人大附中2018-2019高三理科数学月考答案

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2019届北京市中国人民大学附属中学高三上学期第二次月考数学(理)试卷及解析

2019届中国人民大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B. RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是。

北京市人大附中2019届高三数学4月月考试题文(含解析)

()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先算出总人数中高二与高一学生人数之比，再由抽取的样本中高二与高一学生人数之比不变
求出高二应抽取人数.
【详解】解：在总人数中高二与高一学生人数之比为 360：400=9:10
所以在抽取的样本中高二与高一学生人数之比仍为 360：400=9:10
因为高一抽取了 60 人，所以高二应抽取 54 人
外接球相同，然后由长方体外接半径公式
算出外接球的半径，从而求出表面
积. 【详解】解：因为 QC∥PA，所以异面直线 QD 与 PA 所成的角为∠DQC=30°，因为四边形 ABCD 为边长等于的正方形所以 QC = 又因为 PA⊥平面 ABCD，QC∥PA，得 QC⊥平面 ABCD 所以四棱锥 Q－ABCD 的外接球与长宽高分别为、、的长方形的外接球相同
5
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【详解】将全称命题化为特称命题，将结论否定：
.
【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词.
10.若抛物线
,则焦点的坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】
观察抛物线方程易得抛物线焦点在 y 轴正半轴，然后写出焦点即可.
【详解】解：因为
，得，，
（Ⅱ）设
，为数列的前 n 项和，是否存在
，使得
求出 m 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）存在
满足题意
？若存在，
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【解析】
【分析】
（Ⅰ）先设等差数列的公差，再由题中条件，列出等量关系，即可求出结果；

届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案

届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。

2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期理科数学练习卷(一)(含答案)

北京市中国人民大学附属中学 2019届高三下学期理科数学练习卷（一）本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

)1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B =A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1-D.{}1,0-2.已知i 为虚数单位，复数212iz i+=-，则3z = A.iB.i -C.1D.1-3.命题“[]20,2,20x x x ∀∈-≤”的否定是A.[]20,2,20x x x ∀∈-> B.[]20000,2,20x x x ∃∈-≤ C.[]20,2,20x x x ∀∉->D.[]20000,2,20x x x ∃∈->4.()f x 是R 上的奇函数，且2(1),1()log ,01f x x f x x x ->⎧=⎨<≤⎩则3()2f -=A.12 B.12-C.1D.1- 5.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6p，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为A.22132x y -=B.2213x y -= c.22164x y -= D.221124x y -= 6.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为A.12 B.14 C.13 D.167.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

河南省郑州市中国人民大学附属中学分校2018-2019学年高三数学理月考试卷含解析

河南省郑州市中国人民大学附属中学分校2018-2019学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏参考答案：B设顶层灯数为，，，解得．2. 已知双曲线：，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：的焦点、若A、B是抛物线C2上两点，，则AB中点的横坐标为（）A. B. 2 C. D. 3参考答案：B【分析】根据二次函数取得最小值的条件，求得，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案.【详解】由题意可得，即有，由，可得当时，焦距取得最小值，所以双曲线的方程为，于是右焦点为，即抛物线的焦点为，所以，，则抛物线：，准线方程，设，，∴，解得，∴线段的中点横坐标为2.故选：B【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质，考查了二次函数求最值，考查了抛物线的定义，属于基础题.3. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A. 4B.C.2 D.参考答案：A4.已知条件条件，则是的（）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：答案：A5. 设函数f（x）=ax3﹣x+1（x∈R），若对于任意x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0，则实数a 的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[0+∞）C．[0，2] D．[1，2]参考答案：C考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：对x讨论，当x=0，当x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：aa≥﹣，设g（x）=﹣，由导数判断单调性，即可求出a≥0；x∈[﹣1，0）时，求出a≤2，由此可得a的取值范围．解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣x+1≥0可化为：a≥﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，1]上单调递增，因此g（x）max=g（1）=0，从而a≥0；当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣x+1≥0可化为：a≤﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=，g（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=2，从而a≤2，则0≤a≤2．即有实数a的取值范围为[0，2]．故选：C．点评：本题考查不等式恒成立问题的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用6. 设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是（）A. 若B. 若C. 若D. 若参考答案：D因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D7. 设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a?β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，a?β，则根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．8. 将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数f(x)的图像，则下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的最小正周期为B. 函数f(x)在区间上单调递增C. 函数f(x)在区间上的最小值为D. 是函数f(x)的一条对称轴参考答案：C【分析】由三角函数图象的伸缩变换及平移变换得f（x）函数解析式，再由三角函数图象及性质依次判断选项即可．【详解】=2cos（x+），将其向右平移个单位长度得函数解析式为h（x）＝2cos（x），再把得到的图象再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象，得f（x）＝2cos（2x），则函数y＝f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x（k∈z），故A，D选项不正确，又当时，2x，函数不单调，故B错误，当时，2x，函数在x=时取得最小值为C正确，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数图象的伸缩变换及平移变换，三角函数图象的性质，属于中档题.9. 设集合U={1，2，3，4}, A={2，3}, B={1}, 则等于A. {2}B. {3}C.D. {2，3}参考答案：D略10. 抛物线的焦点为，点，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，为周长的最小值为（）A．B．12 C. 11 D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知M为三角形ABC内一点，且满足若∠AMB=，∠AMC= ， ||= 2，则。

中国人民大学附属中学2018届高三2月月考数学(理)

