贝塞尔函数

∞
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = n(n − 1)( n − 2) 1Γ(1) = n ! Γ( ) = ∫ t e dt = 2 ∫ e d t = 2 ∫ e
−t −t 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ∞ −u2
du = π
3 2
(2n − 1)!! Γ(n + ) = (n − )Γ(n − ) = (n − )( n − )Γ(n − ) = π n 2
k =0 k
ρ +k
+ ∑ bs z
s =0
∞
s
∑C zρ
k =0 k
∞
+k
=0
消去因子 z ，得：
ρ
∑ C ( ρ + k )( ρ + k − 1) z + ∑ a z ∑ C ( ρ + k ) z + ∑ b z ∑ C z
k s k s k =0 k s =0 s k =0 k s =0 s k =0 k
∞
∞
∞
∞
∞
k
=0
(9)
要使上式在 z < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的系数必须等于零。
8
由 z 的最低次幂的系数为零得：
C0 [ ρ ( ρ − 1) + a0 ρ + b0 ] = 0
( a0 , b0 已知) (10)
C0 ≠ 0 ⇒ ρ ( ρ − 1) + a0 ρ + b0 = 0
Jν ( x) cosνπ − J −ν ( x) Nν ( x) = sinνπ
ν = 0,1,
Jν ( x) cosνπ − J −ν ( x) N n ( x) = lim Nν ( x) = lim ν →n ν →n 整数时, sinνπ ∂Jν ∂J ( x) cosνπ − Jν ( x)π sinνπ − −ν ∂ν = lim ∂ν ν →n π cosνπ 1 ⎡ ∂Jν n ∂J −ν ⎤ = ⎢ − (−1) ∂ν ⎥ν = n π ⎣ ∂ν ⎦
k 0
∞
k
其中：ρ1 , ρ 2 , g , Ck , Dk (k = 0, ±1, ± 2 ) 是常数
6
求正则解的步骤： 为方便起见，设正则奇点 z0 = 0 （对于一般的 z0 点，只需把 z → z − z0 ） 以 z 乘方程 得：
2
w ''+ pw '+ qw = 0
z 2 w ''+ zp1 ( z ) w '+ q1 ( z ) w = 0
z 0 称为方程的常点。
w( z ) = ∑ Ck ( z − z0 ) k （1）解的具体形式：
k =0 ∞
5
(ii) 方程的奇点：只要两系数p(z)和q(z)之一在点 z 0 不
z 解析， 0 就称为方程的奇点。
如果 z 0 最多是p(z)的一阶极点、q(z)的二阶极点， 则 z 0 称为方程的正则奇点。 则方程的两个线性无关解是
J n ( x)
16
可证明,Nν ( x) 是贝塞尔函数方程的解.同样可证明 N 与 ν 线性无关
Neumann 函数曲线
总之，结论: (1) 当 ν 不为整数和零时, Jν ( x)和 J −ν ( x)线性无关.通解可 为两者线性组合.
(2) 无论ν 是否整数和零时, Nν ( x) 和 Jν 永远线性无
∞
另一个特解为:
y 2 ( x ) = ∑ Ck X
k =0 ∞ k −ν
( ρ 2 = −ν )
= ∑ C2 n X
n=0 ∞ 2 n −ν
(−1) n Γ(−ν + 1)C0 2 n −ν = ∑ 2n X ν n = 0 2 n !Γ ( − + n + 1)
∞
讨论: ( i ) 当 ν ≠ n (整数)时,方程的通解是贝塞尔函数 J ±ν ( x) 的 线性组合. 在 y1中取
9
•贝塞耳方程的级数解 二阶线性齐次常微分方程
称为贝塞耳方程 现在，在x=0的邻域求解贝塞耳方程 级数解的形式
w ''+ pw '+ qw = 0
x 2 y ''+ xy '+ ( x 2 −ν 2 ) y = 0,
0≤ x≤b
1 ν2 p ( x) = , q ( x) = 1 − 2 x x
x=0是p(x)的一阶极点，是q(x)的二阶极点, 因此，x=0是方程的正 则奇点
3 2
4
§7.1 贝塞耳方程与贝塞耳函数
回顾 1. 方程的常点和奇点 二阶线性齐次常微分方程的标准形式：
