综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法 和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式

f(x)除以除式g(x),(g(x) 0)得 商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：

f (x) g(x) q(x) r(x)。

其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x) 0。当r(x) 0时，就是f(x)能被g(x)整除。

下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算一一综合除法。

••• (2x 4 14( 4 7x 3) (x 2)的商是 2x 3 3x 1 2 6x 2， 前面讨论了除式都是一次项系数为 1的一次式的情

形。

能不能利用综合除法计算呢

1 3 3 1

2 -15 6

f (x) g(x) q(x) r(x) —gdx) aq,x) r(x)

------------------ a

1 4 5

二 Q=x 2 4x 5， R=6b 显然，上式是等式，所以可以对未知数赋值，然后解方程求得各个系数。 2 7 0

14 4 6

12 4 4 2 2 3 6 2 8 余

14x 4 解: 2x 4 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用x

|去除被除式，再把所得的商

缩小3倍即可。

3 3 10 23 16 2

2 8 10 3

例2、求(3x 3 10x 2 23x 16) (3x 2)的商式Q 和余式 7x 3

除以x 2所得的商和余式。 例1、用综合除法求 余式是& 如果除式是一次式，但一次项系数不是 1,

R 。

下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法 来求商和余式。(竖式除法更简单)

例3、用综合除法求(3x 4 7x 3 11x 2 10x 4) (x 2 3x 2)的商Q 和余式R 。

3 7

11 10 9 6

6 4

3

• I Q=3x 2 2x 5, R=3x 2。

二、余数定理

余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀( 论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式f(x)除以x a 所得的余数等于f(a)

略证：设 f(x) Q(x) (x a) R

将x=a 代入得f (a) R 。

例4、确定m 的值使多项式f (x) x 5 3x 4 8x 3 1 1x m 能够被x-1整除

解：依题意f(x)含有因式x-1，故f(1) 0。

二 1 — 3+8 + 11 + m= 0。可得m = — 17o

例5、求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为

1,它被x-3除余1,且它被x-1除和被x-2

除所得的余数相同。

解：设 f(x) x 2 ax b

v f(x)被 x 3 除余 1,A f(3) 9 3a b 1 ① v f(x)被x 1除和x 2除所得的余数相同，••• f (1) f(2)即1 a b 4 2a b ②

由②得a 3，代入①得b 1 /• f(x) x 2 3x 1 o

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

即: x 2 ax b

(x 1)(x m) R (x 2)(x n) R (x 3)(x p) 1 由(x 1)(x m) R (x 2)(x n) R ，可得 m 2,n 1

再由(x 2)(x 1) R (x 3)(x p) 1，解得 p 0 o

• f (x) x 2

3x 1 o 练习： 1、综合除法分别求下面各式的商式和余式

解: 3 2

1 —3——

2 ----------- 1730~1783)发现的。余数定理在研究多项式、讨

2) (9x 4 5x 2 y

2 8y 4 8xy 3

18x 3y) (3x 2y) ；

3) (2x 4 7x

3 16x 2 15x 15) (X 2

2x 3) ； 4) (x 6 5

x 12x 3

7x) (x 3 3x 2 5x 2)

2、 一个关于x 的二次多项式f (x)，它被x-1除余2,被x-3除余28，它可以被x+1整除，求

3、 一个整系数四次多项式f(X)，有四个不同的整数!, 2, 3, 4，可使f( 1) 1, f( 2) 1, f( 3) 1, f( 4) 1 ，求证：任何整数 都不能使 f ( ) 证：令 f ( x) a( x 1)(x 2)( x 3)(x 4 ) 1

假设存在整数 使 f( )1

则 a( 1)( 2)( 3 )( 4) 2

显然没有 5 个整数相乘等于 2 所以假设不成立，原命题成立。 f (x) 。