人教版--高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量
2.1 向量的概念及表示
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

【学习重难点】
重点：平行向量的概念和向量的几何表示；
难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；
【自主学习】
1.向量的定义：__________________________________________________________;
2.向量的表示：
（1）图形表示：
（2）字母表示：
3.向量的相关概念：
（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________
（2）零向量：___________________，记作：_____________________
（3）单位向量：________________________________
（4）平行向量：________________________________
（5）共线向量：________________________________
（6）相等向量与相反向量：_________________________
思考：
（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】
例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：
（1）零向量是唯一没有方向的向量；
（2）平面内的向量单位只有一个；
（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；
b c，则a和c是方向相同的向量；
（4）向量a和b是共线向量，//
（5）相等向量一定是共线向量；
例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与EF 共线的向量； （2）确定与EF 相等的向量； （3）OA 与BC 相等吗？
【课堂练习】
1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：
（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上； （2）单位向量都相等；
（3）任意一向量与它的相反向量都不想等； （4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB
CD =；
（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；
2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________
3. 四边形ABCD 中，
则四边形ABCD 的形状是_________
4.设0a ≠，则与a 方向相同的单位向量是______________
5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。

求证：//EF NM
6.已知飞机从甲地北偏东30的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问：丁地在
甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【课堂小结】
O
D
C
B
A F
E
2.2.1 向量的加法
【学习目标】
1.掌握向量加法的定义；
2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；
3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 【学习重难点】
重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 【自主学习】
1.向量的和、向量的加法：
已知向量a 和b ，______________________________________________________ 则向量OB 叫做a 与b 的和，记作：____________________________________ _________________________________叫做向量的加法
注意：两个向量的和向量还是一个向量；
2.向量加法的几何作法： （1）三角形法则的步骤： ① ② ③
OA ∴就是所做的a b +
（2）平行四边形法则的步骤： ① ② ③
OC ∴就是所做的a b +
注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角
a
b
A
B
O
b
a
形法则对于任何两个向量都适用。

3.向量加法的运算律： （1）向量加法的交换律：
_________________________________________ （2）向量加法的结合律：
_________________________________________
思考：如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n 条向量的和是什么？________________
【例题讲解】
例1.如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： （1）OA OC + （2）
例2.化简下列各式 （1）AB BC CD DA EA ++++ （2）AB MB BO OM
+++
（3）AB DF CD BC FA ++++ （4）()AB CD BC DB BC ++++
例3.在长江南岸某处，江水以12.5/
km h 的速度向东流，渡船的速度为25/km h ，渡船
要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【课堂练习】 1.已知,a b ，求作：a b +
（1） （2）
2.已知O 是平行四边形ABCD 的交点，下列结论正确的有_________ （1）AB
CB AC += （2）AB AD AC +=
（3）AD CD BD +≠ （4）0AO CO OB OD +++≠
3.设点O 是ABC ∆内一点，若0OA OB OC ++=，则点O 为ABC ∆的______心；
4.对于任意的,a b ，不等式||||||||||a b a b a b -≤+≤+成立吗？请说明理由。

【课堂小结】
b
a
b
a
2.2.2 向量的减法
【学习目标】
1.理解向量减法的概念；
2.会做两个向量的差；
3.会进行向量加、减得混合运算
4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】 重点：三角形法则
难点：三角形法则，向量加、减混合运算 【自主学习】 1.向量的减法：
①a 与b 的差：若__________________，则向量x 叫做a 与b 的差，记为__________ ②向量a 与b 的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；
注意：向量的减法是向量加法的逆运算。

