点估计的评价标准

2. 寻找参数 的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数
S(T, ),且其分布为已知.
只能含有 一个待估
称S(T, )为枢轴量. 参数
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, )
的分布，确定常数a, b，使得
P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: P{ˆ1 ˆ2} 1
三. 点估计的评价标准
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
标准一: 无偏性
. • • •• • • •• • •• • • •
真值
设ˆ为θ的一个点估计,若 E(ˆ ) , 则称ˆ为θ的一个无偏估计.
注意 无偏估计若存在，则可能不唯一.
标准二: 有效性
设 ˆ1和 ˆ2是 的两个无偏估计,
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
对给定的置信水平1 ,
查正态分布表得 Z 2 ,
α/2
φ(x)
α/2
使
P{|
X



n
|
Z
2}

1
-zα/2
zα/2
X
1-α
从中解得
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
两个要求：
1. 要求 以很大的可能被包含在区间[ˆ1,ˆ2 ]
内，就是说，概率P{ˆ1 ˆ2}要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
) EX
i
1 nEX n

i


D 1

DX

D(
1 n
n i 1
Xi
)

1 n2
nDX i

2
n
D 2

D(
1 k
k i1
Xi
)

1 k2
k DX i

2
k
D 1 D 2,
样本容量越大,样本均值估计值越精确.
例3 验证: S 2
一个无偏估计;
n
湖中鱼数的真值
[• ]
ˆ1
ˆ2
P{ˆ1 ˆ2} 1
1. 区间估计定义：
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2, , Xn),ˆ2 ˆ2( X1, X2, , Xn)
(ˆ1 ˆ2 ) 满足 P{ˆ1 ˆ2} 1
X1,
,
X
是来自X的
n
k
s.r.s,试证:
ˆ 1

X ,ˆ 2

1 k
X i ,( k n ) 为 E(X )
的无偏估计,且 ˆ1 比 ˆ 2 i更1 有效.
证明: E 1 EX
E 2

E(
1 k
E(
k
X
i 1
1 n i)
n
Xi
i1
1k k

2 3
EX 2
Baidu Nhomakorabea
1 3
EX 3

5 6
EX

5 6

Dˆ1

D[
1 2
X1

1 2
X2
]
1 4
DX 1

1 4
DX 2
=DX/2=σ2/2
Dˆ 2

1 , 2
为91 无DX偏1 估91计DX量2 ,D91D1X3
2

D 2
/ 3,

, 2
更有效.
例2
设总体X的方差存在
长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其
它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下
尽可能提高精度
2. 寻找置信区间的方法
1. 选取未知参数的某个估计量ˆ， 误差限 . 2. 根据置信水平1 ，找一个正数 ，
使得 P{| ˆ | } 1
3. 由不等式 |ˆ | 可以解出 ： ˆ ˆ
ˆ1
. • • •• • • •• • • • • • •
真值
ˆ2
. • • • • • • • • • • • • • •
真值
若 D(ˆ1) D(ˆ2 ) 称 ˆ1 比 ˆ2 更有效
注意 无偏估计是有效性比较的前提
例1 设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2, 验证下列μ的估计量哪个更有效.
1 n B2
1i
n
n
1
1 n
(
i
X
n
1
i
(
X
X i
)是2 总体X方差的 X )2 不是方差的无偏估计.
解 ( X i X )2 X i 2 nX 2
i 1
i 1
ES 2

1[ n1
n i 1
E(
Xi2
) nE(
X
2
)]
n [ DX n1

DX
P{X

n
Z 2
X

n Z 2 }
1
于是所求 的 置信区间为


[ X n Z 2 , X n Z 2 ]
也可简记为

X n Z 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?
置信水平 1 是多少?
] =DX
EB2

n 1 ES 2 n

n1 n
DX
所以,S2为DX的无偏估计量.
所以, B2 不是DX的无偏估计量.
标准三: 相合性(一致性)
设统计量 ˆ 是未知参数 的点估计量,样本容量为n ,
若对任意 0, lim p ˆ 1 (或 lim p ˆ 0)
n
n
则称 ˆ 为 的相合估计,又称一致估计.
比如设X1,X2,…,Xn为取自总体X的样本,E(X)=μ,D(X)=σ2,
则 X 是总体均值E(X)= μ的相合估计量.
相合性是对估计量的基本要求
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条.
ˆ1

1 2
X1

1 2
X 2 , ˆ2

1 3
X1

1 3
X2

1 3
X 3 ,ˆ3

1 2
X1

2 3
X2

1 3
X3
解
Eˆ1

E[
1 2
X1

1 2
X2
]
1 2
EX 1

1 2
EX 2
=EX=μ
Eˆ 2

1 3
EX 1

1 3
EX 2

1 3
EX 3

EX

,
Eˆ 3

1 2
EX 1
则[ˆ1,ˆ2 ]就是 的100(1 )％的置信区间.
例1 设X1,…Xn是取自N (, 2 )的样本， 2已知,
求参数的置信水平为1 的置信区间.
解取：U选明确X问的题点置,是估~信N求计水(什0为平,么1是X)参多数少的？置寻一信找 个区未 良间知 好?参 估数 计的.
n
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.