2010年成都中考数学试卷及答案

2010年成都市中考数学试题

A卷（共100分）

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1．下列各数中，最大的数是（）

A．2-B．0C．1 2

D．3

【答案】D

2．3x表示（）

A．3x B．x x x

++C．x x x

??D．3

x+

【答案】C

3．上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观．据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（）

A．5

2.5610

?B．5

25.610

?C．4

2.5610

?D．4

25.610

?

【答案】A

4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（）

A．圆柱B．圆锥C．圆台D．长方体

【答案】B

5．把抛物线2y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A ．21y x =+ B ．2(1)y x =+ C ．21y x =- D ．2(1)y x =- 【答案】D

6．如图，已知//AB ED ， 65ECF ∠=，则BAC ∠的度数为（ ）

A ．115

B ．65

C ．60

D ．25

【答案】B

7．为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：

每天使用零花钱

（单位：元） 1

2 3

5 6

人 数

2 5 4 3

1

则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）

A ．3，3

B ．2，3

C ．2，2

D ．3，5

【答案】B

8．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ）

A ．相交

B ．外切

C ．外离

D ．内含

【答案】A

9若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么

对k 和b 的符号判断正确的是（ ）

A ．0,0k b >>

B ．0,0k b ><

C ．0,0k b <>

D ．0,0k b << 【答案】D

10．已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④

BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数

共有（ ）

A ．6种

B ．5种

C ．4种

D ．3种

【答案】C

二、填空题：（每小题3分，共15分）

11．在平面直角坐标系中，点(2,3)A -位于第___________象限．

【答案】第四象限

12．（2010年四川成都，12，3分）若,x y 为实数，且230x y ++-=，则

2010()x y +的值为___________．

【答案】1

13．如图，在ABC ?中，AB 为

O 的直径，60,70B C ∠=∠=，则BOD ∠的度数是

_____________度．

【答案】100；

14．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙

两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是_____________． 【答案】6；

15．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是

___________． 【答案】3

三、（第1小题7分，第2小题8分，共15分） 16．解答下列各题：

（1）计算：011

6tan30(3.6π)12()2

-+--+．

【答案】解：原式=3

61232?

+-+=3 （2）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负

整数值.

【答案】解：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根， ∴△=244121680k k -??=-≥ 解得2k ≤

∴k 的非负整数值为0,1,2。 四、（第17题8分，第18题10分，共18分）

17．已知：如图，AB 与圆O 相切于点C ，OA OB =，圆O 的直径为4,8AB =．

（1）求OB 的长； （2）求sin A 的值．

【答案】解：（1）由已知，OC=2，BC=4。在Rt △OBC 中，由勾股定理，

得2225OB OC BC =+=

（2）在Rt △OAC 中，∵OA=OB=25，OC=2， ∴

sinA=

5

25OC OA == 18．如图，已知反比例函数k

y x

=

与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的

值大于一次函数的值的x 的取值范围．

【答案】.解：（1）∵已知反比例函数k

y x

=经过点(1,4)A k -+， ∴41

k

k -+=，即4k k -+= ∴2k =

∴A(1，2)

∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)， ∴21b =+ ∴1b =

∴反比例函数的表达式为2y x

=

， 一次函数的表达式为1y x =+。

（2）由

1

2

y x

y

x

=+

?

?

?

=

??

消去y，得220

x x

+-=。

即(2)(1)0

x x

+-=,∴2

x=-或1

x=。

∴1

y=-或2

y=。

∴

2

1

x

y

=-

?

?

=-

?

或

1

2

x

y

=

?

?

=

?

∵点B在第三象限，∴点B的坐标为(21)

--

，。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是2

x<-或01

x

<<。

五、（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．某公司组织部分员工到一博览会的A B C D E

、、、、五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．

请根据统计图回答下列问题：

（1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；

（2）若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的

方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小明抽得的数字比小华抽得的数字大，门票给小明，否则给小华．” 请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平． 【答案】.解：（1）

馆名

数量

博览会门票扇形统计图

B 馆门票为50张，

C 占15%。 （2）画树状图

或列表格法。

开始

1 2 3 4

1 2 1 2 1 2 1

2

小明 小华

4 （4,1） （4,2（4,3（4,4

共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得门票的结果有6种，分别是（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3）。 ∴小明获得门票的概率163168

P =

=， 小华获得门票的概率235

188P =-=。

∵12P P <

∴这个规则对双方不公平。

20．已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．

（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的

点时，求证：OP OQ =；

（2）如图乙，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若

460,10AD DCB BS ===，∠，求AS 和OR 的长．

【答案】（1）证明：∵ABCD 为菱形，∴AD ∥BC 。 ∴∠OBP=∠ODQ ∵O 是是BD 的中点， ∴OB=OD

在△BOP 和△DOQ 中，

∵∠OBP=∠ODQ ，OB=OD ，∠BOP=∠DOQ

∴△BOP ≌△DOQ （ASA ） ∴OP=OQ 。

（2）解：如图，过A 作AT ⊥BC ，与CB 的延长线交于T.

