左老师讲义(高中数学圆锥曲线)

第一章：规定动作
1.规定动作之联消判韦
（2013天津卷改编）已知,A B 是椭圆22
132
x y +=的左、右顶点，F 为该椭圆的左焦点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于,C D 两点。

若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.
2. 联消判韦之速算判别式
（2018全国3卷改编）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
:143
x y C +=交于,A B 两点，线段AB 中点D 的横坐标为1，求证:1||2
k >
.
（2015江苏卷改编）已知椭圆2
212
x y +=的右焦点为F ，直线l 的方程为2x =-，过点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程。

4.联消判韦之直线的设法: x 型还是y 型
（2012北京文改编）已知椭圆22
142
x y +=的右顶点为A ，直线()1y k x =-与椭圆交于不
同的两点,M N .当三角形AMN 的面积为
3
时，求k 的值.
（2013陕西文改编）已知椭圆22
:143
x y C +=，过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若A 是PB 的中点，求直线l 的斜率.
6.传说中的点乘双根式
（2012重庆理改编）已知椭圆22
1204
x y +=，12(2,0),(2,0)B B -，过1B 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，且22PB QB ⊥，求直线l 的方程.
7.不对称处理第0招:假的不对称，整体就对称
已知椭圆22
:33C x y +=.过点()1,0D 且不过()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3.x M =交于点试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.
8.不对称处理第1招:硬凑韦达
（2011四川理改编）椭圆有两顶点()()1,0,1,0,A B -过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P 。

直线AC 与直线,BD Q P A B 交于点，当点异于两点时，求证:OP OQ ⋅为定值.
9.不对称处理第2招:顶点弦代换
（2011四川理改编）椭圆有两顶点()()1,0,1,0,A B -过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P 。

