3-5 曲线的凹凸性、渐近线及函数图形的描绘

解: 1) 求 y
y 12x3 12x2 ,
36x( x 2)
3
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0
得
x1 0 , x2
2 , 对应
3
y1 1 ,
y2
11 27
3) 列表判别
x (,0) 0
(0, 32)
2 3
(
2 3
,

)
y 0 0
y凹
1
凸
11 27
凹
故该曲线在( ,
0]
及[
2 3
,
)
上向上凹, 在 [0 , 2]上
3
向上凸,
点
(
0
,
1
)
及
(
2 3
,
1217)
均为拐点.
例3. 求曲线 解: 容易求得
的凹凸区间及拐点.
f 0 不存在，但区间 (- ,0]为函数的凸区间，区间 [0,+ ) 为函数的凹区间，故点 0,0 是曲线 y f ( x)的拐点。
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点及函数的间断点，用这些点把函数的定义域
划分成几个部分区间；
3. 确定在这些部分区间内
和
的符号，并
由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点；
4. 求渐近线； 5. 确定某些特殊点, 描绘函数的图形。
例6. 描绘 解: 1) 定义域为
的图形. 无奇偶性及周期性.
)
(
x2
x1 x2)2
2
两式相加
f
(x1)

f
( x2 )

2
f
(x1
2
x2)

1 2!
(
) x2 x1 2
2[
f
(1)
f
(2 )]
当 f (x) 0时,
f ( x1) f ( x2 ) 2

f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立;
(2)
例1. 判断曲线
(1). 水平与铅(垂)直渐近线
若
则曲线
(或 x )
有水平渐近线 y b .
若
(或 x x0 )
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
例4. 求曲线
的渐近线.
解: lim( 1 2) 2
2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x1 x 1
3.5.2、 曲线的渐近线
定义 3.5.2 若曲线 C 上的点 M 沿着曲线无限地
远离原点时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,
则称直线 L 为 曲线 C 的 渐近线. 例如, 双曲线
y
y f (x)
C M y kxb
LN
有渐近线 x y 0 ab
o
x
y
但抛物线
无渐近线.
ox
则 在 I 内的图形是凸的.
证:
利用一阶 泰勒公式 可得
f (x1)
f
(
x1
2
x2)

f
(
x1
2
x2
)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1)
2!
(
x1

x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(
x2
x1 x2)
2
f
(2 2!
3.5 曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
3.5.1、 曲线的凹凸性与拐点 3.5.2、 曲线的渐近线 3.5.3、 函数图形的描绘
3.5.1、曲线的凹凸性与拐点
如图所示
B
A
如果弧AB位于所张弦AB的下方,我们称曲线AB呈凹形. 如果弧AB位于所张弦AB的上方,我们称曲线AB呈凸形.
定义 3.5.1 设函数 在区间 I 上连续,
y (1) 若恒有
则称
在 I 上的图形是(向上)凹的;o x1 x1x2 x2 x 2
(2) 若恒有
y
则称
在 I 上的图形是(向上)凸的. o x1 x1x2 x2 x
y
2
返回 o
x
定理3.5.1 设函数
在区间 I 上有 二阶导数
(1) 若在 I 内
则 在 I 内的图形是凹的;
(2) 若在 I 内

x
1 为垂直渐近线.
(2). 斜渐近线
若
(k x b)
(或 x )
(k x b)
f (x) b
lim x[ k ] 0
x
x
x
f (x) b
lim [ k ] 0
x x
x
斜渐近线 y k x b .
f (x) b
k lim [ ]
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
1 ex2
lim
x
1

e

x
2Байду номын сангаас
1;
1 ex2
lim
x0
1

e

x2

又因为 k lim x
f (x) x
5x2

lim
x
x2

2x

3
b

lim[
x
f
(
x)

5x]

lim
x
10x2 x2 2x
15 x 3
y 5x 10 为曲线的斜渐近线.
3.5.3、函数图形的描绘
步骤:
1. 确定函数
的定义域, 及函数的某些特性
（如奇偶性、周期性等）；
2) y x2 2x x( x 2), y 2x 2,
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
y
0

2
4 3
2 3
4)
x y
0
2
(极大值)
(拐点）
3.对于2中求出的一切根以及二阶导数不存在的点 x0 ,
检验它们左右两侧 f x的符号. 当两侧的符号相反时,
点 x0, f x0 是 y f x 的拐点；
当两侧的符号相同时,
点 x0, f x0 不是 y f x 的拐点.
例2. 求曲线
的凹凸区间及拐点.
x x
x
k lim f ( x) x x
(或 x )
b lim [ f ( x) k x] x
(或 x )
例5. 求曲线
的渐近线.
解:
5x3
y
,
( x 3)(x 1)
lim y ,
x 3
(或 x 1)
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
1 (1, )

0
1
2 e
(拐点)
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0

y
0
y
1
2
1
2 e
(极大值)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1
2
A
y
1
2

e
x2 2
B
o
x
内容小结
1.曲线凹凸与拐点的判别
(极小值)
例7. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
偶函数.
2) 求关键点
y 1
x
e
x2 2
,
2
y
1
2
e
x2 2
(1
x2
)
令 y 0得 x 0; 令 y 0得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1)
y 0
y

y
1
2
(极大值)
f ( x) 0, x I
f ( x) 0, x I
拐点 — 连续曲线上凹凸的分界点
2. 曲线渐近线的求法 水平渐近线; 垂直渐近线; 斜渐近线
3. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
思考与练习
D 曲线
1 ex2 y 1 ex2
(
)
(A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；
解: y 4x3 ,
的凹凸性.
y ox
故曲线
在
上是向上凹的.
说明: 若在某点二阶导数为 0, 但在其两侧二阶导数
不变号,则曲线的凹凸性不变.
求曲线 拐点 的步骤如下:
1.求 f x ;
2. 令 f x 0, 求出该方程在区间 I 内的实根,并求出 I内
f x 不存在的点;