酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结
线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
酉矩阵——精选推荐
酉矩阵
1.酉矩阵（unitary matrix）定义 若n阶复矩阵A满足 AHA=AAH=E 则称A为酉矩阵，记之为A∈UN×N。其中，AH是A的共轭转置。
2.性质 如果A是酉矩阵 (1)A−1=AH (2)A−1也是酉矩阵； (3)det(A)=1; （det表示矩阵的行列式） (4)充分条件是它的n每个元素aij取共轭得bij，将新得到的由bij组成的新m*n型矩阵记为矩阵B，再对矩阵B作普通转置得到BT，即为A的共轭转置矩 阵：BT=AH
对于矩阵部分的内容在深度学习（花书）第二章线性代数中有一些介绍，如果遇到问题可以在第二章进行寻找。
矩阵理论-第七讲
由内积的
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-5
Hermite矩阵的正定性
– 推论
Hermite正定矩阵的行列式大于零
由 det A 12 L n 0 易知
矩阵理论-第七讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-1
上节内容回顾
• 酉矩阵
– n个列向量是一个标准正交基 AH A I
• 酉相似下的标准形
AH A1
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
U Cnn U 1 U H
U 1AU U H AU T
是Cn
上的向量范数。如果
ACnn x Cn
都有：
Ax A x
v
m
vБайду номын сангаас
则称矩阵范数 g m 与向量范数 gv 是相容的
矩阵范数中的第4条是矩阵范数与向量范数相容的必要条件：
ABx A(Bx) A Bx
v
v
m
v
因为 T sup{ Tx x : x 0}
T Tx x (x 0)
所以 AB sup{ ABx x : x 0} sup{( A Bx ) x : x 0}
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-3
Hermite矩阵的正定性
使得
U H AU diag(1, 2 , L n )
上式右边同乘以列向量：
1
y
2
M
n
左边同乘以行向量 yH，可得
广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵
广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵
侯谦民;刘修生
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2007(027)005
【摘要】本文研究了有限个广义酉矩阵与广义(反)Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵.利用矩阵的张量积和诱导矩阵的性质,得到了它的张量积和诱导矩阵仍为广义酉矩阵与广义(反)Hermite矩阵.
【总页数】5页(P583-587)
【作者】侯谦民;刘修生
【作者单位】湖北经济管理大学公共课部,湖北,武汉,430074;黄石理工学院数理学院,湖北,黄石,435003
【正文语种】中文
【中图分类】O152.2
【相关文献】
1.广义酉矩阵和广义(斜)Hermite矩阵的约当标准形 [J], 徐进;盛兴平
2.广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵 [J], 方玲凤;蔡静
3.k-广义酉矩阵与k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵 [J], 郑建青
4.广义Hermite矩阵及广义酉矩阵 [J], 王社宽
5.广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的一些性质 [J], 程静;何承源
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酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结
》酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 2摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。
在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。
本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。
本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。
关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。
<The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 2|AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix; Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵\定义1.1.1满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:HU表示矩阵U 的共轭转置，即HU =-U '.]定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义是相互等价的. 从定义或定义或定义知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成nC 的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4]对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5]对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6]对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6]n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E =定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是（.