直线AC 与直线,BD Q P A B 交于点，当点异于两点时，求证:OP OQ ⋅为定值.
10.不对称处理第3招:平方法和曲线代换 已知椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点().P x 点在轴上方设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，是否存在常数λ，使得12=k k λ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
11.不对称处理第4招:和积关系代换 已知椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点().P x 点在轴上方设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，是否存在常数λ，使得12=k k λ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
12.联消解之1:过椭圆顶点的弦
（2015天津文改编）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ，离心率
为5
直线BF 与椭圆交于点()P P B B BP 异于点，过点且垂直于的直线与椭圆交于点Q ,直线PQ y 与轴交于点,M ||||,PM MQ λλ=求的值
13.联消解之2:过椭圆中心的弦
（2008全国2改编）设椭圆中心在坐标原点，(2,0),(0,1)
A B是它的两个顶点，直线
()0
y kx k
=＞与AB相交于点D,与椭圆相交于,E F两点.若6,.
ED DF k
=求的值14.联消解之3:过椭圆上已知点的弦
椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=的右顶点,Q O为坐标原点，OQ
过的中点作x轴的垂线与椭圆第一象
限交于点A，点A的纵坐标为3
,. 2
c c为半焦距
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点A作斜率为1
2
的直线l与椭圆交于另一点B，以AB为直径的圆过点
19
,
22
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
求椭圆的方程.
15.联消解之4:只求弦的一个端点坐标(单端点问题)
（2015天津理）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b
的左焦点为,0F c （-），离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2
22
+4b x y =截得的线段的长为c ，
||3
FM =
.（1）求直线FM 的斜率；（2）求椭圆的方程.
第二章：三焦必考
16.椭圆的焦半径
（2018全国3卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0． 证明：2||||||FP FA FB =+．
17.两条平行的焦半径.
（2012江苏卷改编）已知,A B 是椭圆2
212
x y +=上位于x 轴上方的两点,12,F F 分别为椭圆的
左、右焦点，且直线1AF 与直线2BF 平行，若122
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率.
18.焦半径比例小公式
（2010辽宁卷）设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60o
,2AF FB =. （1）求椭圆C 的离心率；
（2）如果AB =
154
，求椭圆C 的方程.
19.焦点三角形(一) （2019全国3文）已知22
1222,:1(0)x y F F C a b a b +=>>是椭圆的两个焦点，C 上存在点P ,使得1212,PF PF F PF ⊥∆且的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.
20.焦点三角形(二)
（2015重庆理）椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭
圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥.若1,PF PQ =求椭圆的离心率.
21.抛物线的焦半径公式
（2017全国1理）已知F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，求AB DE +的最小值
22.抛物线的焦点弦
（2016全国3理）已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交
,C A B 于两点，交C 的准线于,P Q 两点.若点F 在线段AB 上，R PQ 是的中点，
证明AR ∥FQ
23.抛物线的直角弦
直线l 和抛物线2
2y px =相交于异于原点的两点,,A B 以AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明:直线l 过定点，并求定点的坐标.
24.抛物线的定点弦
（2009天津理）设抛物线2
2y x =的焦点为F ，
过点)
M
的直线与抛物线相交于,A B
两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF =2，求∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCF
ACF
S S ∆∆
第三章：条件翻译
25.中点弦与点差法
（2011山东文）在平面直角坐标系中，已知椭圆
．如图所示，斜率为且不过原点的直
线l 交椭圆C 于，两点，线段的中点为，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点．求的最小值；
26.椭圆中的对称问题 （2010安徽理改编）
已知椭圆22
:
11612
x y E +=，在椭圆E 上是否存在关于直线210l x y --=：对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.
27.抛物线中的点差法
xOy 2
2:13
x C y +=(0)k k ＞A B AB E (3,)D m -22m k +
（2016全国3文）已知抛物线2
:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于,P Q 两点.若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求
AB 中点的轨迹方程.
28.隐蔽的中点弦
（2015陕西理）已知椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点
(),0c ，()0,b 的直线的距离为12
c ．
（1）求椭圆E 的离心率； （2）如图，AB 是圆:M ()()22
5
212
x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．
29.以AB 为直径的圆过点P
（2014天津理）设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上
顶点为B .已知123
2
AB
F F .（1）求椭圆的离心率； （2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线
l 与该圆相切. 求直线的斜率.
30.点P 在以AB 为直径的圆内(外)
已知m 是非实数，直线2
:02
m l x my --=过抛物线2:2(0),C y px p F =>的焦点 C 与交于,A B 两点，过,A B 分别做抛物线C 的准线的垂线，垂足为1111,,,A B AA F BB F ∆∆的重心分别为,G H .求证：对任意非零实数m ，抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.
31.共线的成比例线段
（2011山东文）在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段的中点为，射线OE 交椭圆
C 于点G ，交直线3x =-于点．2||||||OG O
D O
E =⋅，求证：直线l 过定点.
32.圓的切线小公式
（2011山东文）在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，线段的中点为，射线OE 交椭圆
C 于点G ，交直线3x =-于点．2||||||OG O
D O
E =⋅，求证：直线l 过定点.
33.椭圆的切线小公式
（2013山东理）椭圆2
2:14
x C y +=的左、右焦点分别是12,F F 点P 是椭圆C 上除长轴端xOy 2
2:13
x C y +=(0)k k ＞AB E (3,)D m -xOy 2
2:13
x C y +=(0)k k ＞AB E (3,)D m -
点外的任一点，连接12,PF PF .过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线12,PF PF 的斜率分别为12,.0,k k k ≠若试证明12
11kk kk +为定值，并求出这个定值.
34.抛物线的切线小公式
（2017全国1文）设,A B 为曲线2
:4
x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.
35.几条曲线的公切线
（2012广东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点
为()11,0F -，且点()10,1P C 在上. (1)求椭圆1C 的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2
2:4C y x =相切，求直线l 的方程。

36.切点弦方程
（2013广东文）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20
l x y --=
的距离为
2
．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（1） 求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.
37.等腰三角形的翻译
（2010全国新课标理）设12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，过1
F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列。

（1）求E 的离心率；
（2）设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程
38.与坐标轴围成的等腰三角形
（2015全国1卷理）在直角坐标系xOy 中，曲线2
:4
x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交
与,M N 两点， y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由。

39.等边三角形的翻译
已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为12
，其右顶点B 过点B 的直线():(0)l y k x a k =-＜”与椭圆E 于另一点,A 点C 为y 轴上一点
（1）求椭圆E 的标准方程;
（2）若ABC ∆是等边三角形,求直线l 的方程.
40.三点共线问题
（2012北京理）曲线22
:184
x y C y +=与轴的交点为,A B A B （点位于点的上方），直线4y kx C M N =+与曲线交于不同的两点，,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：,,A G M 三点共线.
41.平行四边形的翻译
（2014四川文）已知椭圆C ：22
162
x y +=.设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 。

