数学期望与方差的性质
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数学期望与方差的性质非常重要，既 可以利用它们简化计算，又可以得到许多 重要结论.
例已知随机变量 X 服从参数为的泊松分布， 简化计
算 且E[(X 1)(X 2)] 1,
则 _ .
本题要求熟悉泊松分布的有关特征，并会利用数学期望的性质
E (X 1)( X 2) E( X 2 3X 2)
D( X *) 1 D[X E( X )] 1 D( X ) 1
D(X )
DX
EX 2 3EX 2 D(X ) E(X 2) [E(X )]2 DX (EX )2 3EX 2
由DX = EX 知 ＋2－3＋2＝1
（－1）2＝0 ＝1
例 设X1, X2 ,…, Xn是独立同分布的随机变量 重要结论
E( X i ) μ , D( X i ) σ 2
i=1,2,…, n.记
解二 利用性质求E(X )， D (X ).
重要方法
若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数
引入随机变量 X 1 , X 2 , , X n
设
X
i
1 0
如第i次试验成功
如第i次试验失败 i=1,2，…，n
则 X= X1+X2+…+Xn X1, X 2 ,, Xn 相互独立
E(Xi ) p, D(Xi ) p(1 p)
i 1,2,,n
n
n
所以 E(X)= E( Xi )= np D( X ) D( Xi ) np(1 p)
i1
i1
例 一台设备由三部件构成，在设备运转中各部件需要调整的 概率相应为0.10 ,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立 的。以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望。
解一 利用公式求E(X ).
先求分布律
X0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006
E( X ) xk pk 0.6
k
解二 利用性质求E(X )
设
Xi
1 0
如第i个需调整 如第i个不需调整 i=1,2,3
Xi 0 P 1 P( Ai)
1 P( Ai)
则 X= X1+X2+X3 EX i P( Ai) EX= EX1+EX2+EX3 =0.6
n
例 设X ~ B( n , p)，求E(X )， D(X ).
重要方法
解一 利用公式求E(X )， D (X ).
n
E( X ) kCnk pk (1 p) nk np
k 0 n
E( X 2 ) k 2Cnk pk (1 p)nk n (n 1) p 2 np k 0
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 np(1 p)
例 设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为 重要概念 D(X)>0，引入新的随机变量
X * X E( X ) 标准化随机变量 D(X )
E ( X ) 0, D ( X ) 1
E( X *) E[ X E( X )] 1 [E( X ) E( X )] 0
D( X )
D( X )
D(X+Y)= D(X)+D(Y). 问题： 若X与Y 不独立，则D(X+Y)=？
推广源自文库 推广:
n
n
E[ Xi ] E( Xi )
i1
i1
n
n
E[ Xi ] E( Xi )
i 1 n
i 1 n
（诸 Xi 独立时）
D[ Xi ] D( Xi )
i 1
i 1
刚刚我们总结归纳了数学期望与方差 的性质，上述性质可以利用定义及计算公 式来证明.
X
1 n
n
X i 求E( X ), D(X ).
i1 数学期望的性质
E( X ) E( 1 n
n
Xi)
1 n
n
E(X i )
1 n
n
μ μ
D( X ) D(1 n
i 1
n
X
i1
i
)
X,
1
,
X
相i互1独立
n
1 n2
i 1
n i1
D(
Xi )
1 n2
n
2
i1
2
n
方差的性质
2 E( X ) , D( X )
第四章 随机变量的数字特征 第四讲 数学期望与方差的性质
主讲教师 叶宏 副教授
第四章第4讲
数学期望与方差的性质
在前几讲当中，我们已经介绍了随机变 量的数学期望与方差的定义及计算方法，这 一讲我们总结归纳一下它们的性质.