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:（)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.证明 因为{HH U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E （）（）（）（）所以-1U 是酉矩阵.、定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E （）（）（），所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵，则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()HU U U U1212H H U U U U =）22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证，21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵，则kU （k 为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ，2U 是酉矩阵，则12U U ，21U U ；21'U U ，12'U U ；112U U -，112U U -；1121U U U -，1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ，2U 是酉矩阵，则*12U U ，*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，则k 12U U ，k 21U U ，k m12U U （k , m 为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U （） 证明 因为~12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E （）（）（）12211122H H =E +U U +E +U U +E （）（）E =因此，当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时,1212HU +U U +U =E （）（），记12U +U 也是酉矩阵，从而-112U +U （）1212H H H =U +U =U +U （）-1-112=U +U注: 定理表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det 1U =，其中det U 表示U 的行列式.^证明 由E HU U =得)(1U U det detE H==detU detU H = gdetU U det =gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵，则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎤⎥⎦也是酉矩阵.￥证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵.因为H11111111U U U U -U U -U U ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦~1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵.定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =（，，，，，）其中,1i j nu u u u ，，，，，是U 的两两正交单位向量. 显然&,1i j n u u u u λ，，，，， (1λ=)以及,1i j nu u u u ，，，，，也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==）可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=（1-）而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=]定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是HU 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与HU =U '的特征值全部相同,因此λ是HU 的特征值, 所以1λ是H -1U =U （）的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得(=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0Hξη=, 即ξ与η正交.；定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UUU U HH==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ，的模为1.引理1.2.2 [9]设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵、1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos k k k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+,cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==，是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U 有复特征值111cos +isin λθθ=…则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12k a ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+~为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化./1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又H U U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q =E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''~从而P P+Q Q =E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同. 