∵ABCD 是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60° ∴AT=ABsin60°=23 TB=ABcos60°=2

∵BS=10，∴TS=TB+BS=12， ∴22239AT TS +

∵AD ∥BS ，∴△AOD ∽△SOB 。 ∴42

105AO AD OS SB ===， 则

25AS OS OS -=,∴7

5

AS OS = ∵AS=23971039

5OS AS =

。 同理可得△ARD ∽△SRC 。 ∴42

63

AR AD RS SC ===, 则

23AS SR RS -=,∴5

3

AS RS =， ∴3639

5RS AS =

=

∴1039639839

。 B 卷（共50分）

一、填空题：（每小题4分，共20分）

21．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为

__________________．【答案】7；

22．如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，

24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．

【答案】3；

23.有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数,1k k + （其中0,1,2,.......,19k =）

的卡片20张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14的概率为_________________.【答案】

1

4

； 24已知n 是正整数，111222(,),(,),......,(,),........n n n P x y P x y P x y 是反比例函数k

y x

=

图象上的一列点，其中121,2,......,,......n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=......，，......若1A a =（a 是非零常数），则12.....n A A A ???的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）．

【答案】(2)1

n

a n +；

25．如图，ABC ?内接于圆O ，90,B AB BC ∠==，D 是圆O 上与点B 关于圆心O 成中

心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则BQ

QR

的值为_______________．

【答案】1和12 13

；

二、（共8分）

26．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．

（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求

到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从

2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的

10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不

能超过多少万辆．

【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x。根据题意，得

2

150(1)216

x

+=

解得

10.220%

x==，

22.2

x=-（不合题意，舍去）。

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。

（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y

?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%

y y

?+?+万辆。根据题意得

(21690%)90%231.96

y y

?+?+≤

解得30

y≤

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。

三、（共10分）

27．已知：如图，ABC

?内接于O

圆，AB为直径，弦CE AB

⊥于F，C是弧AD 的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．

（1）求证：P是ACQ

?的外心；

（2）若

3

tan,8

4

ABC CF

∠==,求CQ的长；

（3）求证：2

()

FP PQ FP FG

+=?．

【答案】（1）证明：∵C是弧AD的中点，∴弧AC=弧CD，

∴∠CAD=∠ABC

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∴∠CAD+∠AQC=90°

又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ

∴在△PCQ中，PC=PQ，

∵CE⊥直径AB，∴弧AC=弧AE

∴弧AE=弧CD

∴∠CAD=∠ACE。

∴在△APC中，有PA=PC，

∴PA=PC=PQ

∴P是△ACQ的外心。

（2）解：∵CE⊥直径AB于F，

∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=

3

4

CF

BF

=，CF=8，

得

432

33 BF CF

==。

∴由勾股定理，得

40

3 BC==

∵AB是⊙O的直径，

∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=

3

4

AC

BC

=，

40

3

BC=

得

3

10

4

AC BC

==。

易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴2

AC CQ BC

=?

∴

215

2

AC

CQ

BC

==。

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∴∠DAB+∠ABD=90°

又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°

∴∠DAB=∠G；

∴Rt△AFP∽Rt△GFB，

∴AF FP

FG BF

=，即AF BF FP FG

?=?

易知Rt△ACF∽Rt△CBF，

∴2

FG AF BF

=?（或由摄影定理得）

∴2

FC PF FG

=?

由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC

∴2

()

FP PQ FP FG

+=?。

四、（共12分）

28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2

y ax bx c

=++与x轴交于A B

、两点（点A在点

B 的左侧）

，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且

:2:3ABP BPC S S ??=，求点P 的坐标；

（3）设Q 圆的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在圆Q 与坐

标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？

【答案】（1）解：（1）∵y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴3b =，(0 3)C ，。

将A (30)-，代入3y kx =+，得330k -+=。解得1k =。 ∴直线AC 的函数表达式为3y x =+。 ∵抛物线的对称轴是直线2x =-

∴930

223a b c b

a

c -+=???

-=-???=?

解得143a b c =??=??=?

∴抛物线的函数表达式为243y x x =++。

（2）如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D 。

x

∵:2:3ABP BPC S S ??=，

∴11

():()2:322AP BD PC BD ????= ∴:2:3AP PC =。

过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，

∵PE ∥CO ，∴△APE ∽△ACO ，∴

2

5

PE AP CO

AC

==， ∴2655PE OC =

=∴6

35

x =+，解得95-

∴点P 的坐标为96

()55

-，

（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在Q 圆与坐标轴相切的情况。 设点Q 的坐标为00()x y ，。

① 当⊙Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±。 当01x =-时，得20(1)4(1)30y =-+?-+=，∴1(1 0)Q -， 当01x =时，得2014138y =+?+=，∴2(1 8)Q ，

② 当⊙Q 与x 轴相切时，有01y =，即01y =±

当01y =-时，得200143x x -=++，即200440x x ++=，解得02x =-，∴3(2 1)Q --，

当01y =时，得200143x x =++，即200420x x ++=，解得02x =-±，∴4(2Q -，

5(2Q -+。

综上所述，存在符合条件的⊙Q ，其圆心Q 的坐标分别为1(1 0)Q -，，2(1 8)Q ，，3(2 1)Q --，，

4(2Q -，5(2Q -。

（Ⅱ）设点Q 的坐标为00()x y ，。

当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有00y x =±。 由00y x =，得200043x x x ++=，即200330x x ++=， ∵△=234130-??=-< ∴此方程无解。

由00y x =-，得200043x x x ++=-，即200530x x ++=，解得0x =

∴当⊙Q 的半径0r x ==

=Q 与两坐标轴同时相切。