根是0.
[温馨提示]
1. 负数没有平方根，但是它有立方根.
2. 注意利用绝对值、算术平方根的非负性求解.
[方法技巧]
体会从一般到特殊的数学思想，从中得到规律.
参考答案
1. 1- 【解析】 0=，20b -=，即3a =-，2b =. ∴2013()a b +=2013(32)1-+=-.
2. 解：根据算术平方根的意义，得9090a a -≥⎧⎨
-≥⎩， ∴9a =，7b =-，
∴16a b -=.
故a b - 的平方根是4±.
3. 解：根据题意得10x y -+=，即1050x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩. ∴33239x y +=⨯+=，
∴3x y +的算术平方根是3.
4. 0，2269(3)0b b b -+=-≥2690b b -+=，
0=，2(3)0b -=，
∴1a =，3b =.由三角形三边关系得a b c a b -<<+，
∴24c <<.
5. 解：同意小刚的说法.
中，020
m m ≥⎧⎨->⎩，得2m >；
中，020m m ≥⎧⎨->⎩，或020
m m ≤⎧⎨-<⎩，得2m >，或0m ≤.
m 的取值范围是不同的，故小刚的说法正确.
6. (1)n n =+≥.
7. 解：（1=
（2=。