当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积。

42.菱形的翻译
（2013北京文）直线y kx m =+（0m ≠）与椭圆W ：2
214
x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点
（1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长。

（2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形。

43.矩形和正方形的翻译
（2018上海）曲线C ：²8y x =080x y ≤≤≥（，）
,点()2,0F ,直线8l x =：与x 轴交于点A ，与C 交于点.,B P Q 分别是曲线C 与线段AB 上的动点。

是否存在以FP FQ 、为邻边的矩形FPEQ ，使得点E C 在上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。

44.锐角和钝角的翻译
（2015湖南理）过点()0,1F 的直线l 与抛物线2
1:4C x y =相交于,A B 两点，与22
2:198
y x C +=相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向。

设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形。

45.角平分线的处理
（2013山东理）椭圆2
2:14
x C y +=的左、右焦点分别是12,F F 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF .设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点M M （m ，0），求m 的取值范围.
46.中线的处理
（2011山东理）已知动直线与椭圆C: 交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ∆的面积=
,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；
47.外心的处理 l 22
132
x y +=OPQ S
∆22212x x +2212y y +
（2009天津理）已知椭圆22221x y a b
+=的离心率为3，12F F 、分别是椭圆E 的左右焦点，
A 是E 的上顶点，点C 与点A 关于坐标原点对称，3,22c
B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,直线2F B 上有一点
(,)(0)H m n m ≠在∆1AF C 的外接圆上，求
n m 的值
48.内心的处理
（2010全国1卷理）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .
（1）证明：点F 在直线BD 上；
（2）设89
FA FB =
，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .
49.重心和垂心的处理
已知椭圆
2
2
:1
2
x
C y
+=的上顶点为B，右焦点为F，直线,
l C M N
与椭圆交于两点. F
点是否可以为BMN
∆的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，说明理由50.面积问题1
（2014全国1卷理）椭圆E：
2
21
4
x
y
+=，过点()
02
A-，的动直线l与E相交于,P Q两
点，当OPQ
∆的面积最大时，求l的方程.
51.面积问题2
已知曲线()()()200:4,2,1,2,1.,C x y A B Q x y C =-定点点是曲线上动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是()01-，，,l PA PB 与分别交于点D E 、，求QAB ∆与PDE ∆的面积之比。

52.面积问题3
（2010北京理）已知曲线22
:34C x y +=上的三点,,A B P ,其中()()1,1,1,1,A B --直线AP 和BP 分别与直线3,x M N =交于.问：是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

53.面积问题4
（2015上海理）已知椭圆22
21x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于,A B 和,C D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .设()11,x y A ，()22C ,x y ，用,A C 两点的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-；
54.面积问题5
（2013全国2卷理）过椭圆M ：22
163
x y +=右焦点的直线0x y +-=交M 于,A B 两点，,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值。

55.面积问题6
（2008全国2卷理）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E F ,两点．求四边形AEBF 面积的最大值．
56.面积问题7
（2018天津文）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离
||AB =（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点,P M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.
第四章:优化运算
57.形式的简化就是最大的简化
（2015全国2卷理）已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 过点E (,)3
m m 但不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,,A B 线段AB 的中点为M .延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若不能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.
58.斜率和问题
（2015江西理）F 点是椭圆22143x y +=的右焦点，AB 是经过F 点且不经过31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，的任一弦，设直线AB 与直线:4,,,l x M PA PB PM =相交于记斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123=k k k λ+？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
59.联立两直线的消元技巧
（2012北京理改编）直线4:y kx C =+与曲线22
184
x y +=交于不同的两点 ,,,M N A B 分别为椭圆C 的上下顶点，直线BM 与AN 相交于点G ，求证：点G 在定直线上。

60.猜根法与合分比定理
（2012江苏）已知,A B 是椭圆2
212
x y +=上位于x 轴上方的两点,12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P ．求证：12PF PF +是定值．
61.给定两点求截距
（2016北京文）已知椭圆C ：过点()()2,0,0,1A B 两点. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
62.直角三角形斜边上的高线
（2012上海理）已知,M N 分别是双曲线1C ：1222=-y x ,椭圆2C ：142
2=+y x 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值。

