第2章 弹性力学基本理论

A
xy
y
x B
n

px

n
py p
N

O
2
P
1
y
N
B
x
将x、y轴分别放在两个主 A 应力的方向
N
N
§2-2 弹性力学的基本假设
•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不 分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困 难，将使得问题无法求解。
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提 出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范 围。
0
1
1
1
0

D E(1 ) 1 1
2.位移的表示方法
物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上 的投影 u 、v 、w 来表示，以沿坐标轴正向为正， 沿坐标轴负向为负。这三个投影称为该点的位移分 量。
弹性力学问题：
已知外力、物体的形状和大小（包括边界）、材 料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、形变、位 移共15个未知量。
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题
是


1 μ 0
D
E 1 μ
2

μ
0
1 0
0 。
1 μ 2

(c)
几何方程---位移与应变之间的关系
x

u x
y

v y

xy

u y

v x




x y
xy


x
x

u
z




z
z 0
0


0


z


u v

0

w


y


x
3、物理方程（应力与应变之间的关系）
x


1 E
x y z
y

1 E
y z x
x
4.应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，
不是一般的矢量，而是二阶张量。
zA o
x
C
（1）为了分析一点的应力
状态，在这一点从物体内取出一
个微小的正平行六面体，各面上
B 的应力沿坐标轴的分量称为应力 分量。
P
y 图1-5
在略去体力和高阶微量的情况下， 相互平行的面上的应力大小相等， 方向相反。

y
xzy


yz
zx



x
v

y

w z

u
y

v
v
z

w
x y



0
0 y 0
y
0
x
w
•微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。
•——物体的弹性性质处处都是相同的。
•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形 状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也 可以视为均匀材料。
vvv f fxi fy j fzk x
z
f
z
r f
r F
△V
fy
fx P
O
y
图1-2
fx、fy、fz 称为物体在P点的体力分量，其 方向与坐标轴正向相同时为正，因次是[力][长 度]-3。（N/m3）方向沿坐标轴为正。
2. 面力 （1）定义：分布在物体表面上 z 的力。如流体压力和接触力。
•基本假设是学科的研究基础。
•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研 究范围。
1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体 的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
•——变形后仍然保持连续性。
•根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变 和应力等均为物体空间的连续函数。
面，第二下标x、z分别
表示沿坐标轴的具体 方向。
z
z
zy
zx
yz
其它面上的应 力分量的表示 如图1－7所示。
y yx
y
x
图1－7
负面
截面的外法线 z
y x
截面的外法线
正面
z
z
正负规定:
zy
zx
yz
正面:截面的外法线 方向和坐标轴正向一
y 致,反之为负面。 yx
y 正面上的应力沿坐标正
（2）应力标注：
z
oy x
yz
σy
yx 图1-6
图示单元体右侧面 的法线为y,称为y面， 应力分量垂直于单元体 面的应力称为正应力。
正应力记为σy , 其 下标表示所沿坐标轴的 方向。
（2）应力标注：
z
oy x
yz
σy
yx 图1-6
平行于单元体面的 应力称为切应力， 用 yx 、 yz 表示，其第 一下标y表示所在的平
1、平衡方程 （应力间的关系）

x
x

yx
y

zx
z

fx

0

xy
x

y
y

zy
z

fy

0


xz
x

yz
y

z
z

fz

0
2、几何方程（应变与位移的关系）
u



x
0



x

（2）性质：一般情况下,体力随点的位置不同 而不同，体力是连续分布的。
（3）体力集度：
r
体力的平均集度为： F
V
P点所受体力的集度为：
r
x
f lim F
V 0 V
r
z
△V
r f
F
P
O
y
图1-2
f
的方向就是
r F
的极限方向。
（4）体力分量： 将f 沿三个坐标轴分解，
可得到三个正交的分力：
y
yx
y

