多元线性回归模型公式
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二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21），
n a ,...,2,1=。那么，多元线性回归模型的结构形式为：
a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3.2.11）
式中：
k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。
如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为
ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3.2.12）
式中：
0b 为常数；
k b b b ,...,,21称为偏回归系数。
偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时，自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使
()[]min (2)
1
2211012
→++++-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=∑∑==∧
n a ka k a a a n
a a a x
b x b x b b y y y Q （3.2.13）
有求极值的必要条件得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫
⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a j
n a a a k j x y y b Q y y b Q 110)
,...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================n
a a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a a
a k n a ka a n a a n a a a n
a a n
a a
a k n a ka a n a a a n a a n a a n
a a
k n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x y x b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101
1
212212
2112101
21111212111210111
12121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2.15）
方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。 如果引入一下向量和矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=kn n n k k k n k x x x x x x x x x x x x X y y y Y b b b b b ...
1..................1...1...1,...
, (2132313)
222121********* ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==kn n n
k k k kn k k k n n T x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X X A (1)
..................1...1 (1)
...
......
...
............1 (111)
2132313222121211132
1
2232221
1131211
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===============n a ka n a ka a n a ka a n a ka n
a ka a n a a
n a a a n a a
n
a ka a n a a a n a a n
a a n
a ka n
a a
n
a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n 12
12111
1
212
2121121
11211211111211...........................
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑∑∑====n a a ka n
a a a n a a a n a a n kn k k k n n T y x y x y x y y y y y x x x x x x x x x x x x Y X B 11
211132132122322211131211..............................1 (111)
则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式