2.向量a
b -的减法的作图方法：
作法：①_______________________________ ②________________________________ ③________________________________ 则BA a b =-
3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
()a b a b -=+-
4.关于向量减法需要注意一下几点：
①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.
②以向量
,AB a AD b ==为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为
,AC a b =+BD b a =-，DB a b =-这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理
解；
③对于任意一点O ，AB
OB OA =-，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.
【例题讲解】
例1.已知向量,,,a b c d ，求作向量：,a b c d --；
思考：如果//a b ，怎么做出a b -？
例2.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,,AB a DA b OC c ===试证
明：b c a OA +-=
本题还可以考虑如下方法： 1.（1）OA OC
CA OC CB CD =+=++
（2）c a OC AB OC DC OD OA AD -=-=-==+
2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和。

例3.化简下列各式 （1）()AB BC
BD AD -+-
（2）AB DA BD BC CA ++-- （3）()()AB DC AC BD ---
【课堂练习】 1.在ABC ∆中，90C
∠=，AC BC =，下列等式成立的有_____________
c
d
b
a
a
c
b
（1）||||CA CB CA CB -=+ （2）|
|||AB AC BA BC -=-
（3）||||CA BA CB AB -=-
（4）222
||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-
2.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交与O 点，且,AO OC BO OD ==， 求证：四边形ABCD 是平行四边形。

3.如图，ABCD 是一个梯形，//,2AB
CD AB CD =，,M N 分别是,DC AB 的中
点，已知,,AB a AD b ==试用,a b 表示BC 和MN
【课堂小结】
2.2.3 向量的数乘（1）
【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；
2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；
3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想 【学习重难点】
重点：向量的数乘及运算律； 难点：向量的数乘及运算律； 【自主学习】 1.向量的数乘的定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下： （1）||||||a a λλ= （2）当0λ
>时，_______________________； 当0λ<时，_______________________； 当0λ=时，_______________________；
______________________________叫做向量的数乘 2.向量的线性运算定义：
___________________________________________统称为向量的线性运算； 3.向量的数乘的作图： 已知,a 作b a λ= 当0λ>时，把a 按原来的方向变为原来的λ倍； 当0λ<时，把a 按原来的相反方向变为原来的λ倍；
4.向量的数乘满足的运算律：
设,λμ为任意实数，,a b 为任意向量，则 （1）结合律
______________________________________ （2）分配律
_______________________________________
注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；
（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。

【典型例题】
例1.已知向量,a b ，求作： （1）向量 2.5a - （2）23a b -
例2.计算 （1）(5)
4a -
（2）5()4()3a b a b a +---
（3）2(263)3(342)a b c a b c +---+-
注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。

不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。

（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。

例3.已知,OA OB 是不共线的向量，,()AP t AB t R =∈，试用,OA OB 表示OP
b
a
例4.已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，,E F 为,AC BA 的中点，,,AD BE CF 相交于O 点，求证： （1）1
()2
AD AB AC =+ （2）0AD
BE CF ++=
（3）0OA OB OC ++=
【课堂练习】 1.计算：
（1）3(53)2(6)a b a b --+
（2）4(35)2(368)a b c a b c -+---+
2.已知向量,a b 且3()2(2)4()0,x a x a x a b ++---+=求x
3.在平行四边形ABCD 中，,,3,AB a AD b AN NC M ===为BC 的中点，
用,a b 来表示MN
4.如图，在ABC ∆中，,,AB a BC b AD ==为边BC 的中线，G 为ABC ∆的重心，
求向量AG
【课堂小结】
b
a
G •
D
C
B
A
2.2.3 向量的数乘（2）
【学习目标】
1.理解并掌握向量的共线定理；
2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；
3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点：向量的共线定理； 难点：向量的共线定理； 【自主学习】 1.向量的线性表示：
若果,(0)b a a λ=≠，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示； 2.向量共线定理：
思考：向量共线定理中有0a ≠这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？
【典型例题】
例1.如图，,D E 分别是ABC ∆的边,AB
（1）将DE 用BC 线性表示； （2）求证：BC 与DE 共线； 例
2.
设
12,e e 是两个不共线的向量，已知
1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若,,A B D 三点共线，求k 的值。

