高中数学《等比数列的性质》导学案
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解法二：a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝…＝an2＝22n， 所以 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1) ＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n 2＝n2.故选 C.
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【跟踪训练 1】 在等比数列{an}中，已知 a7·a12＝5， 则 a8·a9·a10·a11 等于( )
A．10 B．25 C．50 D．75 解析 运用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q，则 am·an ＝ap·aq 可得 a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以 a8·a9·a10·a11＝25. 故选 B.
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拓展提升 运用等比数列的性质应注意的问题
运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t (m，n，k，l，t∈ N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系 m＋n＝k＋l＝ 2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列 相应的性质混淆．
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2．做一做
(1)(教材改编 P53 练习 T4)已知等比数列{an}中，a4＝7，
a6＝21，则 a8 的值( )
A．35 B．63 C．21 3 D．±21 3
(2)等比数列{an}中，a5a7a9＝27，则 a7＝___3_____.
□ ①{can}(c 为任一不为零的常数)是公比为____0____0_7_|_q_| ___的等比数列． □ ③{amn }(m 为常数，m∈N*)是公比为____0_8__q_m___的等比
数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2 的等比数列，则数
时 ， 等 比 数 列 {an} 为
(2)
当
a1>0， 0<q<1
或 a1<0， q>1
□ __1_1__递__减____数列．
时 ， 等 比 数 列 {an} 为
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){an}是等比数列，若 m＋n＝p，则 am·an＝ap.( × ) (2)若等比数列{an}的公比是 q，则 an＝amqm－n(m，n∈ N*)．( × ) (3)若{an}是有穷等比数列，则 a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… ＝aman－m＋1.( √ ) (4)若数列{an}成等比数列，当 m，n，p(m，n，p∈N*) 成等差数列时，am，an，ap 也成等差数列．( × )
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第二章 数列
2．4 等比数列 第2课时 等比数列的性质
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1.等比数列的项与序号的关系及性质 (1)等比数列通项公式的推广
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(2)已知等比数列{an}满足 an>0，n＝1,2，…，且 a5·a2n－ 5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
解析 (1)解法一：由等比中项的性质知 a1a2a3＝a32＝5， a7a8a9＝a38＝10，a4a5a6＝a35＝( a2a8)3＝5 2，故选 A.
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(2)等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
□ 则 am·an＝___0_2_a_p_·a_q___.
①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝
□ ___0_3_a__k2 ____.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积
□ 列{an·bn}是公比为___0_9__q_1_·q_2__的等比数列．
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3．等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
(1) 当 a1>0， 或 a1<0，
q>1
0<q<1
□ __1_0__递__增____数列；
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解法二：因为 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 成等比数列，所以 (a4a5a6)2＝(a1a2a3)×(a7a8a9)，即 a4a5a6＝±5 2.因为 an>0，所 以 a4a5a6＝5 2.故选 A.
(2)解法一：a5·a2n－5＝an2＝22n，注意到 an>0，所以 an＝ 2n，于是 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1) ＝n2.故选 C.
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探究 1 等比数列的性质
例 1 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3 ＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝( )
A．5 2 B．7 C．6 D．±5 2
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□ 等 于 首 末 两 项 的 积 ， 即 a1·an ＝ a2·__0_4__a_n_－_1 ___ ＝ … ＝ □ ak·__0_5__a_n_－_k＋_1__＝….
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2．等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则下列数列：
(3) 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 若 64
a3
＝
4 3
，
a5
＝
8 3
，
则
a11 ＝
___3_____.
(4)若数列{an}为等比数列，且 a1＋a2＝1，a3＋a4＝4， 则 a9＋a10＝___2_5_6___.
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A．10 B．25 C．50 D．75 解析 运用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q，则 am·an ＝ap·aq 可得 a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以 a8·a9·a10·a11＝25. 故选 B.
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运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t (m，n，k，l，t∈ N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系 m＋n＝k＋l＝ 2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列 相应的性质混淆．
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a6＝21，则 a8 的值( )
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(2)等比数列{an}中，a5a7a9＝27，则 a7＝___3_____.
□ ①{can}(c 为任一不为零的常数)是公比为____0____0_7_|_q_| ___的等比数列． □ ③{amn }(m 为常数，m∈N*)是公比为____0_8__q_m___的等比
数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2 的等比数列，则数
时 ， 等 比 数 列 {an} 为
(2)
当
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或 a1<0， q>1
□ __1_1__递__减____数列．
时 ， 等 比 数 列 {an} 为
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){an}是等比数列，若 m＋n＝p，则 am·an＝ap.( × ) (2)若等比数列{an}的公比是 q，则 an＝amqm－n(m，n∈ N*)．( × ) (3)若{an}是有穷等比数列，则 a1an＝a2an－1＝a3an－2＝… ＝aman－m＋1.( √ ) (4)若数列{an}成等比数列，当 m，n，p(m，n，p∈N*) 成等差数列时，am，an，ap 也成等差数列．( × )
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2．4 等比数列 第2课时 等比数列的性质
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＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
解析 (1)解法一：由等比中项的性质知 a1a2a3＝a32＝5， a7a8a9＝a38＝10，a4a5a6＝a35＝( a2a8)3＝5 2，故选 A.
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在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
□ 则 am·an＝___0_2_a_p_·a_q___.
①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝
□ ___0_3_a__k2 ____.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积
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已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
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(2)解法一：a5·a2n－5＝an2＝22n，注意到 an>0，所以 an＝ 2n，于是 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1) ＝n2.故选 C.
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例 1 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3 ＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝( )
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□ 等 于 首 末 两 项 的 积 ， 即 a1·an ＝ a2·__0_4__a_n_－_1 ___ ＝ … ＝ □ ak·__0_5__a_n_－_k＋_1__＝….
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(3) 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 若 64
a3
＝
4 3
，
a5
＝
8 3
，
则
a11 ＝
___3_____.
(4)若数列{an}为等比数列，且 a1＋a2＝1，a3＋a4＝4， 则 a9＋a10＝___2_5_6___.
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