离散型随机变量均值与方差优秀教案

离散型随机变量的均值与方差

教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据分布列求出均值或期望，理解公式“E(a ξ+b)=aE ξ+b ”，以及“若ξ～B(n,p)，则E ξ=np ”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

教学重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念，及根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。 复习：

1 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

若ξ是离散型随机变量，η=a ξ+b , a, b 是常数，则η也是离散型随机变量。

3 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，

x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

ξ x 1 x 2 … x i … P

P 1

P 2 …

P i

…

4 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P 1+P 2+…=1．

5 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发

生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

ξ 0 1 … k … n

P n

n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … 0q p C n n n

k n k k

n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并

记k

n k k n

q p C -＝b (k ；n ，p )． 6 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“ξ=k ”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么

112311231()()()()()

()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

1

2

3

…

k …

P

p

pq 2q p … 1k q p - …

称这样的随机变量ξ服从几何分布

记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．

离散型随机变量的均值

问题：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？

价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克)；合理吗？如何体现三种的比例？

平均在每1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别为1/2kg, 1/3kg, 1/6kg, 所以价格应定为:

18243626

321

3⨯+⨯+⨯=(元/千克).

它是三种糖果价格的加权平均，其中1/2, 1/3, 1/6权数，在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始

∴=)(X E (np 0011n n C p q

--＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0

111q p C n n n --- np q p np n =+=-1)(．故若X ～B (n ，p )，则=)(X E np ．

随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？

随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。

例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。

解：设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分别为X 1, X 2， 则

X 1~ B （20, 0.9）, X 2～B(20, 0.25),

525.020)(,189.020)(21=⨯==⨯=∴X E X E

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5 X 1和5 X 2 所以，他

们在测验中的成绩的均值分别是：

,90185)(5)5(11=⨯==X E X E ,2555)(5)5(22=⨯==X E X E

学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90分吗？他的成绩均值90分的含义是什么？ 90表示随机变量X 的均值；甲的成绩是一个随机变量，比如取值可能为 0, 5, 10, … 95, 100；他的均值为90分的含义是：在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分。

例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3 种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．