变式：设12,e e 是两个不共线的向量,已知
12121228,3,2AB e e CB e e CD e e =-=+=-,求证：,,A B D 三点共线。

例3.如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，,(1),AC BC λλ=≠-
求证：1OA OB
OC λλ
+=
+
思考： （1）当1λ=时，你能得到什么结论？
（2）上面所证的结论：1OA OB
OC
λλ
+=
+表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的
向量OC 可以用,OA OB 表示，那么两个不共线的向量,OA OB 可以表示平面上任意一个向量吗？
例 4.已知向量1
21223,23,a e e b e e =-=+其中12,e e 不共线，向量1229c e e =-，
是否存在实数,λμ，使得d a b λμ=+与c 共线
例5.平面直角坐标系中，已知(3,1),(1,3),A B -若点C 满足,OC
OA OB αβ=+其中
,,R αβ∈,,A B C 三点共线，求αβ+的值；
【课堂练习】 1.已知向量122122,3(),a e e b e e =-=--求证：,a b 为共线向量；
2.设12,e e 是两个不共线的向量，12122,,a e e b ke e =-=+若,a b 是共线向量，求k 的
值。

3.求证：起点相同的三个非零向量,,32a b a b -的终点在同一直线上。

【课堂小结】
2．3．1 平面向量基本原理
【学习目标】
1． 了解平面向量的基本定理及其意义；
2． 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法： 3． 提高学生分析问题、解决问题的能力。

【预习指导】
1、平面向量的基本定理
如果1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ，2λ使=1λ1e +2λ2e 2.、基底：
平面向量的基本定理中的不共线的向量1e , 2e ，称为这一平面内所有向量的一组基底。

思考：
（1） 向量作为基底必须具备什么条件？ （2） 一个平面的基底唯一吗？ 答：（1）______________________________________________________ （2）______________________________________________________ 3、向量的分解、向量的正交分解：
一个平面向量用一组基底1e , 2e 表示成a =1λ1e +2λ2e 的形式，我们称它为向量的分解，当1e , 2e 互相垂直时，就称为向量的正交分解。

4、 点共线的证明方法：___________________________________________ 【典例选讲】
例1：如图：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于一点M ，AB =a ,AD =b 试用 ,，表示 , , 和 。

C
A
a
例2： 设1e ，2e 是平面的一组基底，
如果 =31e —22e ， =41e + 2e ，=81e —92e ，求证：A 、B 、D 三点共线。

例3： 如图，在平行四边形ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM=2
1
AB ，点N 在 BC 上，且BN=
3
1
BC ，用向量法证明： M 、N 、D 三点共线。

D C
N
A B M
【课堂练习】
1、若1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ ）
A 、1e —22e 和1e +22e
B 、1e 与32e
C 、21e +32e 和 - 41e —62e
D 、1e +2e 与1e
2、若1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（ ） A 、若实数1λ，2λ使1λ1e +2λ2e =0，则1λ=2λ=0
B 、空间任意向量都可以表示为a =1λ1e +2λ2e ，1λ，2λ∈R
C 、1λ1e +2λ2e ，1λ，2λ∈R 不一定表示平面内一个向量
D 、对于这一平面内的任一向量 ，使=1λ1e +2λ2e 的实数对1λ，2λ有无数对 3、三角形ABC 中，若 D ，
E ，
F 依次是 四等分点，则以 =1e ，=2e 为基底时，用1e ，2e 表示CF
A C
4、若a = -1e +3 2e , b = 4 1e +2 2e ,c = - 31e +122e , 写出用1λb + 2λc 的形式表示
【课堂小结】
2．3．2向量的坐标表示(1)
【学习目标】
1、 能正确的用坐标来表示向量；
2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同；
3、 掌握平面向量的直角坐标运算；
4、 提高分析问题的能力。

【预习指导】
1、一般地，对于向量 a ，当它的起点移至_______时，其终点的坐标),(y x 称为向量a 的（直角）坐标，记作________________________。

