第5讲 等差数列与等比数列

第5讲 等差数列与等比数列

一．基础知识回顾 定义

常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+

常数）为(}{1q a a P G a n

n n =⇔

⋅+

通项公

式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11

求和公式

n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)

1(2)(1211-+=-+=+=

⎪⎩

⎪

⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111

q q q a a q q a q na s n n n

中项公

式

A=

2

b

a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ a

b G =2。推广：m n m n n a a a +-⨯=2

性

质

1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。

2

若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。

3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。

n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。

4

)(11n m n

m a a n a a d n

m n ≠--=--=

11a a q n n =

- ， m

n m

n a a q

=- )(n m ≠ 二．典例精析

探究点一：等差数列与等比数列的基本量运算

例1：等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .

变式迁移1：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .

探究点二：等差数列与等比数列性质的应用 例2 已知数列{a n }是等差数列．

(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ； (2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；

(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

变式迁移2：(1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.

探究点三：等差数列与等比数列的判定

例3：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1

a n －1

(n ∈

N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．

变式迁移3：已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *.

(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .

探究点四：等差数列与等比数列的综合应用

例4：已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.

若b n ＝1

2a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．

变式迁移4：已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .

(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．

三．方法规律总结

1．等差数列的判断方法有：

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．

(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．

2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．

3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1

＝(2n －1)a n 等．

4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．

5．等比数列的通项公式、前n 项公式分别为a n ＝a 1q n －

1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q

， q ≠1.

6．等比数列的判定方法：

(1)定义法：即证明a n ＋1

a n

＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)．

(2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)． 7．等比数列的性质：

(1)a n ＝a m ·q n －

m (n ，m ∈N *)；

(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；

(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .

8．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

9．等差数列与等比数列的关系是：

(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列． 四．课后练习作业

1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为 ( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( )

A ．14

B ．21

C ．28

D ．35

3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于 ( )

A.152

B.314

C.334

D.172

5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2

等于 ( )

A ．－11

B ．－8

C ．5

D ．11

6．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )

A ．33

B ．72

C ．84

D ．189

7．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17T 25中也是常数的项是 ( )

A ．T 10

B ．T 13

C ．T 17

D ．T 25

8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________. 10．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________. 11.．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.

12．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.

(1)证明：a 1＝d ；