第四讲频率域图像增强-课件
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(u,v)arctaR In((uu,,vv))
傅里叶变换的功率谱（谱密度）：
P ( u ,v ) F 2 ( u ,v ) R 2 ( u ,v ) I2 ( u ,v )
例一、二维函数的傅里叶变换
y 0 .5lo 1(0 1 g |F (u,v)|)
v
512 X 512 黑色背景中加
x 入20 X 40的白色矩形
u
u方向谱的零点间隔恰好
是v方向零点间隔的两倍
3、频率域滤波 基本性质：一般不可能建立图像的特定分量与其变换
之间的直接联系。但有：频域中的低频成分对应图像中的 灰度缓慢变化区域，高频对应图像中灰度变化剧烈的区域， 如边缘、突变点（如噪声）等。
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
精品
第四讲频率域图像增强
主要介绍傅里叶变换和频率域的基本理解，以及在 图像增强中的应用。包括：频率域平滑和锐化滤波器、 同态滤波器以及有关的实现等
源自文库
一、傅里叶变化和频率域
1、1D 傅里叶变换
F(u)f(x)ej2ud x x
连续傅里
f(x) f(u)ej2ud x u
叶变换对
F(u)1M1 f(x)ej2u/xM Mx0 M1
1D高斯滤波器在频域和空域的对应曲线：
频域高 斯低通 滤波器
频域高 斯高通 滤波器
空域高 斯低通 滤波器 及模板
空域高 斯高通 滤波器 及模板
由简单高斯滤波器构成更复杂的滤波器：
H ( u , v ) A ( u 2 v 2 ) e / 2 1 2 B ( u 2 v 2 ) e / 2 2 2 A B 1 2
1 K =8 M=256 x
f (x)
K =16 1
M=256 x
特征：1）曲线下面积在空域加倍时，频率谱的高度加倍； 2）函数长度加倍，相同间隔下频谱中零点的数量加倍
2、2D 离散傅里叶变换
F (u ,v)1M 1N 1 f(x,y)ej2 (u/M x v/y N ) Mx N 0 y 0
M 1N 1
f(x,y)
F (u,v)ej2(u/x M v/y N )
u0 v0
1 M1 N1
F(0,0)
f(x,y)
MN x0 y0
傅里叶变换的有关概念：
2D 傅里叶变换的幅度或频率谱：
F (u ,v ) R 2 (u ,v ) I2 (u ,v )1 /2
傅里叶变换的相角或相位谱：
f(x) F(u)ej2ux/M
离散傅里 叶变换对
x0
1D 傅里叶变换的幅度或频率谱：
F (u )R 2(u )I2(u )1 /2
傅里叶变换的相角或相位谱：
(u)arctanRI((uu))
傅里叶变换的功率谱（谱密度）：
P (u ) F 2 (u ) R 2(u ) I2(u )
f (x)
重点介绍三种滤波器：理想滤波器、巴特沃思滤 波器和高斯滤波器。
1）理想低通滤波器
1 H (u , v) =
0
D (u , v) ≤ D0 D (u , v) > D0
D (u , v) 是(u，v)点距频率矩形原点的距离。
变换后中心原点的距离为： D (u , v) =[( u - M / 2)2 + (v - N / 2) 2] 1/ 2
h ( x , y ) 2 1 A 2 2 1 2 ( x e 2 y 2 ) 2 2 B 2 2 2 2 ( x e 2 y 2 )
频域
对应时域
A 1,B 0 8 ,1 2,0 2 10
二、平滑的频率域滤波
基本的滤波模型为：
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
半的常数）
4、空间与滤波和频率域滤波的对应关系 离散卷积定义：
f(x ,y )* h (x ,y )1M 1N 1f(m ,n )h (x m ,y n ) M m 0 N n 0 f( x ,y ) * h ( x ,y ) F ( u ,v ) H ( u ,v ) 傅里叶 f( x ,y ) h ( x ,y ) F ( u ,v ) * H ( u ,v ) 变换对 由冲击函数和卷积定理的性质，有： ( x , y ) * h ( x , y ) F ( x , y ) H ( u , v ) h(x,y)H (u,v)
空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对。
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)Aeu2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
后处理
f (x , y)
g (x , y)
基本滤波器：
低通滤波器：平滑图像，处理后的图像变得模糊。
滤 波
高通滤波器：锐化图像，减少平滑区域的灰度级变化，
器
突出过渡（如边缘）灰度级的细节部分。
陷波滤波器：滤除特定频率分量。
H (u , v) =
0 (u , v) =（M/2 , N/2） 1 其它
例三、几种滤波器的形状及应用