中国人民大学附属中学2018届高三2月考数学(理)试题本试卷共4页，三道大题，20道小题，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷保留，答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数11ii-+在复平面内对应的点位于 A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一三象限 D ．第二四象限2．已知向量a ＝(3,－1)，b ＝(－2,4)，则向量a 与b 的夹角为A ．23π B ．34π C ．56π D ．712π 3．已知双曲线C ： D_Dd__________̪ҒϨϨAB ．2C ．12D 4．执行如右图所示的程序框图，若输入的n 值为4，则输出的C 值为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．85．已知O (0,0)，A (1,0)，B (2,1)，C (m ,n )，则“m ＝2n ”是 “AC ⊥OB 于点C ”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某四面体的三视图如右图所示，则该四面体的最大棱长为 2018.2开始输入nA=0,B=1,k =0k <n C=A+B A=B,B=Ck=k+1输出C结束是否侧(左)视图正(主)视图A ．2 BC．D ．37．现有一种新型洗衣液，在一定量的水中每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为()y k f x =⋅，其中28(06)7()118(616)9x x xf x x x +⎧⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤.已知当水中洗衣液的浓度不低于6 (克/升)时，有效去污效果比较明显.若投放3个单位的洗衣液，则有效去污可持续的时间大约为A ．4分钟B ．6分钟C ．10分钟D ．16分钟8．现从甲、乙、丙、丁、戊五人中选派若干人去执行一项任务，选派有以下限定条件：①如果甲去，那么乙也去； ②乙、丙两人中恰好去一个人； ③丙、丁两人都去或者都不去； ④丁、戊两人中至少去一个人．则下列说法不．正确的是 A ．如果乙不去，那么甲也不去 B ．甲、丙两人中至多去一个人 C ．这五人中至多可以去三个人D ．甲、戊两人都去或者都不去第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．在极坐标系中，点(2,)3π到直线sin()16πρθ+=的距离为______.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34a =，552S a =，则4S =______.11．设集合A ＝{x ∈R |142x≤≤}，B ＝{ x ∈R | tan πx ＜1}，则________．12．已知，则：______，333333333333313．若实数x,y 满足20326x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，且z ＝mx ＋y 仅在点(1,2)处取得最小值，则实数m 的取值范围是_________.14．已知正方体ABCD -A’B’C’D’的棱长为1，对于它的任意两个不同的顶点P 、Q ，都可以用若干条首尾相接的棱将它们顺次连接起来(每个顶点最多经过一次)，这些棱构成一条连接P 、Q 的路径．例如，A -B -C -D 是一条连接A 、D 的路径，而A -B -B’-A’-A -D 则不是符合条件的路径．记f (P ,Q )和g (P ,Q )分别为连接P 、Q 的最长、最短路径的长，则：（Ⅰ）连接顶点A 、C’的路径共有______条；（Ⅱ）f (P ,Q )+ g (P ,Q )的最小值为______．侧(左)视图正(主)视图三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15. （本小题满分13分）已知函数2251()cos cos sin 22f x x x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及相应x 的取值；（Ⅱ）在△ABC 中，若1(C)2f =-，求角C ．16. （本小题满分13分）袋中装有大小形状完全相同的3个红球和2个黑球，现从袋中随机摸球，摸到红球放回，摸到黑球不放回．若连续2次摸到红球，或累计摸出2个黑球，即停止摸球．（Ⅰ）求第一次和第二次均摸到黑球的概率；（Ⅱ）用X 表示停止摸球时的摸球次数，求X 的分布列及数学期望E (X )．17. （本小题满分14分）已知四棱锥P-ABCD 中，底面是梯形，DC ∥AB ，AB=BC=2DC=4，∠ABC=90︒, BD 与AC 交于点F ，平面PDC ⊥平面ABCD ，PD=PC ，点G 是AP 上一点，且AG =2GP .（Ⅰ）求证：GF ∥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角P-AB-C 为45°，① 求直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值；② 在棱PB 上是否存在一点S ，使得平面SDC ⊥平面P AB ？若存在，求出CS 的长度；若不存在，说明理由．18. （本小题满分13分）已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A 、B ，离心率为12，左焦点为F (－1,0)．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与椭圆G 交于M 、N 两点（不同于点A 、B ），直线BM 与直线 x ＝－a 交于点P ，记直线AM 、PF 的斜率分别为k 1和k 2，问12k k ⋅是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．19. （本小题满分14分）已知函数()2ln p f x px x x =--，2()e g x x=．（Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求p 的最小值；（Ⅲ）若20p p -≥，且存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围．20. （本小题满分13分）若数列12:,,,n A a a a 满足：对任意1i j n ≤<≤，均有i j a i a j +≤+成立，则称数列A 为“D-数列”.（Ⅰ）直接判断下面三个数列是否是“D-数列”： ① A ：1，2，3，4； ② A ：1，3，2，4；③ A ：4，3，2，1．（Ⅱ）若“D-数列”122018:,,,A a a a 满足12018a =，证明：数列A 是等差数列的充分不必要条件是20181a =；（Ⅲ）求q 的取值范围，使得存在非零实数a ，对任意正整数n ，数列A :21,,,,n a aq aq aq - 恒为“D-数列”.（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效）中国人民大学附属中学2018届高三2月考数学(理)参考答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1-8 BBAC BCCD二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）15. 解：（Ⅰ）5cos 2111cos 2()222222x xf x x +-=⋅--⋅4分3cos 2212x x =+)16x π=++，6分因为cos(2)16x π+≤，所以()f x 1，8分此时22()6x k k ππ+=∈Z ，即,12x k k ππ=-∈Z ．