下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式. 用n U 表示全体n 阶酉阵; nn C⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.…证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121* (1-2-1)由条件**=AA A A 得AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得C 01<ij i j n=≤≤，从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U , 使得()H ij U AU =T =t，其中,0ij j ij t t i >j λ==，,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵. 证明 用归纳法证明.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ，定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221211211111k Hk H k H k k HHHk H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于1111,1H H 1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦\由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T , 为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫⎪⎝⎭显然, U 为由阵且11210*10001H H 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 12*0H212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.—第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵..1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵. (2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.;在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T1-为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A 是正规矩阵时，求酉矩阵U ，使得AU U H为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ；(3) chur 正交单位化的方法，求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ； (4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12Hn U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵，则A 能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ%则H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成，所以通过A 的相似对角矩阵求n A .￥!第二章 Hermite 矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义：~1．定义 矩阵A=[ija ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵，是指A=A*，其中A*=TA =[jia ]。
hermitian的特征值
hermitian的特征值Hermitian矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质。
其中之一就是其特征值都是实数。
本文将从不同角度介绍Hermitian矩阵的特征值，以及与其相关的一些性质和应用。
一、Hermitian矩阵的定义和性质Hermitian矩阵是指对于任意一个复数向量x，其共轭转置与原向量的点积等于原向量与该矩阵相乘后的向量的点积。
也就是说，如果A是一个n阶矩阵，如果对于任意一个n维复数向量x，都有x的共轭转置与A乘积的点积等于x的共轭转置与x的点积，那么矩阵A 就是Hermitian矩阵。
Hermitian矩阵的特征值都是实数，这是一个重要的性质。
假设A 是一个Hermitian矩阵，lambda是它的一个特征值，v是对应的特征向量。
那么根据特征值和特征向量的定义，有Av=lambda*v。
将等式两边都取共轭转置，得到(Av)^H=(lambda*v)^H，即v^H*A^H=v^H*lambda^H。
由于A是Hermitian矩阵，所以A^H=A，而lambda^H=lambda。
所以v^H*A=v^H*lambda。
再将这个等式与v^H相乘，得到v^H*A*v=v^H*lambda*v。
由于v^H*v是一个实数，所以lambda也必须是实数。
二、Hermitian矩阵的对角化由于Hermitian矩阵的特征值都是实数，所以可以将其对角化。
也就是说，存在一个酉矩阵P，使得P^H*A*P是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。
对角化的好处在于可以简化矩阵的运算，使得求解问题更加方便。