63.直径圆方程
22
221x y a b
+=
椭圆22221(0)x y E a b a b +=>>：的左顶点()2,0,2
A e -=，过()1,0D 的直线交椭圆于,
B
C .两直线.AB AC 分别交直线3x =于,M N 两点.（1）求椭圆方程.
（2）以MN 为直径的圆是否过定点？若是，求出所有定点坐标.
64.点关于直线的对称点
设焦点在x 轴上的椭圆E 的离心率为5，点,,A B C 分别为E 的右、上、下顶点.
N 为
线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2，求E 的方程.
65.学会同理可得
已知抛物线2
:4C x y =的顶点为O ,过C 的焦点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点.若直 线.AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求MN 的最小值.
66.过圆外一点作圆的双切线
（2011浙江理）已知抛物线1C :2x ＝y ，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M .点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于,A B 两点，若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程
67 阿基米德三角形
（2008山东理科）设抛物线方程2
2x py =,(0)p >,M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为,A B 。

（1）求证：,,A M B 三点横坐标成等差数列；
（2）已知当M 点的坐标为(2,2)p -时，AB =
68 寻找条件中的等价量
（2018浙江）已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。

（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（2）若P 是半椭圆2
2
1(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。

69 曲线的对称运算的帮助
（2017江苏）12,F F 是椭圆22
:143
x y E +=的左右焦点，点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 做直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l 。

若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标。

70.条件的预处理，
(2018天津理)已知椭圆22
194
x y +=的上顶点为B ,点()2,0A .直线():0l y kx k =＞与椭
圆在第一象限的交点为P ,且l 与AB 交于点Q .若
4
AQ AOQ PQ =∠,求k 的值.(O 为坐标原点)
71.改变点、线、条件的出场顺序
(2017上海)已知椭圆
2
2
:1
4
x
E y
+=,A为E的上顶点,P是E上异于上、下顶点的动点,
M为x正半轴上的动点,若MA MP
=，直线AQ与E交于另一点C且2,4
AQ AC PQ PM
==,求直线AQ的方程.
72.整体设计解法
(2015山东文)已知点P是椭圆
2
2
:1
4
x
C y
+=上任意一点,过点P的直线m
kx
y+
=交椭
圆
22
:1
164
x y
E+=于B
A,两点，射线PO交椭圆E E于点Q.（1）求
OP
OQ
的值；
（2）求ABQ
∆面积的最大值。

第五章：引入变量
73.独立条件的个数和条件的等价性
(2014天津理)设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知1232
AB F F .（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.
74.变量选取的原则（一）
已知椭圆()22
2210:x y a b a b
C +=＞＞上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过两个焦点, ,A B 是椭圆C 的长轴端点.（1）求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程;（2）设,P Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点,若直线PQ 与x 轴平行，直线AP BP 、与y 轴的交点记为,M N ,试证明MQ NQ ⊥。

75.变量选取的原则（二）
(2013江西文)椭圆2:14
C y +=的左、右、上顶点分别是,,A B
D ,点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m .证明:2m k -为定值.
76.多点和多线的选择 过原点的直线与椭圆2
2:14
x C y +=交于,A B 两点(,A B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆上，且AD AB ⊥,直线BD 与x 轴交于点M .设,BD AM 的斜率分别为12,k k ,证明存在常数λ使得12=k k λ,并求出λ的值.
77.设点与设线结合
( 2018北京文)椭圆2:13
M y +=与斜率为k 的直线l 交于,A B 两点,设()2,0P -,直PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若,C D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
共线,求k .
78.点变量的经典使用场景（一）
(2019全国II 理)已知椭圆22
:142
x y C +=过原点的直线交C 于,P Q 两点,点P 在第一象限,PE x ⊥轴,垂足为E ,连接QE 并延长交C 于点G .证明:PQG ∆是直角三角形.
79.点变量的经典使用场景（二）
(2012浙江文)已知抛物线2
:C y x =上的点()1,1M ,,A B 是C 上的两个动点,且线段AB 被直线OM 平分,11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.求ABP ∆面积的最大值.
80.设点法的精髓 (2011重庆文),M N 是椭圆22
142
x y +=上的点,O 为坐标原点，直线OM 与ON 的斜率之积12
-
.设动点P 满足:2OP OM ON =+,求点P 的轨迹方程.
81.轮换设点法及其使用场景
（2011重庆理),M N 是椭圆22
142
x y +=上的点,O 为坐标原点，直线OM 与ON 的斜率之积12
-.设动点P 满足:2OP OM ON =+。