9分（Ⅱ）因为1())162f C C π=++=-，所以，cos(2)6C π+=， 10分因为C 是△ABC 的内角，所以132666C πππ<+<， 11分所以，5266C ππ+=或76π，所以，32C ππ=或．13分16. 解：（Ⅰ）法1：设事件A ＝“第一次和第二次均摸到黑球”，则事件A 包含的基本事件数为22A ＝2个；样本空间Ω包含的基本事件数为25A ＝20个，因此，P (A )＝()21()2010n A n ==Ω． 4分法2：设事件A ＝“第一次和第二次均摸到黑球”，事件B ＝“第一次摸到黑球”，事件C ＝“第二次摸到黑球”，则P (A )＝P (BC )＝P (B )·P (C |B )＝2115410⨯=． 4分（Ⅱ）X 的可能取值为2，3，4．5分332123(2)555450P X ==⨯+⨯=，3212312339(3)55454454425P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，323332319(4)5544554450P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．11分故E (X )2399682+3+450255025=⨯⨯⨯=． 13分17. 解：（Ⅰ）因为DC ∥AB ，所以2AF AB FC DC ===AGGP，所以GF ∥PC ．1分因为GF ⊄平面PBC , PC ⊂平面PBC ， 2分所以GF ∥平面PBC ． 3分（Ⅱ）取DC 中点O ，并在平面ABCD 内作DC 的垂线Ox .连结OP .因为PD=PC ,所以PO ⊥DC .又因为平面PDC ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD ，所以Ox ,OP ,OC 两两垂直． 4分以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz 如图．设OP=a (a >0),则：O (0,0,0), A (4,-3,0), B (4,1,0), C (0,1,0)，D (0,-1,0) ,P (0,0,a )①平面ABC 一个法向量为n =(0,0,1) 5分设平面P AB 的法向量为m =(x,y,z)，则m ⊥BA , m ⊥BP .BA =（0，-4,0），BP=（-4，-1，a ） 4040y x y az =⎧∴⎨--+=⎩ ,解得40,y z x a == . 令,x a = 则0,4y z ==，即m =(,0,4)a则cos ,<>m n =||||⋅=m nm n 2=，解得216a =，又因为a >0，所以4a =，P (0，0，4) 8分所以，(0,1,4)PC =-，m =(4,0,4)cos ,PC <>=m 17=- 设PC 与平面P AB 所成角为θ，因为[0,]2πθ∈，所以sin cos ,PC θ=<>= m10分②假设存在满足条件的S 点，设(01)PS PB λλ=≤≤，则(0,1,4)(4,1,4)CS CP PS CP PB λλ=+=+=-+-=(4,1,44)λλλ--. 11分设平面SDC 的法向量为b =(,,)x y z ，则⊥b DC ,⊥b CS又因为(0,4,0)DC =所以404(1)(44)0y x y z λλλ=⎧⎨+-+-=⎩ ，解得0,(1)y x z λλ==- .令,1z x λλ==- ，则b =(1,0,)λλ- 12分由平面SDC ⊥平面P AB 知：⊥b m . 所以4(1)40λλ-+=，解得1[0,1]2λ=∈. 所以存在满足条件的S 点，且S 点为PB 中点13分A此时S 点坐标为1(2,,2)2 ，则CS=14分18. 解：（Ⅰ）由题意知，半焦距c ＝1，1分由12c a =，得a ＝2， 3分所以，2223b a c =-=，4分故椭圆G 的方程为22143x y +=． 5分（Ⅱ）12k k ⋅为定值，值为－3．6分由（Ⅰ）知，A(－2,0)，B(2,0)．设点M 00(,)x y ，由点M 在椭圆上，得220143x y +=，所以，2200434y x -=，即220043(4)y x =-． 8分直线BM 的方程为：00(2)2y y x x =⋅--，故点P 的坐标为004(2,)2y x ---． 10分于是02042y k x =-，又0102y k x =+，12分因此，201220434y k k x ⋅==--，为定值．13分19. 解：（Ⅰ）当2p =时，函数2()22ln f x x x x=--，(1)0f =， 222'()2f x x x=+-，'(1)2f =．故()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-． 4分（Ⅱ）22222'()p px x p f x p x x x-+=+-=．令2()2h x px x p =-+，若()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，则()0h x ≥，6分即220px x p -+≥，故221xp x +≥，又212x x +≥，即2211xx +≤，故p 的最小值为1． 8分（Ⅲ）因为2()eg x x=在[1，e ]上是减函数，所以max ()(1)2g x g e ==，min ()()2g x g e ==，即()[2,2]g x e ∈ 10分由20p p -≥得：0p ≤或1p ≥．①当0p <时，2()2h x px x p =-+开口向下，且对称轴1x p=在y 轴的左侧，又()0h x <，所以'()0f x <，()f x 在[1，e]上是减函数．当0p =时，()2h x x =-，因为x ∈[1，e]，所以()0h x <，2'()0f x x=-<，此时，()f x 在x ∈[1，e]内是减函数．综上，当0p ≤时，()f x 在[1，e]上单调递减，因此，f (x )max ＝f (1)＝0＜2，不合题意； 12分②当1p ≥时，由①知()f x 在[1，e]上是增函数，(1)02f =<,因()g x 在[1，e]上是减函数，故只需max min ()()f x g x >，x ∈[1，e]，而max 1()()()2ln f x f e p e e e==--，min ()2g x =，故只需1()2ln 2p e e e -->，解得241ep e >-，所以p 的取值范围是24(,)1ee +∞-. 14分20. 解：（Ⅰ）①②③均为“D-数列”； 3分（Ⅱ）充分性：对22017i ≤≤，由条件，1201812018i a a i a +≤+≤+，即20192019i a i ≤+≤，2月考数学（理）试卷第 11页共6页所以，2019i a i +=，2019i a i =-因为当22016i ≤≤时，1(2018)(2019)1i i a a i i +-=---=-，所以数列A 是以－1为公差的等差数列6分不必要性：当{ a n }是常数列，且a n ＝2018时，数列A 是“D-数列”，但a n ≠1．7分（Ⅲ）（1）当q ＝0时，取a ＝1，则数列A 为“D-数列”；8分（2）当q ≠0时，条件等价于，对任意的正整数i ，1(1)i i a i a i ++≤++，即11i i a a +≥-，所以11i i aq aq -≥-．①当1q ≥时，取1a =，则111i i i q q q --≥>-成立；②当01q <<时，取1a =，则101i i q q ->>-成立；③当10q -≤<时，取12a =，则当i 是偶数时，1110122i i q q ->>-；当i 是奇数时，11111222i i q q -≥-≥-，均成立； ④当1q <-时，下证：存在正整数i ，使得11i i aq aq -<-，即1(1)1i aq q --<-(*).事实上，当0a >时，取i 是奇数且1ln(1)1ln()a q i q ->+-，则(*)成立；当0a <时，取i 是偶数且1ln(1)1ln()a q i q -->+-，则(*)成立 12分综上所述，q 的范围为[1,)-+∞13分。