w ''( z ) + p ( z ) w '( z ) + q ( z ) w( z ) = 0
(1)
其中：w(z)—未知的复变函数，p(z)、q(z)—已知的复 变函数 (方程的系数) (i) 方程的常点：如果p(z)和q(z)都在点 z 0的邻域解析，则
0
∞
(Re z = x > 0)
Γ函数的递推公式：
Γ( z + 1) = zΓ( z )
证明：
Γ ( z + 1) = ∫ t
0 ∞ ( z +1) −1 − t
e dt = − ∫ t z d (e − t )
0
∞
= −t e | + ∫ e d (t ) = z ∫ t z −1e− t dt = zΓ( z )
w1 ( z ) = ( z − z0 )
ρ1
Ck ( z − z0 )k ∑
k =0 ∞
∞
w2 ( z ) = ( z − z0 ) ρ2 ∑ Dk ( z − z0 )k
k =0
或 w2 ( z) = gw1 ( z) ln( z − z0 ) + ( z − z0 )
ρ2
k =−∞
∑ D (z − z )
q1 ( z ) = z 2 q ( z )
(5) (6)
其中： p1 ( z ) = zp ( z )
p q 由条件(4)可知： 1 ( z ) ， 1 ( z ) 在 z=0 点及其邻域内是解析的， 作泰勒展开：
p1 ( z ) = ∑ as z
s =0 ∞ s
q1 ( z ) = ∑ bs z s
第7章 贝塞尔(Bessel)函数
• 本章介绍贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方程、球 贝塞尔方程的解， • 解的微分与积分表达式 • 递推公式、渐近公式、以及贝塞耳方程本征函 数的正交性，正交归一关系式与完备性等.
后续课程中应用：如《量子力学》中弹性散射内容部分。
1
§7.0
1.实变函数中Γ函数的定义
∞
Γຫໍສະໝຸດ Baidu数
关.故贝塞尔函数方程的解均可为:
y ( x) = C1 Jν ( x) + C2 Nν ( x)
17
(3) 此外还有汉克尔（Hankel）函数
Hν(1) ( x) = Jν ( x) + iNν ( x)
Hν(2) ( x) = Jν ( x) − iNν ( x)
k =2
∞
k =2
由x 的同次幂系数之和为零，得 ⎧C1 = 0 (1 + 2ν )C1 = 0, (ν > 0) ⎧ ⎪ −C k − 2 ⎨ ⎨ ⎩k (k + 2ν )Ck + Ck − 2 = 0 ⎪Ck = k (2ν + k ) ⎩
C2 k +1 = 0
11
(−1) C2 n = C2 n − 2 2n(2ν + 2n) (−1) (−1) i 2 = 2 C2( n − 2) 2 n(ν + n) 2 (n − 1)(ν + n − 1) (−1) 2 = 2.2 C2( n − 2) 2 n(n − 1).(ν + n)(ν + n − 1) = (−1) n = 2.n 2 n(n − 1) 1.(ν + n)(ν + n − 1) (−1) nν ! = 2n C0 2 n !(ν + n)! (−1) Γ(ν + 1) = 2n C0 2 n !Γ(ν + n + 1)
15
n ( i i ) 当ν = n (整数)时, J − n ( x) = (−1) J n ( x) 线性相关.不构 成通解. P69 已证明 ∞ y2 ( x) = aJ n ( x) ln X + X −ν ∑ Dk X k 故另一特解应为
k =0
但是用上式计算 a 和 Dk 通常不易. 因此引入一个与 J n 线性无关的特解.即诺伊曼函数(Neumann）. 定义 当ν = n
C0 = 1 2ν Γ(ν + 1)
13
得:
∞ (−1) n (−1) n ⎛X⎞ 2 n +ν y1 ( x) = ∑ 2 n X =∑ ⎜ ⎟ ν ν ν n = 0 2 i n !2 Γ ( + n + 1) n = 0 n !Γ ( + n + 1) ⎝ 2 ⎠ ∞
2 n +ν
= Jν ( x)
若在 y2 中取 则得:
1 C0 = −ν 2 Γ(−ν + 1)
2 n −ν
(−1) n ⎛X⎞ y2 ( x ) = ∑ ⎜ ⎟ n !Γ(−ν + n + 1) ⎝ 2 ⎠ n =0
∞
= J −ν ( x)
当 ν ≠ n 整数时, Jν 和 J −ν 线性无关. 故通解为两者线性组合.
