2015高考数学真题分类汇编专题11 排列组合、二项式定理

专题十一 排列组合、二项式定理

1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C

【解析】二项式()1n

x +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所

以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．

【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()

n

a b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．

2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52

x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C

【解析】在25

()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因

式取y,故52

x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.

【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）

（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】

据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.

【考点定位】排列组合.

【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.

4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）

A.122 B ．112 C ．102 D ．92

【答案】D

【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以7

3n

n C C =，解得10=n ，

所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为910

222

1=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.

【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：

n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .

5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．

【考点定位】排列问题．

【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．

6.【2015高考重庆，理12】5

3

x ⎛+ ⎝

的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).

【答案】

5

2

【解析】二项展开式通项为715352

15

51()

()2k k k

k

k k k T C x C x --+==，令71582k

-=，解得

2k =，因此8x 的系数为22515

()22

C =.

【考点定位】二项式定理

【名师点晴】()n

a b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指

k

n

C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.

7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．

【解析】由题可知()()442

14

4

11r r

r r

r

r r T C

C x

--+=-=-，令

412

r

-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()2

2

416C -=，故应填入6．

【考点定位】二项式定理．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟

记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()

*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．

8.【2015高考四川，理11】在5

(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.

【答案】40-. 【解析】

55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.

【考点定位】二项式定理.

【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.

9.【2015高考天津，理12】在6

14x x ⎛⎫- ⎪

⎝

⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】

15

16

【解析】6

14x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r

r

r r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，由622r -=得2r =，所以2

222

36

115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭

，所以该项系数为1516. 【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.