2、有向线段AB 的端点坐标为),(,),(2211y x B y x A ，则向量 的坐标为__________________________________________________。

3、若a =),(11y x ，)22,(y x b =
+=_________________________。

=-________________________。

【典型例题选讲】
例1：如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限， 060,34=∠=xOA ，求向量
OA 的坐标。

例2：已知A （-1，3），B （1，-3），C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 ,,, 的坐标。

例3：平面上三点A （-2,1），B （-1,3），C （3，4）,求D 点坐标，使A,B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。

例4：已知P 1（ 11,y x ），P 2（ 22,y x ），P 是直线P 1P 2上一点，且)1(21-≠=λλPP P ，求P 的坐标。

【课堂练习】
1、与向量 )5,12(=平行的单位向量为__________________________________
2、若O （0,0）,B(-1,3) 且/OB =3，则 /
B 坐标是：___________________
3、已知O 是坐标原点，点A 在第二象限， =2 ,0
150=∠xOA 求向量 的坐标。

4、已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求 BD BC AC AB ,,, 的坐标。

【课堂小结】
2．3．2 向量的坐标表示（2）
【学习目标】
1、 进一步掌握向量的坐标表示；
2、 理解向量平行坐标表示的推导过程；
3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。

【预习指导】
1、 向量平行的线性表示是_____________________________
2、向量平行的坐标表示是：设),(11y x = ，))(,(22≠=y x ，如果∥ ，那么_________________，反之也成立。

3、已知A ，B ，C ，O 四点满足条件：OC OB OA =+βα ，当1=+βα ，则能得到 ________________________________________ 【典型例题选讲】
例1：已知A （)0,1- ，)1,3(-B ,)2,1(C ,并且BC BF AC AE 3
1
,31== ,求证：∥
AB 。

例2：已知)1,2(,)0,1(==b a ，当实数k 为何值时，向量k -与3+平行？并确定此时它们是同向还是反向。

例3：已知点O , A , B , C , 的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数t ，OC OB t OA =+成立？解释你所得结论的几何意义。

【课堂练习】
1. 已知),,6(),3,2(y b a ==且∥，求实数y 的值。

2. 已知，平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (2, 1)， B (－1,3) ， C (3,4)，
求第四个顶点的D 坐标。

3. 已知A (0, －2)，B (2, 2)，C (3, 4)，求证：A ，B ，C 三点共线。

4. 已知向量)4,3(--=，求与向量同方向的单位向量。

5. 若两个向量)4,(,),1(x x -=-=方向相同，求b a 2-。

【课堂小结】
2．4．1向量的数量积（1）
【学习目标】
1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义
2. 掌握数量积的运算法则
3. 了解平面向量数量积与投影的关系 【预习指导】
1. 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则把数量_________________叫做向量与
的数量积（或内积）。

规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________
2. 已知两个非零向量a 与b ，作a OA =，b OB =，则______________________叫做向量
与的夹角。

当0
0=θ时，与___________，当0
180=θ时，与_________；当0
90=θ时，则称与__________。

3.
对于θ=•，其中_____________叫做在方向上的投影。

4. 平面向量数量积的性质
若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则：
①
θcos •=•=•；
②b a b a ⊥⇔=•0；
③
≤•；
④若与
同向，则=•；若与
反向，则•=•；
a a =•
=
⑤设θ是a 与b
的夹角，则=
θcos 。

5. 数量积的运算律
①交换律：________________________________ ②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________
注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。

②、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。

即
••)( 不一定等于)(•• ，也不适合消去律 。

【典型例题选讲】
例1： 已知向量 与向量 的夹角为θ = 2 ，= 3 ，分别在下列条件下求•：（1）θ = 1350 ； （2）a ∥b ； （3） b a ⊥
例2= 4 = 8 ，且a 与b 的夹角为1200 。

