七年级数学角度计算的综合(教师版)

如图，射线OC 在∠AOB 的内部，射线ON 是∠AOC 的平分线，射线OM 是∠BOC 的平分线，则∠MON 与∠AOB 有什么样的数量关系？请说明理由。

提示：∠MOC 为∠BOC 的一半，∠CON 为∠AOC ，可得∠AOB 为∠MON 的两倍

1、角度问题的常考题型：角度的基本概念、角度的转换与计算、角平分线与方位角的计算、方程思想求角度、选择压轴的角度多结论问题，分类讨论及定值问题。

2、常用方法：设元法、方程思想、分类讨论等。

3、角的平分线

（1）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 （2）角平分线的表示

如图，若OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝∠COB ＝12

∠AOB ，∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠COB 。

【例题精讲】

1、如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC的平分线，射线ON是∠BOC的平分线。

（1）若∠AOM＝15°，∠NOM＝4∠COM，求∠AOB的度数；

（2）在（1）的条件下，射线OD在∠BOC的内部，当射线OC是∠AOD的一条三等平分线时，请在备用图中画出射线OD，再求∠DON的度数。

2、如图，∠AOB＝80°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线。

（1）当∠AOC＝30°时，求∠MON的大小；

（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？请说明理由。

3、已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC。

（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；

（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；

（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF 与∠DOE的度数之间的关系，说明理由。

【课堂练习】

1、如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，12∠∠﹣＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角） 。

（1）如图1，O 为直线AB 上一点，OC ⊥AB 于点O ，OE ⊥OD 于点O ，直接指出图中所有互为垂角的角； （2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；

（3）如图2，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝75°，将整个图形绕点O 逆时针旋转n （0＜n ＜90°），直线AB 旋转到A ′B ′，OC 旋转到OC ′，作射线OP ，使∠BOP ＝∠BOB ′，求：当n 为何值时，∠POA ′与∠AOC ′互为垂角。

解：互为垂角的角有4对：∠EOB 与∠DOB ，∠EOB 与∠EOC ，∠AOD 与∠COD ，∠AOD 与∠AOE

2、如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角。例如：∠1＝120°，∠2＝30°，∠1－∠2＝90°，则∠1和∠2互为反余角，其中∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角。

（1）如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，∠AOE的反余角是，则∠BOE的反余角是。

（2）若一个角的反余角是它的补角的2

3

，求这个角。

6、已知OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线。

（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是；（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；

（3）如图3，当∠AOB ＝α，∠BOC ＝β时，猜想∠MON 与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由。

1、已知∠AOB ＝150°，OD 为∠AOB 内部的一条射线。

（1）如图，若∠BOC ＝60°，OD 为∠AOB 内部的一条射线，∠COD ＝3

1

∠BOC ，OE 平分∠AOB ，求∠DOE 的度数；

（2）如图（2），若OC 、OD 是∠AOB 内部的两条射线，OM 、ON 分别平分∠AOD 、∠BOC ，且∠MOC ≠∠NOD ，求

AOC BOD

MOC NOD

∠∠∠∠－－的值。

（3）如图，C1为射线OB 的反向延长线上一点，将射线OB 绕点O 顺时针以6°/s 的速度旋转，旋转后OB 对应射线为OB 1，旋转时间为t 秒（0＜t ≤35），OE 平分∠AOB 1，OF 为∠C 1OB 1的三等分线，∠C 1OF ＝

3

1

∠C 1OB 1，若1C OF AOE ∠-∠＝30°，求t 的值。

（备用图）

2、已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE。

（1）如图1，若∠COF＝14°，则∠BOE＝；若∠COF＝n°，则∠BOE＝，∠BOE与∠COF的数量关系为；

（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由。

（1）