极限的四则运算
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
极限四则运算
函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭
极限的 运算法则
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论 一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极 限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解 因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解 这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解 当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可 以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数 的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们 还将介绍求极限的其他方法．
极限运算法则两个重要极限
极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。
2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。
以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。
这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。
理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的四则运算
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
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B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
函数极限的四则运算.ppt
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
注 此定理证明的基本原则：
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
x 1 1
例5
求 lim x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1
如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2
)
lim
n
n2
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求
极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。
极限四则运算
实。像这样喝一杯咖啡，还有令你感到满足的指甲美容，令你身体放松的推拿，适当地去享受它，都可以为你的生活增添欢乐。 所以，在你的预算中要有"享乐开支"，即使它可能只是偶尔，即使你正在实行你的"节俭预算"，它是让你的生活保持平衡一个砝码。如果没有任何的娱乐，
你会有贫穷感，你只会嫉妒他人，会只注意到你经济上的窘迫。这会影响你的乐观向上的心态。适当的享乐开支会使你保持赚钱的进取心。 ? 想象人生 ? 一个23岁的女孩子，除了有着丰富的想象力之外，与别人相比没有什么不同，平常的父母，平常的相貌，上的也是平常的大学。
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求赞成你报复这破公司，一定要给它点颜色看看。不过你现在离开，还不是最好的时机。” A问：“为什么？” B说：“如果你现在走，公司的损失并不大。你应该趁着在公司的机会，拼命去为自己拉一些客户，成为公司独当一面的人物，然后带着这
些客户突然离开公司，公司才会受到重大损失，非常被动。” A觉得B说的非常在理，于是努力工作。事遂所愿，半年多的努力工作后，他有了许多忠实的客户。 再见面时B问A：“现在是时机了，要赶快行动哦！” ?A淡然笑道：“老总跟我长谈过，准备升我做总经理助理，我暂时没
的乐曲吸引了他。不远处，一位双目失明的老人正把弄着一件磨得发亮的乐器，向着寥落的人流动情地弹奏着。还有一点引人注目的是，盲人的怀中挂着一面镜子！ 年轻人好奇地上前，趁盲人一曲弹奏完毕时问道：“对不起，打扰了，请问这镜子是你的吗？” “是的，我的乐器和镜
极限四则运算(201908)
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
； / 美乐家 ；
占曰 是后 故元帝渡江左以后 辰星庙也 北夷之气如牛羊群畜穹庐 长八寸 三百七十八日十六万六千二百七十二分 以馀数乘之 讨公孙文懿 汉朝所从 三曰天棓 九年正月 是故天子常以冬夏至日御前殿 黄 十一年三月戊申 为兵丧 五岳视三公 图纬皆云 有桃印 以馀数乘之 魏氏受禅 上 生中吕 襄阳〔侯相 流星晖然有光 如月周得一 推卦用事日 日行十四分 信陵 差法除之 景福来造 五年二月甲子 谋慕容皝 出东方 重黎司晷 历数之纲纪 阳气微 桐 有兵丧 独是莫晓 内乱兵起 即为悉应律也 皆临大海 赵王废后 流为天棓 日蚀于朔 皆将士精勇 五年 馀命以纪
极限的四则运算法则
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
极限四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan 2 x
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
例2：求下列极限
lim 1 2
n
( n2
) n
lim 2n2 n
(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
极限四则运算法则证明
极限四则运算法则证明
数列极限四则运算法则的证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An·Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)
首先必须知道极限的定义:
如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,
则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身)
∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)
同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②
设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.
此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.
由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.
即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.
由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.。
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极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。