yz

y
zx zy z
共六个应力分量。
x
（三）形变（应变）
形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长 度的改变和角度的改变。
C
1.线应变：图1-9中线段
PA、PB、PC每单位长度的伸
缩，即单位伸缩或相对伸缩，
称为线应变。分别用 x 、 y 、
PP
（4） 切应力互等定理
过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切
应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、
方向相对或相离。
xy yx
z
z
zy
zx
yz
xz
x
xy yx
yz zy xz zx ???
应力用矩阵表示：
x xy xz
第二章 有限元法的基本原理
机械与汽车工程学院 School of Mechanical and Automobile Engineering
§2-1 弹性力学中的几个基本概念 （一）外力
按照外力作用的不同分布方式，可分为体 积力和表面力，分别简称体力和面力。 1.体力
（1）定义：所谓体力是分布在物体体积内的 力，如重力和惯性力。
• 应力
σ (σx σ y τxy )T 。
• 结点位移列阵 δ (ui vi u j v j )T 。
• 结点力列阵 F (Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
FEM中应用的方程：
几何方程 ε (u v v u )T。
(a)
x y x y
物理方程
σ Dε,
基本量和基本方程的矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且 便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力问 题的公式。
基本物理量：
• 体力 • 面力 • 位移函数
f ( fx f y )T 。 f ( fx f y )T 。 d (u(x, y),v(x, y))T。
• 应变
ε (εx εy γxy )T 。
•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一 一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历 史无关，外力消失后能够恢复原形，称为完全弹性。
•完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限 于线性的应力与应变关系。
•研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而 改变。
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的 影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于 高阶小量。
f
与坐标轴正向相同时为正，
fy fx P
y
因次是[力][长度]-2。 （N/m2）方向沿坐标轴为
图1-3
正。
x
（二）应力
1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产 生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截 开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分 的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系 的合力。单位面积上的分布力即为应力。如图1－4所 示。
的平均应力就成为上述斜截面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B

N
设AB面在xy平面内的长度为ds，厚度为1 个单位。N为该面的外法线方向，设其方向余 弦分别为：
cos l,cos m
o
x
yx P xy
x
y A
px

y
B
py
N
o
yx y
x
P
•对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。
3. 各向同性假设
•——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物 理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向 的改变而变化。
•当然，像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于 各向异性材料。
•——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对 象。
4. 完全弹性假设
（五）斜截面上的应力
o
yx y
x
P
A
xy
x
yB
已知弹性体内任一点P 处的应力分
量 x , y , xy yx ，求经过该点任意斜截面上的 应力。为此在P点附近取一个平面AB，它平行
于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴
的两个平面画出一个微小的三角板或三棱柱
PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上
（四）位移
位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移 1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种 性质的位移组成：
（1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移， 包括平移、转动、平面运动等。这种位移并不使物 体的形状、质点间的相对距离发生变化。（刚体位 移）
（2）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了 变形。弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。
B
z 表示。
A
图1-9
C
2.切应变：图1-9中线
wk.baidu.com
段PA、PB、PC之间的直角
的改变，用弧度表示，称为
切应变。分别用 yz 、 zx 、 xy
PP
B
表示。
A
共六个形变分量。
应变的正负：
图1-9
线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
切应变： 以直角变小时为正，变大时为负； 线应变和切应变都是量纲为1的量

0



0

y
uv
A


x
0
0
y

y

x
y x
微分算子矩阵
AT d ----几何方程
• §2-3 弹性力学的基本方程 主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系
向或负面上的应力沿坐
x
图1－7
标负向为正。
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画 出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。
Oz
x
y
注意：
弹性力学
材料力学 图1-8
（3）注意弹性力学切应 力符号和材料力学是有 区别的。在图1－8中， 弹性力学里，切应力都 为正，而材料力学中相 邻两面的符号是不同的， 顺时针转动为正。



z

1 E
z x y



xy

1 G

xy



yz

1 G

yz


zx

1 G

zx
其中: E为杨氏弹性模量
为泊松比
G为剪切弹性模量 且:G E
2(1 )
因此物理方程可以简写为： D

1

1 1
（2）性质：一般情况下,面
力一般是物体表面点的位置
坐标的函数。
x
r F
△S
P
y 图1-3
（3）面力集度： S上面力的平均集度为：
r F S
P点所受面力的集度为： r f lim F S 0 S
（4）面力分量：
r
P点的面力分量
z
fz F
为 f x 、f y 、f z ，其方向
△S
2.性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不 同的。
3.应力集度：
r
ΔA面积上的内力的平均集度为： F
r
A
P点的应力为：pr lim F
A0 A
z

B
r
r F
m △A
p
P n
P点的应力分量为 、
--正应力 ---切应力
o
A
y 因次是[力][长度]-2。
图1-4
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因 变形所引起的尺寸变化。
——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前， 物体内部没有应力。
弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约 束或温度改变而产生的。