计算：（1） )2()2(-•+ ；
（2）+ 。

例3= 4 = 6 ，a 与b 的夹角为600
，
求：（1）、a •b （2）、a •)(+（3）、)3()2(+•-
例4：已知向量a ≠e =1 ，对任意t ∈ R ,-≥- ，则（ ）
A 、⊥
B 、⊥ （)
-
C 、e ⊥ （a )-
D 、（)()-⊥+
【课堂练习】 1、
= 12 ，且36)5
1
()3(-=•b a ，则a 与b 的夹角为__________
2、 已知 、 、 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确： （1）
、若b
a =•，则∥ （ ）
（2）、若•=•，则= （ ） （3）
-=+，则⊥ （ ） 3
、已知0)()23(,3,2,0=-•+===•b a b a b a λ，则=λ__________
4、四边形ABCD 满足A = D ,则四边形ABCD 是（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形
5、正ABC ∆ 边长为a ，则=•+•+•__________
【课堂小结】
2．4．1向量的数量积（2）
【学习目标】
1、 能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；
2、 理解并掌握两个向量垂直的条件。

【预习指导】
1、若),(),,(2211y x y x == 则=•b a ______________________________
2、向量的模长公式：
设),(y x =
θ = 22y x +=•
∴=__________
3、 两点间距离公式
设A （),11y x B ),(22y x
则=--=y y x x B A ,),(1212__________
4、 向量的夹角公式：
设a = （),11y x ，),(22y x = ，a 与b 的夹角为θ ，
则有==θcos __________
5、 两个向量垂直：
设a = （),11y x ，),(22y x =，,≠≠
⇔⊥b a ____________________
注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。

【典例选讲】
例1：已知 = （2 ，)1- ，)2,3(-=b ，求)2()3(b a b a -•- 。

例2：在ABC ∆中，设),1(),3,2(k A A == 且ABC ∆为直角三角形，求k 的值 。

例3：设向量212134,e e e e +=-=，其中1e = （1，0），2e =（0，1）
（1）、试计算b a •及
+的值。

（2）、求向量a 与b 的夹角大小。

【课堂练习】
1、已知)2,1(),2,2(-=-= ，求：).23()(-•-
2、已知向量)3,2(),1,1(-==，若k 2-与垂直，则实数k =__________
3、已知)1,(),2,1(x ==若2+与-2平行，则=x __________
4、已知A 、B 、C 是平面上的三个点，其坐标分别为)1,0(),1,4(),2,1(-C B A .那么
AC AB •=__________ ，=∠ACB __________ ， ABC ∆的形状为__________
5、已知)2,12(),3,2(-+=+-=m m m m ，且 与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围。

【课堂小结】
第一章 三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦公式
【学习目标】
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题；
2、应用公C )(βα+式，求三角函数值.
3、培养探索和创新的能力和意见. 【学习重点难点】
向量法推导两角和与差的余弦公式 【学习过程】 （一）预习指导
探究cos(α+β)≠cos α+cos β 反例：
cos =cos( + )≠
cos + cos
问题：cos(α+β),cos α,cos β的关系 （二）基本概念
1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角
3.探究：作单位圆，构造全等三角形 探究：写出4个点的坐标 P 1(1,0),P(cos α,sin α) P 3(cos(α+β),sin(α+β)), P 4(cos(-β),sin(-β)), 5.计算31p P ，42p p
2π3π6π3π6
π
31p P =
42p p =
6.探究：由31p P =42p p 导出公式
[cos(α+β)-1]2
+sin 2
(α+β)=[cos(-β)-cos α]2
+[sin(-β)-sin α]2
展开并整理 得 所以
可记为C )(βα+ 7.探究：特征
①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用 ③公式记号C )(βα+ 8.探究：cos(α+β)的公式 以-β代β得： 公式记号C )(βα+
（三）典型例题选讲： 例1不查表，求下列各式的值. (1)cos105°（2）cos15°
(3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20°
(5)cos 2
15°-sin 2
15° (6)cos80°cos35°+cos10°cos55°
例2已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值.
例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 ，
求cos(α+β)的值.
10
3sin
5
sin 10
3cos 5
ππ
π
π
-5
4
⎝⎛⎪⎭
⎫ππ,2
13
51411
7
344
0,24π
βπαπ〈〈〈〈
例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 ＜α＜π，0＜β＜ ， 求cos 的值.
【课堂练习】 1.求cos75°的值
2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°
3.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°
4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α∈(0, ), β∈(0, ),求cos(α-β)的值.
5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β. 2β912α322π2
π2
β
α+2121π2
2
π5313
5
6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2
的值.
【课堂小结】
3.1.2 两角和与差的正弦公式
【学习目标】
1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。