北京市人大附中2018-2019年高三(上)月考数学试卷(理科)(一)(解析版)

北京市人大附中2018-2019学年高三（上）月考数学试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1，3，√m }，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m 的值为（）A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或3 2. 下列函数中，定义域为[0，+∞）的函数是（）A. y =√xB. y =−2x 2C. y =3x +1D. y =(x −1)2 3. 下列命题中的假命题是（）A. ∀x ∈R ，2x−1>0B. ∀x ∈N ∗，(x −1)2>0C. ∃x 0∈R ，lgx 0<1D. ∃x 0∈R ，tanx 0=2 4. 设a =（12）12，b =1og 213，c =log 23，则（）A. a >b >cB. c >b >aC. a >c >bD. c >a >b5. 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）=x 3+x 2+1，则f （1）+g （1）=（） A. −3 B. −1 C. 1 D. 3 6. 若函数f(x)=(1−2a)x2(x 2+a)的图象如图所示，则a 的取值范围是（） A. (1,+∞) B. (0,1)C. (0,12) D. (−∞,12)7. 对于函数f （x ）=x 3+bx 2+cx -1，“c ≥0”是“f （x ）在（-∞，+∞）上单调递增”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 如图，过函数f （x ）=1x （x ＞0）图象上两点P （a ，1a ），Q （b ，1b ）（a ＜b ）分别作y =f （x ）的切线11，l 2，l 1，l 2交于M ，并且分别与坐标轴交于A ，B ，C ，D ，则（）A. 三角形MBD 与三角形MAC 面积之和为定值B. 三角形MBD 与三角形MAC 面积之差为定值C. 三角形MBD 的面积一定大于三角形MAC 面积D. 三角形MBD 的面积一定小于三角形MAC 面积二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知幂函数y =f （x ）的图象过（-8，-2），则f （x ）=______．10. 当函数f （x ）=x 2与函数g （x ）=x 2+ax +b 图象关于直线x =1对称时，则a =______，b =______． 11. 若存在x ∈R ，使得不等式12x +1≥a 成立，则实数a 的取值范围是______．12. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为C =20tt 2+4，则经过______h 后池水中药品的浓度达到最大．13. “定义在R 上的函数f （x ），若对任意的x 1，x 2，当x 1≠x 2都有f （x 1）≠f （x 2），则f （x ）为单调函数”．能够说明上述命题是错误的一个函数是______． 14. 为了得到函数f （x ）=log 2（2x−14）的图象，只需将函数f （x ）=log 2x 的图象①先将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，再向右移动12个单位即可 ②先右移14个单位，再将每一点的横坐标扩大为原来的2倍即可．③先将每一点横坐标缩为原来的12，再向右移动12个单位，再向下移动2个单位即可 ④先向右移12个单位，再向下移1个单位即可正确的说法有______三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）15. 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1）（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若f （m ）＜-2，求实数m 的取值范围． 16. 设函数f(x)=(x −1)e x −k2x 2（其中k ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ≤0时，讨论函数f （x ）的零点个数．17.对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n={x|x=a∈E n，b∈E n}．若b集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．}．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，如当n=2时，E2={1，2}，P2={1，222使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B，求n的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．2.【答案】A【解析】解：选项A，y=的定义域为[0，+∞）选项B，y=-2x2定义域为R选项C，y=3x+1定义域为R选项D，y=（x-1）2定义域为R故选：A．选项根据偶次根式下大于等于0可得定义域，选项B、D都是二次函数，定义域为R，选项C是一次函数，定义域为R，可得正确选项．本题主要考查了幂函数、二次函数和一次函数的定义域，属于容易题．3.【答案】B【解析】解：对于A，∀x∈R，2x-1＞0，正确，对于B，当x=1时，（x-1）2=0，此时∀x∈N+，（x-1）2＞0错误，对于C，当0＜x＜10时，lgx＜1，则∃x0∈R，lgx0＜1正确，对于D，tanx的值域为R，∴∃x0∈R，tanx0=2正确，故选：B．根据含有量词的命题的真假判断方法进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的真假判断，比较基础．4.【答案】D【解析】解：∵0＜a=（）＜（）0=1，b=1og2＜log21=0，c=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由f（x）-g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成-x，得f（-x）-g（-x）=-x3+x2+1，根据f（x）=f（-x），g（-x）=-g（x），得f（x）+g（x）=-x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．将原代数式中的x替换成-x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于-1也可以得到计算结果．6.【答案】C【解析】解：∵函数，∴f′（x）=，令f′（x）=0得：x2=a由图可知，函数f（x）有两个极值点，故方程：x2=a有实数解，∴a＞0．又从图象中得出，当x＞0时，y＞0，∴1-2a＞0，∴a＜故a∈（0，）．故选：C．结合函数的图象并利用导函数的性质得a＞0，再结合图象在第一象限内的性质得出1-2a＞0，即可解答．本题考查了函数的图象、函数的极值与导数的联系，函数值与对应自变量取值范围的关系，解答关键是需要形数结合解题．7.【答案】B【解析】解：函数的导数为f′（x）=3x2+2bx+c，若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，则f′（x）=3x2+2bx+c≥0恒成立，即判别式△=4b2-12c≤0，即c≥b2≥0，即必要性成立，当c≥0时，△=4b2-12c≤0不一定成立，即f′（x）≥0不一定成立，即充分性不成立，则“c≥0”是“f（x）在（-∞，+∞）上单调递增”的必要不充分条件，故选：B．求函数的导数，结合函数单调性与导数之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性与导数之间的关系求出c的范围是解：8.【答案】B【解析】解：函数的导数f′（x）=-，则f′（a）=-，f′（b）=-，则11：y-=-（x-a），即y=-x+，①l2：y-=-（x-b）=x+，②由①②得x=，y=，即M（，），分别令x=0，y=0得坐标轴上点的坐标为B（0，），D（0，），C（2b，0），A（2a，0），∵a＜b，∴BD=-=，AC=2b-2a，则三角形MBD的面积S△MBD=BDx M=××=，三角形MAC的面积S△MAC=ACy M=×（2b-2a）×=，则S△MBD=S△MAC，即S△MBD-S△MAC=0，即三角形MBD与三角形MAC面积之差为定值，故选：B．求函数的导数，结合导数的几何意义求出切线斜率和方程，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行计算，进行判断即可．本题主要考查三角形面积的计算，结合导数的几何意义求出切线斜率和方程，求出交点坐标，结合三角形的面积公式进行判断是解决本题的关键．9.【答案】x13【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象过（-8，-2），∴（-8）α=-2，解得α=，∴f（x）=．故答案为：．利用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．10.【答案】-4 4【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2与函数g（x）=x2+ax+b图象关于直线x=1对称，则g（x）=f（2-x）=（2-x）2=x2-4x+4，则a=-4，b=4；故答案为：-4，4根据题意，分析可得g（x）=f（2-x）=（2-x）2=x2-4x+4，分析可得答案．本题考查函数解析式的求法，关键是掌握函数关于直线对称的性质．11.【答案】a＜1【解析】解：存在x∈R，使得不等式≥a成立，即a＜，f（x）=，x∈R，f（x）＜=1，∴实数a的取值范围是a＜1．故答案为：a＜1．由题意问题转化为a＜，构造函数求出最值即可得出结论．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了转化思想，是基础题．12.【答案】2【解析】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13.【答案】f（x）={0，x=0 1x，x≠0【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f（x），若对任意的x1，x2，当x1≠x2都有f（x1）≠f（x2），即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则f（x）=，故答案为：f（x）=，（答案不唯一）根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题．14.【答案】①②③④【解析】解：将函数f（x）=log2x的图象对于①，先将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y=log2（x）的图象，再向右移动个单位可得y=log2（x-）的图象，故①正确；对于②，先右移个单位，可得y=log2（x-）的图象，再将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y=log2（x-）的图象，故②正确；对于③，先将每一点横坐标缩为原来的，可得y=log2（2x）的图象，再向右移动个单位，可得y=log2（2x-1）的图象，再向下移动2个单位，可得y=log2（2x-1）-2=log2的图象，故③正确；对于④，先向右移个单位，可得y=log2（x-）的图象，再向下移1个单位可得y=log 2（x-）-1=log 2（x-）的图象，故④正确．故答案为：①②③④．运用对数函数的图象变换，主要是伸缩变换和平移变换，即可判断正确结论．本题考查对数函数的图象变换，考查伸缩变换和平移变换规律，考查转换能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1），∴当x ＜0时，-x ＞0， ∴f （-x ）=log 2（-x +1），∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （-x ）=-f （x ），∴-f （x ）=log 2（-x +1），即f （x ）=-log 2（1-x ），又f （0）=0，∴f （x ）={log 2(x +1)(x ＞0)0(x =0)−log 2(1−x)(x ＜0)…6分（Ⅱ）∵x ＞0时，f （x ）=log 2（x +1）＞0，f （0）=0， ∴f （m ）＜-2⇔到-log 2（1-m ）＜-2， ∴log 2（1-m ）＞2， ∴1-m ＞4， ∴m ＜-3…12分【解析】（Ⅰ）根据题意可求得当x ＜0时的解析式，结合f （0）=0即可得到函数f （x ）定义在R 上的解析式；（Ⅱ）由函数f （x ）的解析式即可得到log 2（1-m ）＞2，从而可求得实数m 的取值范围．本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查函数的奇偶性，求得x ＜0时的解析式是关键，属于中档题．16.【答案】解：（1）函数f （x ）的定义域为（-∞，+∞），f '（x ）=e x +（x -1）e x -kx =xe x -kx =x （e x -k ），①当k ≤0时，令f '（x ）＞0，解得x ＞0，所以f （x ）的单调递减区间是（-∞，0），单调递增区间是[0，+∞），②当0＜k ＜1时，令f '（x ）＞0，解得x ＜ln k 或x ＞0，所以f （x ）在（-∞，ln k ）和（0，+∞）上单调递增，在[ln k ，0]上单调递减， ③当k =1时，f '（x ）≥0，f （x ）在（-∞，∞）上单调递增，④当k ＞1时，令f '（x ）＞0，解得x ＜0或x ＞ln k ，所以f （x ）在（-∞，0）和（ln k ，+∞）上单调递增，在[0，ln k ]上单调递减；（2）f（0）=-1，①当k＜0时，f(1)=−k2＞0，又f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点，在区间（-∞，0）中，因为f(x)=(x−1)e x−k2x2＞x−1−k2x2，取x=2k −1，于是f(2k−1)＞(2k−1)−1−k2(2k−1)2=−k2＞0，又f（x）在（-∞，0）上单调递减，故f（x）在（-∞，0）上也只有一个零点，所以，函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有两个零点；②当k=0时，f（x）=（x-1）e x在单调递增区间[0，+∞）内，只有f（1）=0．而在区间（-∞，0）内f（x）＜0，即f（x）在此区间内无零点．所以，函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上只有唯一的零点．【解析】（1）求出函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），导函数f'（x），通过①当k≤0时，②当0＜k＜1时，③当k=1时，④当k＞1时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性．（2）f（0）=-1，①当k＜0时，判断f（x）在[0，+∞）上单调递增，说明零点个数，f （x）在（-∞，0）上也只有一个零点，推出函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上有两个零点；②当k=0时，判断零点个数即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，导函数的符号，以及函数的最值，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．17.【答案】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n={x|x=√ba∈E n，b∈E n}．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．…..（6分）证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..（10分）解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆P n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．若n=14，当b=1时，{x|x=√1a∈E14}=E14，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合{x|x=√4a∈E14}中除整数外，其余的数组成集合为{12，32，52，…，132 }，令A2={12，52，92，112}，B2={32，72，132}，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使{12，32，52，…，132}=A2∪B2．当b=9时，集{x|x=9a∈E14}中除整数外，其余的数组成集合{13，23，43，53，73，8 3，103，113，133，143}，令A3={13，43，53，103，133}，B3={23，73，83，113，143}．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使{13，23，43，53，73，83，103，113，133，143}=A3∪B3．集合C={x|x=√ba∈E14，b∈E14，b≠1，4，9}中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件能求出集合P3，P5中的元素个数，并判断出P3不具有性质Ω．（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}，从而1∈A∪B，由此推导出与A具有性质Ω矛盾．从而假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）当n≥15时，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．n=14，根据b=1、b=4、b=9分类讨论，能求出n的最大值为14．本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)数学理试卷 Word版含解析