三、Hermitian矩阵的应用由于Hermitian矩阵具有特征值为实数的性质，所以在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在量子力学中，能量算符是一个Hermitian矩阵，它的特征值就代表了系统的能量。
在信号处理中，相关矩阵也是Hermitian矩阵，它的特征值可以用来表示信号的功率分布。
矩阵论第二章
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有
定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
关于Hermite矩阵的一些性质
关于Hermite矩阵的一些性质作者：李东方刘会彩来源：《卷宗》2016年第01期摘要：本文给定两个Hermite矩阵A、B 以及它们的特征值，给出了乘积矩阵AB 的迹的一些不等式，进而得到矩阵之和A+B 的一些特征值不等式。
以及通过研究正定Hermite矩阵Schur 补的迹和特征值的性质，得到了正定Hermite矩阵和的Schur 补与正定Hermite矩阵Schur 补的和的迹和特征值之间的不等式.关键词：Hermite矩阵，特征值，矩阵的迹，Schur补众所周知对于矩阵特征值估计的研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且已有大量的研究文献。
1 预备知识定义1 设矩阵，若（是指的共轭转置），则称A 为Hermite矩阵。
定义2 称为矩阵A 的迹。
定义3 如果非负矩阵A 的所有行和以及列和均为1，就称A 是双随机矩阵。
定义4 设表示n ×n 阶矩阵. 是非奇异主子阵，我们称是A 关于的Schur 补，记为 .引理1 矩阵为Hermite矩阵，则A 的所有特征值都是实数。
引理2 矩阵为Hermite矩阵，其特征值为它们按任意规定的次序排列，则存在一个酉矩阵，使得引理3 矩阵为双随机矩阵，当且仅当对某个存在置换矩阵和正纯量，使得，且 .引理4 设为一置换，为按递增顺序排列的两个数列，则有： .引理5 设是正定矩阵，若，那么 .引理6 若存在非奇异阵使得，那么证明因为所以引理7 若A ≥0 ，B ≥0 ，那么A + B ≥0引理8 若是半正定Hermite矩阵，是非奇异主子阵，那么半正定.证明设，取，有因A 半正定，由引理6 ，知半正定.2 主要结果定理1 设A， B 均为n ×n Hermite矩阵，它们的特征值分别依次从大到小排列为：，则有证明 A 为正定Herm ite矩阵时，由于A， B 均为n ×n He rmite矩阵，则分别存在酉矩阵W， V 使得：则：记，易知U仍为酉矩阵，故有：由知是双随机矩阵，记Ω为双随机矩阵的集合，考虑如下极大值问题：由于Ω为一有界闭凸集，上面问题的目标函数是关于的线性函数，故它在Ω的某一端点上取得极大值. 而由引理3知双随机矩阵集合的端点为置换矩阵，故存在置换矩阵使其中为一置换矩阵对应的置换，于是由引理4，可得：（2）如果A 是非正定的，则存在充分大的实数m >0，使得A +m I为正定阵（ I为n ×n阶单位阵），则A+m I的特征值为，由（2）有：即：又因为：所以：故结论成立。
广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵
Vol.27(2007)No.5数学杂志J.o f Math.(PRC)广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵*侯谦民1,刘修生2(1.湖北经济管理大学公共课部,湖北武汉430074)(2.黄石理工学院数理学院,湖北黄石435003)摘要:本文研究了有限个广义酉矩阵与广义(反)H ermite矩阵的张量积和诱导矩阵.利用矩阵的张量积和诱导矩阵的性质,得到了它的张量积和诱导矩阵仍为广义酉矩阵与广义(反)Her mite矩阵.关键词:广义酉矩阵;广义H ermite矩阵;张量积;诱导矩阵MR(2000)主题分类号:15A15;15A45 中图分类号:O152.2文献标识码:A 文章编号:0255 7797(2007)05 0583 051 引 入文献[1]提出了广义酉矩阵与广义H ermite矩阵的概念,研究了他们的性质,得到了许多新的结果.无论是对深入研究矩阵,还是在辛几何、信号分析、控制论、物理学等学科的应用上,无疑都是有价值的.而矩阵的张量积在组合学、矩阵论、算子理论、群表示、微分几何、偏微分方程与量子力学等领域又有广泛的应用.所以讨论广义酉矩阵、广义H erm ite矩阵的张量积与诱导矩阵是一件有意义的事情.我们先给本文需要的概念与记号.为方便,用J n=J表示次对角线元素为1,其余元素为0的n阶方阵;I n=I表示n阶单位方阵;A*表示矩阵A的共轭转置矩阵; m n表示m n复矩阵集.定义1.1[1] 设A=a ij m n,则称n m矩阵b ij为A的次对称矩阵,这里b ij= a m-j+1,n-i+1,记为A S=b ij;称A(*)=A S为A共轭次转置矩阵;若A(*)=A(或A(*)= -A),则称A为次H ermite矩阵(或反次H ermite矩阵).定义1.2[4] 设V是一个n维H ilbert空间,H是m次对称群S m的一个子群.设 H 是次数为1的复特征标.在张量空间 m V上定义:S(v1 v m)=1HH( )v -1(1) v -1(m).显然,V m (H)=S( m V)是 m V的子空间,人们称它为在V上的张量对称类,且称V m (H)*收稿日期:2003 08 20 接收日期:2005 12 19作者简介:侯谦民(1958 ),男,河南镇平,副教授,主要从事矩阵和群论的研究.中形为S(v1 v m)的元素为可分解张量,记为v*=v1* *v m.对于作用在V上的任意线性算子T,存在惟一作用在V m (H)的诱导线性算子K(T)且满足K(T)v1* *v m=Tv1* *Tv m.进一步,设 m,n={ =( (1), , (m)),1 (j) n,j=1,2, ,m}.我们说 m,n中两个元素 与 关于子群H是等价的,如果存在 H,使 = .显然,这个等价关系将 m,n划分成等价类,将每一个等价类中元素按字典次序排列后,再在每一个等价类中取第一个元素作成的集合记为 .令 ={ , H( ) 0},这里H 是 的稳定子,即H ={ H = }.众所周知,若E={e1,e2, ,e n}是V的有序规格化正交基,则E*={|H||H |e* }是V m (H)的按字典次序排列的规格化正交基;若线性算子T在基E的矩阵为A,诱导线性算子K(T)在基E*的矩阵为K(A)(称为A的诱导矩阵),则K(A)是| | | |矩阵.2 广义酉矩阵的张量积与诱导矩阵定义[1]2.1 设A n n,若 可逆P n n,使A*P A=P,则称A为n阶P-广义酉矩阵.