2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式
sin =cos α，sin = cos α,
sin =- cos α,sin =- cos α,
【学习重点难点】 （一）预习指导： 两角和与差的余弦公式：
（二）基本概念：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+απ
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-απ2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+απ2
3⎪⎭
⎫ ⎝⎛-απ2
33
1
基本概念：
1.两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)=
sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β
（二）、典型例题选讲：
例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ) 例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.
例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值.
例４：（１）已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.
【课堂练习】
１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为
32
52β
αtan tan 312
1315
4π
2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.
3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.
4.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.
5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)
6.化简2cos χ-6sin χ 解：
我们得到一组有用的公式：
（1）sin α±sin α=2sin =2cos .
（3）sin α3±cos α=2sin =2cos
（4）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)
7.化解3cos χχsin -
4π43π5343π13
52
22
110
1β
αtan tan 535
4 ⎝
⎛⎪
⎭
⎫
±4πα ⎝
⎛⎪⎭
⎫
4πα ⎝
⎛⎪⎭⎫
±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα
8.求证：cos χ+sin χ=2cos （χ - ）
9.求证：cos α+3sin α=2sin （ ）.
10.已知 ，求函数у=cos （ ）-cos 的值域.
11.求 的值.
【课堂小结】
4παπ
+6
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πχχπ
-12
⎝⎛⎪⎭
⎫+χπ12
5︒
︒
-︒20cos 20sin 10cos 2
3.1.3 两角和与差的正切公式
【学习目标】
1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。

2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。

3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

【学习重点难点】
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【学习过程】
（一）预习指导：
1.两角和与差的正、余弦公式
cos(α+β)=
cos(α-β)=
sin(α+β)=
sin(α-β)=
2.新知
tan(α+β)的公式的推导
(α+β)≠0
tan(α+β)
注意：
1°必须在定义域范围内使用上述公式tanα，tanβ,tan(α+β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式。

2°注意公式的结构，尤其是符号。

（二）典型例题选讲：
1
例1：已知tanα= ,tanβ=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜3
90°，90°＜β＜180° 例2：求下列各式的值： （1）
（2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°
（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°
例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)
例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2
+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.
例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.
【课堂练习】
1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为.
2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 一定是.
3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2
B=tanAtanC,则∠B 等于.
︒
-︒+75tan 175tan 14
π
4. =.
5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.
【课堂小结】
3.2.1 二倍角的三角函数（1）
【学习目标】
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。

【学习重点难点】
重点：1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用。

︒
︒︒
+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)
tan(tan tan tan )tan(2
βαββ
αβα+--+
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

【学习过程】 （一）预习指导：
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式： sin(α+β)=(S βα+) cos(α+β)=(C βα+) tan(α+β)=(T βα+)
(α,β, α+β≠κπ+ ,Z ∈κ) (二)基本概念 2.二倍角公式的推导
在公式（S βα+），（C βα+），（T βα+）中，当α=β时，得到相应的一组公式： sin2α=(S α2) cos2α=(C α2) tan2α=(T α2)
注意：1°在（T α2）中2α≠ +κπ,α≠ +κπ(Z ∈κ)
2°在因为sin 2
α+cos 2
α=1，所以公式（C α2）可以变形为 cos2α=
或cos2α= (C ′α2)
公式（S α2），（C α2），（C ′α2），（T α2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。