14
此图 给出自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线
k =0
∞
∑ [(k + ρ ) −ν ]Ck x
2
+ ∑ Ck x k + ρ + 2 = 0,
k =0
(3)
10
∑ [(k + ρ )
k =0
∞
2
−ν 2 ]Ck x k + ρ + ∑ Ck x k + ρ + 2 = 0,
k =0
∞
(3)
由x的最低次幂xρ的系数为零： ( ρ 2 −ν 2 )C0 = 0 C0 ≠ 0, ρ1 = ν , ρ 2 = −ν 系数递推公式： 令ν>0, 并将ρ=ρ1=ν代入方程(3)，得
令其解
∞ k =0
y = x ρ ∑ Ck x k = ∑ Ck x k + ρ
k =0 k+ρ
∞
∞
(2)
k+ρ
∑ (k + ρ )(k + ρ − 1)Ck x
整理
∞ 2 k =0
+ ∑ (k + ρ )Ck x
k =0 k+ρ ∞
∞
k =0
+ ∑ Ck x
k =0
∞
k + ρ +2
−ν
2
Ck x k + ρ = 0 ∑
—— ρ 的二次方程，指标方程 k 又由(9)式中的 z 的系数为零得：
Ck ( ρ + k )( ρ + k − 1) + ∑ as ( ρ + k − s )Ck − s + ∑ bs Ck − s = 0
s =0 s =0 ∞ ∞
(k = 1, 2 )
(11)
利用递推关系，可以逐一把(8)式中的 C k ( k > 0) 用 C0 和 C1 以及已知的 as和 bs表示出来。 说明：由指标方程 ⇒ ρ 的两个根ρ1 , ρ 2 。故用递推关系(11)一般 可以得到两组系数 Ck , Dk 。 具体讨论参见郭敦仁 《数学物理方法》 。
∑ [(k +ν ) −ν ]Ck x
2 2
∞
k +ν
k =0
+ ∑ Ck x k +ν + 2 = 0
k =0
∞
改变第二项的求和指标 ∞ ∞ 2 2 k +ν [(k + ν ) −ν ]Ck x + ∑ Ck − 2 x k +ν = 0 ∑
k =0
(1 + 2ν )C1 x1+ν + ∑ [k (k + 2ν )Ck + Ck − 2 ]x k +ν = 0
s =0
∞
(7)
7
设方程(6)的正则解为：
w( z ) = z
ρ
∑C z = ∑C zρ
k k =0 k k =0 k
∞ ∞ s
∞
∞
+k
(C0 ≠ 0)
(8)
将(7)、(8)代入(6)式中，得：
∑ C ( ρ + k )( ρ + k − 1) z
k =0 k
∞
ρ +k
+ ∑ as z
s =0
∑ C (ρ + k )z
n
−Ck − 2 Ck = k (2ν + k )
(ν + 1)
C2( n − n )
P104, (5.1.19 ) Γ(ν + 1) = ν !
12
由递推公式求系数得特解:
y1 ( x) = ∑ Ck X k + v = ∑ C2 n X 2 n + v
k =0 n=0 ∞ ∞
(−1) n Γ(ν + 1)C0 2 n +ν = ∑ 2n X ν n = 0 2 n !Γ ( + n + 1)
z −t ∞ 0 −t z 0 0
∞
∞
tz z −t 其中用到： lim ( −t e ) = − lim t = 0 t →∞ t →∞ e
3
五、Γ函数常用公式：
Γ( z + 1) = zΓ( z )
Γ(1) = ∫ t e dt = e
1−1 − t 0 1 2 ∞
1 −1 2
∞
−t ∞ 0
=1
( x > 0)
Γ ( x ) = ∫ t x −1e − t dt
0
(1)
说明：(i) Γ( x) 是含参数（此处为t）的定积分，是解析 函数的一种重要表达式； (ii) (1)式右边的积分收敛条件是 x > 0 ，因此(1)式 只定义了 的Γ函数
x>0 。
2
2. 复变函数中Γ函数的定义
Γ( z ) = ∫ t z −1e − t dt