球的切接问题专题

专题：球的切接问题 一．知识点

1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正

方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图1，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2

a R =；

2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点， 如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2

2

=。

3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，

如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2

31=

=。

4.正四面体的外接球和内切球

如图4所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积22

34

34a a S =⨯

=表． 正四面体的体积222212

34331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=

- 322212233123a a a a =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-= 图1 图2

图3

图4

BCD A V r S -=⋅表31

，a a

a

S V r BCD A 1263122332

3

=⨯

==∴-表

在BEO Rt ∆中，2

22EO BE BO +=，即22

233r a R +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 小结:正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的3

4

5.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。

设长方体的棱长分别为a ，b ，c 。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？

结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2

2

22c b a R ++=

二、题型与方法归类 例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R ＝

33

2

，则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.故填27π (2) 求棱长为1的正四面体外接球的体积．

设SO 1是正四面体S －ABC 的高，外接球的球心O 在SO 1上，设外接球半径为R ，AO 1＝r ， 则在△ABC 中，用解直角三角形知识得r ＝3

3

， 从而SO 1＝

SA 2－AO 21＝

1－1

3

＝

23

， 在Rt △AOO 1中，由勾股定理得R 2＝(23－R )2＋(33)2，解得R ＝64， ∴V 球＝43πR 3＝43π(64)3＝6

8π.

变式练习:

1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积( C )

A ．16π

B ．20π

C ．24π

D ．32π

2已知正方体外接球的体积是

32

3

π，那么正方体的棱长等于( D ) A ．2 2 B.233 C.423 D.43

3

解析 由题意知V ＝43πR 3＝32π

3

，∴R ＝2，外接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a ，

则体对角线l ＝3a ＝4，a ＝43

3

.

3.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．

【解析】 外切圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴S 表＝S 侧＋2S 底＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2，

V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3. 【答案】 6πR 2；2πR 3

例2、已知A 、B 、C 、D 是球O 面上的四个点，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA ＝1,OB ＝2,OC ＝3，求球的体积与表面积。

分析：通过将三棱锥补成长方体。这种方法叫作补形法。

解：将三棱锥补成长方体，设外接球的半径为r ，则2

2

2

321)2(++=r ，解得4

142

=

r ，所以球 的表面积S=ππ1442

=r 变式训练：

如图所示，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA=AC=2，则三棱锥P-ABC 的外接球的体积为

C

A.34π

B. 38π

C.

3

2π

D.π2答案：A.提示：补成长方体得解.

例3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高

3

6

2)332(222=

⋅

-=h ． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3

6

22+．

例4..已知一个三棱锥的三视图如图2所示， 其中俯视图是顶角为120的等腰三角形， 则该三棱锥的外接球体积为 ．

寻求球心是关键，模仿圆心确定的方式，来确定球心——

先确定底面的圆心（球的小圆圆心）1O ，球心必然在过1O 且垂直于平面ABC 的垂线上，

如图，1

1

12

OO PA =

=，圆1O 的半径可以通过正弦定理得到1O A =2

.