（二）典型例题选讲： 一、倍角公式的简单运用 例1不查表，求下列各式的值
(1)( ) (2) (3) (4)1+2θθ2cos cos 2
-
2
π
2π
2
π125cos 125sin ππ+)12
5cos 125(sin ππ
-2
sin 2
cos 4
4α
α-α
αtan 11tan 11+-
-
例2求tan θ=3，求sin2θ-cos2θ的值
例3已知sin (0＜θ＜ ),求cos2θ,cos( +θ)的值。

二、sin α,cos α,sin α±cos α,sin α·cos α之间的关系
例4已知sin θ+cos θ= ,θ ,求cos θ,cos ·cos θ,sin2θ,cos2θ,sin θ, cos θ的值。

三、倍角公式的进一步运用 例5求证：
例6求
的值。

【课堂练习】
1.若270°＜α＜360°，则 等于
135
)4
(=-θπ
4π4
π5
1 ⎝⎛⎪⎭
⎫∈43,2ππ⎪⎭
⎫ ⎝⎛A -A =A -A 2sin 2112cos sin cos 2
889
4cos 92cos 9
cos ππ
π
α2cos 2
1212121++
2.求值：
（1）sin22°30’cos22°30’= （2）2 = （3） = （4） = 3.求值
（1）cos20°cos40°cos60°cos80°
（2）sin10°sin30°sin50°sin70°
4.已知sin , ，求sin2α,cos2α,tan2α的值。

5.已知cos ,sin ,且 ＜α＜π,0＜β＜ ， 求cos （α+β）的值。

6.已知sin2α= ＜α＜ ,求sin4α,cos4α,tan4α的值。

18
cos 2-π
8
cos 8
sin 2
2π
π
-12
cos
24cos 48cos 48sin 8π
ππ
π13
5=α⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈ππα,2
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-912
β
α322
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βα2π2
π4
,135π
2
π
7.已知tan2α= ,求tan α的值。

【课堂小结】
3.2.1 二倍角的三角函数（2）
【学习目标】
1.熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）
2.特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
， 这两个形式今后常用
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
【学习重点难点】
重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数
难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【学习过程】
312
2cos 1cos 2αα+=2
2cos 1sin 2αα-=
（一）预习指导
1.有关公式：
（1） =；
（2） =； （3） =； （二）典型例题选讲：
例1化简：8cos 228sin 12++
+
例2求证：[sin θ(1+sin θ)+cos θ(1+cos θ)]×[sin θ(1-sin θ)+cos θ(1-cos θ)]=sin2θ 例3求函数χχχγsin cos cos 2+=的值域。

例4求证：ααcos sin 2+的值是与α无关的定值。

例5化简： 2sin 2α2
cos 2α
2
tan 2α
)6
(sin )3cos(2απ
απ--+θ
θθθθθθθsin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1-+--+---+i i
例6求证： 例7利用三角公式化简：sin50°(1+︒10tan 3)
【课堂练习】
1.若≤α≤ ，则ααsin 1sin 1-++等于.
2.4cos 2sin 22+-的值等于.
3.sin6°cos24°sin78°cos48°的值为.
4. 的值等于.
5.已知 ，则 的值等于.
6.已知 （0＜α＜ ）的值等于.
7.求值tan70°cos10°(3tan20°-1).
8.求 的值。

θ
θθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+25π2
7π9
4cos 93cos 92cos 9cos ππππ215sin -=χ)4
(2sin πχ-135)4sin(=-απ4
π︒
-︒10cos 310sin 1
9.已知 ， ，求sin4α的值。

【课堂小结】
61)4sin()4sin(=-+απ
απ),2
(ππα∈。