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期理科月考（二）数学试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题）1.函数的值域为A. B.RC. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在定义域上是单调增函数，且满足，判断的值域为R．【详解】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性与值域应用问题，是基础题．2.若集合，，则是A. B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】化简A，B再根据并集的定义即可求出．【详解】解：由于，即，解得，，由，即，解得或，或，，或，故选：C．【点睛】本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．3.已知是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】【分析】由题意，可由函数的性质得出在上是减函数，再由函数的周期性即可得出为上的减函数，由此证明充分性，再由为上的减函数结合周期性即可得出为上是减函数，再由函数是偶函数即可得出为上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【详解】解：是定义在R上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在R上的以2为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误.4.设函数一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图像关于Y轴对称，所以是其极大值点；对于C中的是将的图像关X轴对称，所以才是其极小值点；而对于D中的是将的图像关原点对称，故是其极小值点，故正确.【考点定位】本题主要考查学生对于函数极值与最值关系及函数图像的变换，牢记几种常见变换.属于难度较大的题目.5.设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式或表示的区域，可知要想满足,须满足x<0时，,所以6.设，，均为实数，且，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意将，，分别看做是两个函数图象交点的横坐标，故画出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．【详解】由题意得，，，分别是函数与图象的交点横坐标．在同一坐标系内作出函数的图象，如图所示，由图可得．故选A．【点睛】本题考查函数图象的应用，即结合函数的图象比较大小，解题的关键是根据题意得到，，的几何意义，然后利用数形结合求解，体现了函数图象在解题中的应用．7.若是的最小值，则的取值范围为（）.A. [-1,2]B. [-1，0]C. [1，2]D.【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．8.据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，同时不成立，则不成立C. ，可同时不成立D. ，可同时成立【答案】C【解析】特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.二、填空题（本大题共6小题）9.定积分______．【答案】【解析】【分析】直接利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分即可．【详解】解：由定积分公式可得，故答案为：．【点睛】本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于寻找被积函数的原函数，属于基础题．10.若，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列依次为______．【答案】【解析】【分析】可看出，从而比较出a，b，c的大小．【详解】解：，，；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．11.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．【考点】导数与切线斜率．【此处有视频，请去附件查看】12.某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系，（为自然对数的底数，，为常数）．若食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，该食品在℃的保鲜时间是__________小时．【答案】【解析】分析：利用该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，可得，解得，进而可得结果.详解：∵某食品的保鲜时间（单位：时间）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，是常数）．该食品在℃的保险时间设计小时，在℃的保险时间是小时，∴，解得，∴，∴该食品在℃的保鲜时间．故答案为．点睛：本题主要考查指数函数模型解决实际问题，属于中档题.解答本题的关键是利用待定系数法求得，从而使问题得以解决.13.若不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】分离参数a，得，只需求在的最小值【详解】解：，，在的最小值为，实数a的取值范围为．故答案为．【点睛】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而求函数的值域．14.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x，x2，都有m＞0；1②对于任意的a及任意不相等的实数x，x2，都有n＞0；1③对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝n；1④对于任意的a，存在不相等的实数x，x2，使得m＝－n.1其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】对于①，因为f '（x）＝2x ln2＞0恒成立，故①正确对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误对于③，令f '（x）＝g'（x），即2x ln2＝2x＋a记h（x）＝2x ln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2x ln2＝－2x－a令h（x）＝2x ln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是单调递增函数，当x→＋∞时，h（x）→＋∞当x→－∞时，h（x）→－∞因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确考点：本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.已知函数．当时，求曲线在处的切线方程；讨论函数的单调性；当时，求函数在区间的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】当时，，求其导函数，得到，又，可得曲线在处的切线方程为；求出原函数的导函数，分，，三类求函数的单调区间；由知，当时，的减区间为，增区间为，然后分，，三类求函数的最小值．【详解】解：当时，，．，又，曲线在处的切线方程为；．当时，，在上为增函数；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；当时，在上有，当上，有，的减区间为，增区间为；由知，当时，的减区间为，增区间为，若，即时，在单调递增，；若，即，在上单调递减，在上单调递增，；若，即时，在单调递减，．综上，．【点睛】本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【答案】（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．【详解】解：由于，，则，由于，则，当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；根据局部奇函数的定义，时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解，令，则，设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以时，所以，即．根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即，，即有解即可．设，则，方程等价为在时有解，设，对称轴，若，则，即，，此时，若，要使在时有解，则，即，解得，综上得，【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

