数理统计 第三章 习题

β = Φ(uα − λ) + Φ( uα + λ ) −1 ?
≈ ? Φ(u
α 2
− λ)= Φ(1.96 − 2 n / 2.5) ≤ 0.05
⇒ 1.96 − 2 n / 2.5 ≤ −1.645 ⇒ n ≥ 2.85 ⇒ n ≥ 8.12
所以取 n = 9. 本题是左侧检验！
µ − µ0 15−13 2 n = 解 λ= = , u0.05 = 1.645 , σ0 / n 2.5 / n 2.5
2 0.05
χ = 9.8313 > 7.815 = χ
2 0.05
(3)
拒绝 H0 , 即螺栓口径不是正态分布.
z 的分组
− 2.27 ~ −1.64 −1.64 ~ −1.02 −1.02 ~ −0.39 − 0.39 ~ 0.24 0.24 ~ 0.86 0.86 ~ 1.49 1.49. ~ 2.12 2.12 ~ 2.75
χ =∑
2
mi npi
(mi − npi )2 npi
5 8 20 34 17 6 6 4
β = P(4.7425 ≤ x ≤ 5.2575 µ =4.8)
5.2575 − 4.8 4.7425 − 4.8 = Φ − Φ 1 1 = Φ(0.4575) − Φ(−0.0575) = 0.1992.
?
x − 4.8 解② 由 > 2.575 得 1/10 拒绝域 W = ( −∞, 4.5425) ∪ (5.0575, + ∞) 接受域为 ( 4.5425, 5.0575) 当 µ = 4.8 时 x ~ N( 4.8, 1/100) β = P(4.5425 ≤ x ≤ 5.0575 µ =4.8)
p1 = P( A1 ) = Φ(−1.64) − Φ(−2.27) = 0.0505 − 0.0116 = 0.0389 p2 = P( A2 ) = Φ(−1.02) − Φ(−1.64) = 0.1539 − 0.0505 = 0.1034 p3 = 0.1944, p4 = 0.2465, p6 = 0.1268, p5 = 0.2103, p8 = 0.0140, p7 = 0.0511,
=
n( X − µ) np(1− p)
~ N(0,1)
假设 H0 : p = 0.17; H1 : p ≠ 0.17. U > u0.025 = 1.96 拒绝域 W : 400(56 / 400 − 0.17) U = = 1.597 < 1.96 ∉W 400× 0.17 × 0.83 新工艺没有显著影响产品质量. 接受 H0 ,新工艺没有显著影响产品质量.
错 错 欠 妥 对
单侧假设的习惯规定
1. 检验质量是否合格, H0取合格情形. 2. 在技术革新后, 检验参数是否变大 (或变小), H0 取不变大(或不变小) 情形, 即保守情形.
解 假设 H0 : µ ≤ 23.8; H1 : µ > 23.8.
X − µ0 取统计量 T = ~ t (6) ∗ S / 7 拒绝域 W : T > t0.05 (6) =1.9432
取统计量 T =
132 −125 21.078/ 8
X − µ0
∗
S / n 拒绝域 W : T > t0.05 (7) = 1.8946
~ t (n −1)
T=
= 0.9393∉W
接受H0.
(2) 要求(1)中的H1的 (µ −125) / σ ≥1.4 即 δ / σ ≥1.4 ⇒ σ / δ ≤ 0.714 取σ / δ = 0.714 本题是右侧检验，
9 解① 服用新药平均睡眠时间 7 1 x = ∑xi = 24.2, 24.2 − 20.8 = 3.4 > 3 7 i=1 所以新安眠药已达到新的疗效. 题目做成这样助教仍给打 上述求解者似乎没学过数理统计！
解② x = 24.2, 标准差 24.2 − 20.8 = 3.4 假设 H0 : µ = 3; H1 : µ ≠ 3.
补充题 1. 设需要对某一 正态母体的均值 进行假设检验 H0: µ = 15 ； H1: µ <15.
2
已知 σ
中的 µ ≤13 时,犯第二类错误的概率不 超过0.05 , 求所需子样容量.
= 2.5, 取 α = 0.05. 若要求当H1
解 λ=
δ σ0 / n
2
=
2 n 2.5
2
,
u0.05/ 2 = 1.96 ,
2 新 2 2 新 2
6×5.27 =12.352 <14.449∉W , 现 χ = 2.56
2
接受原假设,即两正态母体方差相等.
假设 H0 : µ新 − µ旧 ≤ 3; H1 : µ新 − µ旧 > 3.
X −Y −3 ~ t (12) 取统计量 T = Sw / 2 / 7
拒绝域 W ：
T ≥t0.05(12) =1.7823.
解二 1060502012 李 钧
β=
=
1 2π 1 2π
∫
µ 0−µ1 +uα / 2 σ0 / n µ 0−µ1 −uα / 2 σ0 / n
e
t2 − 2
dt
∫
4.575
−0.575
e
t2 −2
dt
= Φ(4.575) − Φ(−0.575) = 0.7174.
U 检验法中
右侧检验 左侧检验 双侧检验 其 中
3.89 14.23 10.34 19.44 29.65 21.03 12.68 5.11 6.51 1.4
0.1063 0.0161 3.5465 0.7723 3.5191 1.8710
9.8313
由于并组, l = 6 估计了两个参数, k = 2 自由度 l −k −1= 3 查表得
2
χ (3) = 7.815
n ≥ (uα + uβ )σ / δ = 0.714(u0.05 + u0.1 )
= 0.714(1.645 +1.282) = 2.09 ⇒ n ≥ 4.37
所以子样容量取 n = 5.