数学期望与方差的性质
(1)设C是常数，则E(C)=C， D(C)=0; (2)若C是常数,则E(CX)=CE(X)， D(CX)=C2 D(X); (3) E(X+Y) = E(X)+E(Y); (4) 设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)， 可推广
例已知随机变量 X 服从参数为的泊松分布， 简化计
算 且E[(X 1)(X 2)] 1,
则 _ .
本题要求熟悉泊松分布的有关特征，并会利用数学期望的性质
E (X 1)( X 2) E( X 2 3X 2)
D( X *) 1 D[X E( X )] 1 D( X ) 1
D(X )
DX
EX 2 3EX 2 D(X ) E(X 2) [E(X )]2 DX (EX )2 3EX 2
由DX = EX 知 ＋2－3＋2＝1
（－1）2＝0 ＝1
例 设X1, X2 ,…, Xn是独立同分布的随机变量 重要结论
E( X i ) μ , D( X i ) σ 2
i=1,2,…, n.记
解二 利用性质求E(X )， D (X ).
重要方法
若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数
引入随机变量 X 1 , X 2 , , X n
设
X
i
1 0
如第i次试验成功
如第i次试验失败 i=1,2，…，n
则 X= X1+X2+…+Xn X1, X 2 ,, Xn 相互独立
E(Xi ) p, D(Xi ) p(1 p)
i 1,2,,n
n
n
所以 E(X)= E( Xi )= np D( X ) D( Xi ) np(1 p)
i1
i1
例 一台设备由三部件构成，在设备运转中各部件需要调整的 概率相应为0.10 ,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立 的。以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望。
解一 利用公式求E(X ).
先求分布律
X0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006
E( X ) xk pk 0.6
k
解二 利用性质求E(X )
设
Xi
1 0
如第i个需调整 如第i个不需调整 i=1,2,3
Xi 0 P 1 P( Ai)
1 P( Ai)
则 X= X1+X2+X3 EX i P( Ai) EX= EX1+EX2+EX3 =0.6
n
例 设X ~ B( n , p)，求E(X )， D(X ).
重要方法
解一 利用公式求E(X )， D (X ).
n
E( X ) kCnk pk (1 p) nk np
k 0 n
E( X 2 ) k 2Cnk pk (1 p)nk n (n 1) p 2 np k 0
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 np(1 p)
例 设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为 重要概念 D(X)>0，引入新的随机变量
X * X E( X ) 标准化随机变量 D(X )
E ( X ) 0, D ( X ) 1
E( X *) E[ X E( X )] 1 [E( X ) E( X )] 0
D( X )
D( X )
D(X+Y)= D(X)+D(Y). 问题： 若X与Y 不独立，则D(X+Y)=？
推广源自文库 推广:
n
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E[ Xi ] E( Xi )
i1
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E[ Xi ] E( Xi )
i 1 n
i 1 n
（诸 Xi 独立时）
D[ Xi ] D( Xi )
i 1
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刚刚我们总结归纳了数学期望与方差 的性质，上述性质可以利用定义及计算公 式来证明.
X
1 n
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X i 求E( X ), D(X ).
i1 数学期望的性质
E( X ) E( 1 n
n
Xi)
1 n
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E(X i )
1 n
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μ μ
D( X ) D(1 n
i 1
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X
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)
X,
1
,
X
相i互1独立
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1 n2
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n i1
D(
Xi )
1 n2
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2
i1
2
n
方差的性质
2 E( X ) , D( X )
第四章 随机变量的数字特征 第四讲 数学期望与方差的性质
主讲教师 叶宏 副教授
第四章第4讲
数学期望与方差的性质
在前几讲当中，我们已经介绍了随机变 量的数学期望与方差的定义及计算方法，这 一讲我们总结归纳一下它们的性质.
数学期望与方差的性质
(1)设C是常数，则E(C)=C， D(C)=0; (2)若C是常数,则E(CX)=CE(X)， D(CX)=C2 D(X); (3) E(X+Y) = E(X)+E(Y); (4) 设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)， 可推广