北京市人大附中2019届高三8月摸底考试数学(理)试题word版答案

365 243 ，
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3
所以估计一年中有
1 243
天的空气质量达到一级或二级
3
（说明：答 243 天， 244 天不扣分）
（17）（本小题 13 分）
. ,,,,,,
3 2 91
11 分 12 分
13 分
解：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得 B(1,0,0 ) ， C (2,2,0 ) ，
解： (Ⅰ ) f ( x) sin(2 x ) cos2x 6
3
1
sin 2x cos 2x cos 2x ,,,,,,
2分
2
2
3
3
sin 2x cos2x
2
2
1
3
3( sin 2x
cos 2x)
2
2
3 sin(2 x ) 3
,,,,,,
4分
π
π
函数 y sin x 的单调递增区间为 [2 kπ , 2kπ ]( k Z ) ，
= 0.
0,
,,,,,,
6分
不妨令 y = 1 ，可得 n = (2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量 .
于是有 cos n, BE =
n ×BE =
2
3
=.
n ×BE 6 ′ 2 3
所以，直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为
3 . ,,,,,, 3
8分
（Ⅲ）解：假设在棱 PC 上是存在点 F，满足 BF ^ AC ，设 CF = l ， CP
为事件 A
则 P(A)
C14 C121 C135
44 91
,,,,,,,,,,,,,,
4分

北京大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

北京大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（）A ．15B ．30C ．31D ．64 3．给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能 4．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是图乙中的（）5．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积（） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的166．已知，，那么夹角的余弦值（）A． B． C ．﹣2 D．﹣7．设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-8．设a ，b为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．10．复数i iiz (21+=是虚数单位）的虚部为（） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力．11．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（）A ．A ØB B ．AB B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð12．已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（） A． B． C．2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；… 若)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.14．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________. 15．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]16．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 三、解答题（本大共6小题，共70分。

