自动控制原理非线性控制系统分析

（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
三．非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。
第七章 非线性控制系统分析
1 引言
非线性系统分析
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非
线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特
性不能用线性微分方程来描述。
一．控制系统中的典型非线性特性 下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有 的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来 说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系 统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控 制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统 更为优良的动态特性。
对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理 对本质非线性系统 二阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法
2.相平面法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
一．基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
x f (x, x)
（1）
如果以 x 和 x作为变量，则可有
dx dt dx
系统稳定，
。甚至还会出现更为复杂的
情况。
（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为 自持振荡，简称自振荡。 改变非系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消 除自持振荡。 对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中 不可能产生稳定的自持振荡。
动量）。用 x 和 x描述方程（1）的解，也就是用质点的状态（如位置和 动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用 状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动 控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x的平面称为相平面，相平面是二 维的状态空间。
二．线性系统的相轨迹
（4）继电器特性
（4）继电器特性
0
ma e(t) a, e(t) 0
x(t)
0
a e(t) ma, e(t) 0
bsigne(t)
e(t) a
b
e(t) ma, e(t) 0
b
e(t) ma, e(t) 0
功能：改善系统性能的切换元件
变增益特性
x(t) kk12ee((tt))
（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与
初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平
面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关
外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可
能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当
初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时
设描述系统运动的微分方程为
x 2wn x wn2 x 0
分 别 取 x 和 x为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 上 述 方 程 为 ：
dxdx dx dt
2wn
x
wn2
x
0
则
dx 2wn x wn2 x
dx
x
上式代表描述二阶系统自 由运动 的相轨 迹各点处 的斜率 ，在x 0 及
饱和特性
ke(t)
x(t)
kaasigne(t)
e(t) a e(t) a
式中
线性区宽度
k 线性区特性的斜率
signe(t )
1 1
（2）死区特性
e(t ) 0 e(t ) 0
0
e(t) a
x(t)
ke(t)
asigne(t
)
e(t) a
式中 a 死区宽度 k -线性输出的斜率
x f(
x,
x)
dt
（2）
用第一个方程除第二个方程有
dx f (x, x) dx x
Байду номын сангаас
（3）
这是一个以 x 为自变量，以 x为因变量的方程，如果能解出该方程，则 可以用（2）式把x,t 的关系计算出来。因此对方程（1）的研究，可以 用研究方程（3）来代替。如果把方程（1）看作质点的运动方程，则 x 代表质点的位置， x代表质点的速度（因而也代表了质点的
x 0 ，即坐标原点（0，0）处的斜率为dxdx
0 0
，由此我们有奇点的
定义
奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点。
（1）无阻尼运动形式（ 0 ）
dx dx
wn2
x
x
积分有
xdx wn2 xdx
x 2 x2 A2 wn2
（2）欠阻尼运动形式(0 1)
（2）欠阻尼运动形式(0 1)
e(t) a e(t) a
式中 k1, k2 -变增益特性斜率
a -切换点
特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅 速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定 性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化 非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特
二．非线性控制系统的特性
（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程， 它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型 为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这 种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线
性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统， 一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在 系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和 频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。
x(t
)
kk
e(t) e(t)
bsigne(t)
x(t) 0 x(t) 0 x(t) 0
式中 2 间隙宽度 k 间隙特性斜率
危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。 危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对 稳定性，使系统产生自持振荡。