27 解 1060802003 林
滔
2
用最大似然估计法估计 µ 和 σ . ai + bi 1 8 ˆ µmle = x = ∑mi 2 = 11.0024, 100 i=1
于是接受域为 ( 4.7425, 5.2575) 当 µ = 4.8 时 x ~ N( 4.8, 1/100)
β = P(接 H0 H0不 ) 受 真
= P(4.7425 ≤ x ≤ 5.2575 µ =4.8)
5.2575 − 4.8 4.7425 − 4.8 = Φ − Φ 0.1 0.1 = Φ(4.575) − Φ(−0.575) = 0.7174.
?
5.0575 − 4.8 4.5425 − 4.8 = Φ − Φ 0.1 0.1 = Φ(2.575) − Φ(−2.575) = 0.99.
解一 1061602004 陆文敏
x −5 由 > 2.575得拒绝域 1/10 W = ( −∞, 4.7425) ∪ (5.2575, + ∞)
β = Φ(uα + λ ) = Φ(1.645 + 2 n / 2.5 ) ≤ 0.05
⇒ 1.645 + 2 n / 2.5 ≤ −1.645
⇒ 3.29 2.5 n≥ ≈ 2.6 ⇒ n ≥ 6.76 2
所以子样容量取 7.
解二 1060802003 王
晨
本题是左侧检验， H1： ≤ 13, β ≤ 0.05 , 当 µ
数理 统计
第三章习题
x − µ0 x −5 > uα / 2 得 > 2.575 2(2)解 2(2) ① 由 σ0 / n 1/10 拒绝域 W = ( −∞, 4.7425) ∪ (5.2575, + ∞)
接受域为 ( 4.7425, 5.2575) 当 µ = 4.8 时 x ~ N( 4.8, 1)
β
的计算公式
β = Φ(uα − λ )
β = Φ(uα + λ )
β = Φ(λ + uα ) − Φ( λ −uα )
µ − µ0 λ= σ0 / n
2 2
6 解 1060502004 沈
彬
本题属大样本. 本题属大样本.母体为二项分布B(n, p). n 取统计量 U =
∑X
i=1
i
− np
np(1− p)
n ≥ (uα + uβ )σ / δ
= (u0.05 + u0.05 ) 2.5 /(15 −13)
= 2×1.645 2.5 /(15 −13) = 2.6
⇒ n ≥ 6.76
所以子样容量取 n = 7.
2. 电池在货架上滞留时间不能太长. 在某商店随机选出8只电池在货架上的 滞留时间(单位:天)为 108 124 106 138 124 163 159 134. 设电池滞留时间服从 正态分布,其中 µ ,σ 未知; (1)试检验假
2
(7 −1) ×5.27 + (7 −1) ×1.6 ? Sw = =1.9786 7+7−2
统计量值 T0 = 0.3782 <1.7823∉W 所以接受原假设, 新药未达到新疗效.
下面是大家作的各种假设,哪个对? 下面是大家作的各种假设,哪个对?
H0 : µ = 20.8; H1 : µ > 20.8. H0 : µ ≥ 20.8; H1 : µ < 20.8. H0 : µ = 23.8; H1 : µ ≠ 23.8. H0 : µ = 23.8; H1 : µ ≤ 23.8. H0 : µ > 23.8; H1 : µ ≤ 23.8. H0 : µ ≤ 23.8; H1 : µ > 23.8.
1 7 由子样得 x = ∑xi = 24.2, 7 i=1 7 1 7 2 ∗ 2 ∗2 S = ∑xi − x = 5.27, S = 2.2956. 6 i=1 6
统计量值
24.2 − 23.8 T0 = = 0.461<1.9432∉W 2.2956 / 7
所以接受原假设,新药未达到新疗效.
1 ai + bi 2 ˆ σ = ∑mi − x = 0.001018 100 i=1 2 作假设
8 2 2 mle
H0 : X ~ N(11.0024, 0.001018).
先变换原始数据
ˆ xi − µmle xi −11.0024 zi = = ˆ σmle 0.03191
2
设 H0: µ = 125 ； H1: µ >125, 取 α = 0.05. (2) 若要求(1)中的H1的(µ −125) / σ ≥1.4 时,犯第二类错误的概率不超过0.1 , 求 所需子样容量.
1 8 2 解 x = 132, S 2 = ∑xi − x 2 = 388.75, 8 i=1 8 2 ∗2 ∗2 S = S = 444.29, S = 21.078. 8 −1 (1) 假设H0: µ = 125 ； H1: µ >125,
?Hale Waihona Puke Baidu
X −µ ~ t (6) 选统计量 T = ∗ S / 7 拒绝域 W : T >t0.025 (6) = 2.4469
现
?
3.4 − 3 T = = 0.601∈W 1.6 / 7
?
?
所以接受假设, 不达到新疗效. 所以接受假设 不达到新疗效
?
?
解③ 先检验两正态母体方差是否相等. 假设 H0 : σ =1.6 ; H1 :σ ≠ 1.6 . ∗2 (n −1)S 2 2 ~ χ (n −1) 取统计量 χ = 2 σ0 2 2 （） 拒绝域 W ： χ ≥ χ0.025 6 =14.449,