北京市人大附中2018届高三2月内部特供卷理科数学(一)Word版含答案

2018届高三2月份内部特供卷高三理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（）A．4B．2C．23D．432．已知复数132iz=+，22iz=-，12z z⋅的虚部为（）A．1-B．i-C．1D．i3．函数π()3sin(2)3f x x=-的图象为C，命题:p图象C关于直线11π12x=对称；命题:q由xy2sin3=的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C；则下列命题为真命题的是（）A．qp∧B．()p q∧⌝C．()p q⌝∨D．()p q⌝∨4．在(内随机地取一个数k，则事件“直线y kx k=+与圆()2211x y-+=有公共点”发生的概率为（）A．13B．14C．12D5．已知集合{}270A x x=∈-<N，{}2340B x x x=--≤，则A B=（）A．{}1,2,3B．{}0,1,2,3C．72x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤D．72x x⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤6．设点(,)P x y是平面区域10220xx yx y⎧⎪++⎨⎪++⎩≤≤≥内的任意一点，则224x y x+-的最小值为（）A．12B．1C．92D．57．执行如图所示的程序框图，输出S，则()2log1S+=（）A．9 B．10 C．11 D．128．函数()sinlnsinx xf xx x-⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致是（）9．已知1>>ba，若10log log3a bb a+=，3b aa b=，=b（）A．23B．2C．3D．2710．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面面积的最大值为（）A．B．C．172831D．576711．设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两条渐近线于A，B点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号(,)OP OA OB λμλμ=+∈R ，320λμ=，该双曲线的离心率为（） ABCD12．已知函数1()()e 22x f kx x x =+-，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为（）A ．22121,e 4e 2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．22121,e 4e 2⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．322121,e 6e 4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．32121,e 6e 2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，3a =，2b =，则向量a 与b 夹角为____． 14．命题“0x ∃∈R ，00e 1x x >+”的否定是____________________．15．已知P 是椭圆221167x y +=上的一点，Q ，R 分别是圆221(3)4x y -+=和221(3)4x y ++=上的点，则PQ PR +的最小值是__________． 16．如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，BC =AC CD ⊥，CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足73=a ，999=S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()2n n n a b n *=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数()2sin cos f x x x x =-⋅．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()035f x =，0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD AC ⊥．AC 交BD 于点O ．（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若DP DA DB PB ===，求二面角A PB C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线2(0)x py p =>上点P 处的切线方程为10x y ++=．（1）求抛物线的方程；（2）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且122y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点T ，求ABT △面积的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数1()ln()1(1)2m f x mx m x =+->有两个零点1x ，212()x x x <．（1）求实数m 的取值范围；PBCDOABD（2）证明：12111x x m+>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交点分别为A ，B ，点(1,0)P ，求11PA PB +的值． 23．（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）设函数()221f x x x =--+．（1）解不等式()0f x ≤；（2）x ∀∈R ，()224f x m m -≤恒成立，求实数m 的取值范围．2018届高三2月份内部特供卷高三理科数学（一）答案一、选择题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】C 12．【答案】A 二、填空题 13．【答案】π614．【答案】x ∀∈R ，e 1x x +≤ 15．【答案】7 16．【答案】三、解答题 17．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意得：1127989992a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得⎩⎨⎧==231d a ，故{}n a 的通项公式为21n a n =+，n *∈N ．（2）由（1）得：212n nn b +=， 23435792122222n n n T +=++++⋅⋅⋅+，······①234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋅⋅⋅++，······② ①－②得：2341131111212()2222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-125225++-=n n ，故2552n nn T +=-． 18．（本小题满分12分）【解析】（1）()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递增区间为：()7πππ,π1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）()002π3sin 235f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，02π4cos 235x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，002π2π4134cos 2cos 233525210x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 19．（本小题满分12分）【解析】（1）Q 底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，又PD AC ⊥，PD BD D =I ，PD ，BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．（2）不妨设PB =1DP DA DB ===，作AE PB ⊥于E ，连结CE ，由（1）知AC BP ⊥，PB ⊥平面AEC ，故CE PB ⊥，则AEC ∠即二面角A PB C --的平面角，在ACE △中，AC =，OP =，PA =，AE CE ==，11cos 13AEC ∠=-．（另解：也可以以O 为原点建立空间坐标系，并注意30DBP ∠=︒，建系过程未说明扣2分．） 20．（本小题满分12分）CPABD E O【解析】（1）设点200(,)x P x p ，由2x py =得2x y p =，求导2x y p'=，因为直线PQ 的斜率为1-，所以021x p =-且20010x x p++=，解得4p =，所以抛物线的方程为24x y =．（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由0=∆解得）（2）设线段AB 中点()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为0021()y x x x -=--，即02(3)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,3)T ．联立0022002:1()224024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，得2200044(24)022x x x ∆=--⇒-＞＜＜，12AB x =-==设()0,3T到AB 的距离d =12ABT S AB d ∴=⋅=△==，当且仅当2200482x x +=-，即)2,2(3320-∈±=x 时取等号， ABTS ∴△ （另解：可以令204t x=+，S =23()8g x t t =-，求导亦可）21．（本小题满分12分）【解析】（1）1()ln()1(1)2m f x mx m x =+->，∴2212()22m x mf x x x x -'=-+=， ∴()f x 在()0,2m 单调递减，在()2,m +∞单调递增， ∴21(2)ln(2)1022m f m m m =+-<， ∴22e m <，1m ∴<< 又2211(2)ln(22)11024222e m f m m m m m -=+-->->--，2222211(2e )ln(2e )1ln e 102e 22m f m m m m +=++->-=+，∴1m <<满足函数有两个零点．（2）令111()()ln ln 1.22g x f mx x m x ==-+-由（1）知()g x 在1(0,)2m ↓，1(,)2m+∞↑，令11()()()22G x g x g x m m =--+，1(0,)2x m ∈， 222211111()()()22(1)01222144G x g x g x m m m m m m x x m'''=--+=-=--∴+>-， ()G x ∴在10,2m ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()(0)0G x G ∴>=，11()()22g x g x m m∴->+，令111()()ln ln 122g x f mx x m x ==-+-的零点为1t ，2t ，121(0)2t t m <<<， 11(0,)2t m ∈，2112(0,)22t m m-∈，∴1222211111()()()()()2222g t g t g t g t g t m m m m m ⎛⎫⎛⎫==-->+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴121t t m >-，121t t m +>，所以12111x x m+>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=，（2）将122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程，得230t -=，12t t ∴-==1212||11||||||t t PA PB t t -∴+==23．（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）【解析】（1）()0f x ≤，即221x x -+≤，即2244441x x x x -+++≤，23830x x +-≥，解得13x ≥或3x -≤，所以不等式()0f x ≤的解集为1{3x x ≥或3}x -≤．（2）()13,2122131,223,2x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=-+-⎨⎪-->⎪⎪⎩≤≤，故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为对于x ∀∈R ，使()224f x m m -≤恒成立．所以25242m m +≥，即24850m m +-≥，解得12m ≥或52m -≤，∴51,,22m ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ．。