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
傅里叶变换的功率谱（谱密度）：
P ( u ,v ) F 2 ( u ,v ) R 2 ( u ,v ) I2 ( u ,v )
例一、二维函数的傅里叶变换
y 0 .5lo 1(0 1 g |F (u,v)|)
v
512 X 512 黑色背景中加
x 入20 X 40的白色矩形
u
u方向谱的零点间隔恰好
是v方向零点间隔的两倍
3、频率域滤波 基本性质：一般不可能建立图像的特定分量与其变换
之间的直接联系。但有：频域中的低频成分对应图像中的 灰度缓慢变化区域，高频对应图像中灰度变化剧烈的区域， 如边缘、突变点（如噪声）等。
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
精品
第四讲频率域图像增强
主要介绍傅里叶变换和频率域的基本理解，以及在 图像增强中的应用。包括：频率域平滑和锐化滤波器、 同态滤波器以及有关的实现等
源自文库
一、傅里叶变化和频率域
1、1D 傅里叶变换
F(u)f(x)ej2ud x x
连续傅里
f(x) f(u)ej2ud x u
叶变换对
F(u)1M1 f(x)ej2u/xM Mx0 M1
1D高斯滤波器在频域和空域的对应曲线：
频域高 斯低通 滤波器
频域高 斯高通 滤波器
空域高 斯低通 滤波器 及模板
空域高 斯高通 滤波器 及模板
由简单高斯滤波器构成更复杂的滤波器：
H ( u , v ) A ( u 2 v 2 ) e / 2 1 2 B ( u 2 v 2 ) e / 2 2 2 A B 1 2
1 K =8 M=256 x
f (x)
K =16 1
M=256 x
特征：1）曲线下面积在空域加倍时，频率谱的高度加倍； 2）函数长度加倍，相同间隔下频谱中零点的数量加倍
2、2D 离散傅里叶变换
F (u ,v)1M 1N 1 f(x,y)ej2 (u/M x v/y N ) Mx N 0 y 0
M 1N 1
f(x,y)
F (u,v)ej2(u/x M v/y N )
u0 v0
1 M1 N1
F(0,0)
f(x,y)
MN x0 y0
傅里叶变换的有关概念：
2D 傅里叶变换的幅度或频率谱：
F (u ,v ) R 2 (u ,v ) I2 (u ,v )1 /2
傅里叶变换的相角或相位谱：
f(x) F(u)ej2ux/M
离散傅里 叶变换对
x0
1D 傅里叶变换的幅度或频率谱：
F (u )R 2(u )I2(u )1 /2
傅里叶变换的相角或相位谱：
(u)arctanRI((uu))
傅里叶变换的功率谱（谱密度）：
P (u ) F 2 (u ) R 2(u ) I2(u )
f (x)
重点介绍三种滤波器：理想滤波器、巴特沃思滤 波器和高斯滤波器。
1）理想低通滤波器
1 H (u , v) =
0
D (u , v) ≤ D0 D (u , v) > D0
D (u , v) 是(u，v)点距频率矩形原点的距离。
变换后中心原点的距离为： D (u , v) =[( u - M / 2)2 + (v - N / 2) 2] 1/ 2
h ( x , y ) 2 1 A 2 2 1 2 ( x e 2 y 2 ) 2 2 B 2 2 2 2 ( x e 2 y 2 )
频域
对应时域
A 1,B 0 8 ,1 2,0 2 10
二、平滑的频率域滤波
基本的滤波模型为：
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
半的常数）
4、空间与滤波和频率域滤波的对应关系 离散卷积定义：
f(x ,y )* h (x ,y )1M 1N 1f(m ,n )h (x m ,y n ) M m 0 N n 0 f( x ,y ) * h ( x ,y ) F ( u ,v ) H ( u ,v ) 傅里叶 f( x ,y ) h ( x ,y ) F ( u ,v ) * H ( u ,v ) 变换对 由冲击函数和卷积定理的性质，有： ( x , y ) * h ( x , y ) F ( x , y ) H ( u , v ) h(x,y)H (u,v)
空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对。
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)Aeu2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
后处理
f (x , y)
g (x , y)
基本滤波器：
低通滤波器：平滑图像，处理后的图像变得模糊。
滤 波
高通滤波器：锐化图像，减少平滑区域的灰度级变化，
器
突出过渡（如边缘）灰度级的细节部分。
陷波滤波器：滤除特定频率分量。
H (u , v) =
0 (u , v) =（M/2 , N/2） 1 其它
例三、几种滤波器的形状及应用
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）