问:是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF +为定值?若存在,求12,F F 的坐标;若不存在,说明理由。

82.点差法进阶版（一）
（2018北京文)椭圆2
2:13
x M y +=与斜率为k 的直线l 交于,A B 两点,设()2,0P -,直PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若,C D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
共线,求k .
83.点差法进阶版（二）
(2018浙江)已知椭圆()2
214
x y m m +=＞上两点,A B ,点()0,1P ，且2AP PB =，求m 为何值时,点B 的横坐标的绝对值最大.
84.多变量的处理原则
(2017天津文)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为2
2
b . （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2
FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （ⅰ）求直线FP 的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程.
第六章：最少必要(二级结论)
85.椭圆和双曲线的直径
已知,,P M N P,M,N 是椭圆22
:143
x y C +=上不同的三点,直线,PM PN 都不平行于坐标轴、不通过原点，且34
PM PN k k ⋅=-。

证明:,M N 两点的横坐标之和为常数。

86.椭圆直径规律的应用（一） 已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为,A B .过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点(点P 在x 轴.上方).设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k .是否存在常数λ,使得12=k k λ?若存在,求出λ的值;若不存在，请说明理由.
87.椭圆直径规律的应用（二）
(2011江苏),M N 分别是椭圆的左、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点.其中点P 在第一象限,过点P 作x 轴的垂线，垂足为C .连接AC ,并延长交椭圆于点B .设直线PA 的斜率为k ,求证:对任意的0,k PA PB ⊥＞.
88.圆锥曲线上的四点共圆
(2014大纲文)已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于,M N 两点，且,,,A M B N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.
89.椭圆的内准圆
12
42
2=+y x
(2010陕西理)已知椭圆22
:143
x y C +=，设n 是过原点的直线, l 是与n 垂直相交于P P 点、与椭圆相交于,A B 两点的直线,1OP =.是否存在上述直线l 使1AP PB ⋅=成立?若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由.
90.椭圆的外准圆
给定椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>,圆心在原点O ,半径为的圆是椭圆C 的“准
圆”.若椭圆C 的一个焦点为)
F ，其短轴上的一个端点到F 。

(1)求椭圆C 的方程和其“准圆” 的方程;
(2)当P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆"于点,M N . (i)当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时,求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； (ii )求证:线段MN 的长为定值.
91.圆锥曲线的等角定理
(2018全国I 理)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（2）设为坐标原点，证明：.
92.椭圆的共轭中心三角形
设点()
00,M x y 是椭圆22:1164x y C +=上一点,从原点O 向圆()()220016:5
M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,直线OP ,OQ 的斜率分别记为12,k k 。

(1)求证:12k k ⋅为定值;(2)求OP OQ ⋅的最大值.
第七章：目标分析
2
2:12
x C y +=F F l C ,A B M (2,0)O OMA OMB ∠=∠
93.直线过定点的通法
(2017全国I理)已知P是椭圆
2
2
:1
4
x
C y
+=的上顶点，直线l不经过P点且与C相交于
,A B两点若直线PA与直线PB的斜率的和为1-,证明:l过定点.
94.过定点的技巧（一）
(2015四川理)椭圆
22
:1
42
x y
E+=，过点()
0,1
P的动直线l与椭圆E交于A B
、两点。

是否存在与点P不同的定点Q,使得QA PA
QB PB
=恒成立，若存在，求出Q点的坐标，若不
存在，说明理由
95.过定点的技巧（二）
(2012福建理)已知椭圆22
:143
x y E +=，动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

96.过定点模型（一）
(2009辽宁理)已知椭圆C 经过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
两个焦点为()()1,0,1,0-
（1）求椭圆C 的方程;
（2）,E F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.
97.过定点模型(二)
( 2013陕西理)已知抛物线2
:8C y x =，点()1,0B -，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线C 交于不同的两点,P Q ,若x 轴是DPQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点.
98.定直线的本质是求轨迹
已知,A B 分别是椭圆22
:193
x y C +=的左、右顶点,过定点()2,0D 的不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点,求证:直线AQ 与直线BP 交点E 总在某直线l 上.
99.定值问题的难点。