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…………7 分 …………9 分
…………12 分
所以曲线 y f x 在直线 y 2x 2 的下方（含部分点在直线上）. …………13 分
19. (本题满分 14 分)
解：(Ⅰ)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4, 而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4. 从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (Ⅱ) 由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．所以，H(x)=kg(x)－f(x)=2kex(x＋1)－x2－4x－2，则 H′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1), 当 k≤0 时，kex－1<0, 由 H′(x)>0 得：x<-2，由 H′(x)<0 得：x>-2,
<
−ln��, 或��
>
−2,
由 H′(x)<0 得：−ln�� < �� < −2, 当�� = ��2时，H′(x)≥0 恒成立,
…………7 分 …………8 分
当0
<
��
<
��2时，由
H′(x)>0
得：{��＋��－21>>00,或
②若 a C 且 a X ，则 Card(C(X {a}) Card(CX ) 1.
…………5 分
所以要使 Card(X A) Card(X B) 的值最小，2，4，8 一定属于集合 X ；…………6 分
1，6，10，16 是否属于 X 不影响 Card(X A) Card(X B) 的值；集合 X 不能含有 A B
…………1 分 …………2 分
…………3 分
…………4 分 …………5 分
…………6 分
当��
>
��2时，由
H′(x)>0
得：{��＋��－21>>00,或
{ ��＋2 < 0 ，解得：�� －1 < 0
不可能恒成立．
综上，实数 k 的取值范围为 1≤k≤e2.
…………14 分
20. (本题满分 14 分)
解：（Ⅰ） fA(1)=1， fB (1)= -1， AB {1,6,10,16}. （Ⅱ）根据题意可知：对于集合 C, X ，
………………3 分
①若 a C 且 a X ，则 Card(C(X {a}) Card(CX ) 1；
5
5
故 cos A 4 2 3 2 2 5 2 5 2 10
…………9 分
因为 0 A ，
所以 sin A 1 cos2 A 7 2 10
…………11 分
1
因此 cos(A
) cos Acos
sin
Asin
6
6
6
2 37 217 2 6
2 2 5
2.
sin B
3
5
…………5 分
（Ⅱ）在三角形 ABC 中 A B C ，所以 A (B C). …………6 分
于是 cosA cos(B C) cos(B ) cos B cos sin Bsin ,
4
4
4
又 cos B 4 ,sin B 3 , ，
10 2 10 2
20
16.(本题满分 13 分)
…………13 分
（Ⅰ）解： f 8 =0.9.
…………3 分
（Ⅱ）证明：当 x 7 时， f (x 1) f (x)
0.4
(x 3)(x 4)
设
g

x

x

0.4
3 x

4
,则
g

x

0.4 x
2x 7 3 x 4
单调递减区间为：（ − 2， − ln��）；………10 分
(Ⅲ) 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1.由（Ⅱ）得
…………11 分
①若 1≤k<e2，F(x)在(－2，－lnk)上单调递减，在(－lnk，＋∞)上单调递增．
故 F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为 F(－lnk)．
而 F(－lnk)＝lnk (－lnk＋2)≥0.
之外的元素.
…………7 分
所以当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时， Card(X A) Card(X B) 取
到最小值 4.
………………………8 分
（Ⅲ）因为 AB {x fA(x) fB (x) 1}，所以 AB BA .
…………9 分

sin

2x

6

1
当 2x 时, 63
sin

2x

6

3 2
…………12 分
函数
f
x 在区间

12
, 2

上的最大值为
3 ，最小值-1. 2
…………13 分
18.（本题满分 13 分）
解：（1）定义域为 x

2 sin

4

x

sin

4

x

…………8 分 …………10 分 …………12 分 …………13 分
1 cos 2x 2
3 2
sin
2x

2 sin

4

x

cos

4

x

1 cos 2x 2
3 2
sin
由定义可知： fAB (x) fA(x) fB (x) .
所以对任意元素 x ， f(AB)C (x) fAB (x) fC (x) fA(x) fB (x) fC (x) ，
fA(BC) (x) fA(x) fBC (x) fA(x) fB (x) fC (x) .
k

3
,
k

5 6

，其中
k

Z
；…………7
分
（Ⅱ）令 2x k ， k Z ，
6
2
对称轴方程为： x k , k Z 23
…………………9 分
由
x

12
, 2

,得 3

5 6
，
…………10 分
当 2x 时, 62
（Ⅲ）有题意可知 0.115ln a 0.85 ，整理得 a e0.05
a6
a6
解得 a e0.05 6 21 6 126 121,127
e0.05 1
由此可知，该学科是乙学科.
17. （本题满分13分）
解：（Ⅰ）
f

x

cos

2x

2 3

|
x

0 ，
f
'x

2

x

3 2

x
1
，
x
列表
x

0,
3 2

3 2

3 2
,

f 'x +
0
-
…………2 分
f x
极大值
…………5 分
所以，当
x

3 2
时，
f
x极大值
=

3 4

3ln
3 2
…………6 分
（2）要证：曲线 y f x 在直线 y 2x 2 的下方（含部分点在直线上）。
数学(理)试题答案
一、选择题 ACDA
ABCD
二、填空题
9. (1, 2] ; 10. e2 ;
11. ; 4
12. 7 ; 4
13. 1和 0 ， (0, 4] ;
14.(1) 4,
(2)
f
n

n 22 n1 2 2
n为偶数 n为奇数
注：13、14 题两个空的分值均为前 3 后 2。三、解答题
2x

sin

2

2x

1 cos 2x 3 sin 2x
2
2
2
=

sin

2x

6

…………………5 分
令 2k 2x 2k 3 ，得 k x k 5 ， …………6 分
2
6
2
3
6
所以，
f

x
的单调递增区间是
{ ��＋2 < 0 ，解得：�� －1 < 0
<
−2, 或��
>
−ln��,
由 H′(x)<0 得：−2 < �� < −ln��,
…………9 分
所以，当 k≤0 时，函数 H(x)的单调递增区间为：（−∞， − 2）；单调递减区间为：（ − 2，