记为A U p={A C n n A*P A=P}.当P=I时,U I={A n n A*A=I}为n阶酉矩阵集.当P=J时,U J={A n n A*J A=J,即A(*)A=I}为n阶次酉矩阵集;当P(*)=P时,U p={A n n A*PA=P}为n阶拟酉矩阵集[3].引理2.1[6,7] 设A i R l i k i,i=1,2, ,n,则 n1A i=0 某个A i=0.引理2.2[6,7] 设A i,B i R l i k i,i=1,2, ,n.则 n1A i= n1B i 0 A i= i B i 0, i=1, ,n,且 n i=1 i=1.引理2.3[5] (1)K(A)*=K(A*);(2)K(A)K(B)=K(A B);(3)K(A)=K(B) B= A且 m=1.定理2.1 (1)若A i U Pi (i=1, ,r),则 r1A i U r1Pi;(2)若A U P,则K(A) U K(P).证 (1)注意到公式( r1A i)*= r1A i*与公式(A1 B1)(A2 B2) (A r B r)=(A1A2 A r) (B1B2 B r). 对于每个i,由A i U Pi(i=1, ,r),知A*P i A i=P i(i=1, ,r).于是r1A i* r1P i r1A i= r1A i*P i A i= r1P i.从而 r1A i U r1Pi .584数 学 杂 志 V ol.27(2)由A U P ,有A *P A =P.再由引理2.3又有K (A )*K (P )K (A)=K (A *)K (P )K (A )=K (A *PA )=K (P).故K (A) U K(P).反之不一定正确,但有定理2.2(1)设 r 1A i U r 1P i 则Ai *P i A i = i P i (i =1, ,r )且ni=1i=1;(2)设K (A ) U K (P),则A *PA = P 且 m=1.证 (1)因为 r1P i 0,所以由引理2.1知每个P i 0.又由 r 1A i U r 1P i 知(A 1 A r )*(P 1 P r )(A 1 A r )=P 1 P r .从而(A *1P 1A 1) (A *r P r A r )=P 1 P r .于是根据引理2.2有A i *P i A i = i P i (i =1, ,r)且ri=1i=1.(2)由K (A ) U K (P),知K (A)*K (P)K (A )=K (P).而 K (A *)K (P )K (A)=K (A *P A),故K (A *PA )=K (P).再由引理2.3(3),得A *P A = P 且 m=1.3 广义(斜)Hermite 矩阵的张量积与诱导矩阵定义[1]3.1 设A n n ,若 可逆P n n 使A *P =P A (或A *P =-P A ),则称A 为n 阶P -广义H erm ite 矩阵(或广义斜H erm ite 矩阵).记为A H p ={An nA *P =PA }(或A H p ={An nA *P =-PA }).当P =I 时,H I ={A n nA *=A}为n 阶H er mite 矩阵集;H I ={An nA *=-A}为n 阶斜H erm ite 矩阵集.当P =J 时,H J ={A n nA *J A =J A ,即A(*)=A}为n 阶次H erm ite 矩阵集;H J ={An nA *J =-J A ,即A (*)=-A }为n 阶反次H ermite 矩阵集.定理3.1(1)若A i H P i (i =1, ,r),则 r 1A i H P 1 P r ;(2)若A i H P i (i =1, ,r),则当r 为偶数时, r 1A i H P 1 P r ;当r 为奇数时, r1A i H P 1 P r .证 (1)因为A i H P i (i =1, ,r ),所以A *i P i =P i A i (i =1, ,r).从而( r 1A i )*( r 1P i )=( r 1A i *) r 1P i = r 1A i *P i = r 1P i A i =( r 1P i )( r 1A i ).故 r 1A i H P 1 P r .(2)因为A i H P i ,i =1, ,r ,所以A *i P i =-从而( r 1A i )*( r 1P i )=( r 1A i *)( r 1P i )=P i A i .=(-1)r( r 1P i )( r 1A i )i ),当r 为偶数,1A i ).当r 为奇数.585No.5 侯谦民等 广义酉矩阵与广义H erm ite 矩阵的张量积与诱导矩阵故当r为偶数时, r1A i H P1 Pr;当r为奇数时, r1A i H P1Pr.同定理2.1一样,反之不一定正确,但有定理3.2(1)设0 r1A i H P1 P r,则A*i P i= i P i A i(i=1, ,r),且ni=1i=1;(2)设0 r1A i H P1 Pr,则当r为奇数时,有A*i P i=- i P i A i(i=1, ,r)且 ni=1i=1.证 (1)因为0 r1A i,所以每个A i 0且每个P i可逆.由(A1 A r)*(P1 P r)=(P1 P r)(A1 A r)得(A1*P1) (A*r P r)=(P1A1) (P r A r).显然(P1A1) (P r A r) 0.若不然,由引理2.1知存在i使P i A i=0.而P i可逆,故A i=0这与 r1A i 0相矛盾.于是根据引理2.2有A*i P i= i P i A i(i=1, ,r)且 n i=1 i=1.(2)因为0 r1A i,所以每个A i 0且每个P i可逆.由(A1 A r)*(P1 P r)=-(P1 P r)(A1 A r).及r为奇数,得(A1*P1) (A*r P r)=-(P1A1) (P r A r)=(-P1A1) (-P r A r).显然(-P1A1) (-P r A r) 0.若不然,由引理2.1知存在i使-P i A i=0.而P i可逆,故A i=0这与 r1A i 0相矛盾.于是根据引理2.2有A*i P i=- i P i A i(i=1, ,r)且 n i=1 i=1.定理3.3(1)若A U P,则K(A) U K(P);(2)若A H P, (e)=1,G为S m的子群,则当m为偶数时,K(A) H K(P),当m为奇数时,K(A) H K(P).证 (1)由A H P,有A*P=PA.再由引理2.3又有K(A)*K(P)=K(A*)K(P)=K(A*P)=K(PA)=K(P)K(A).故K(A) H K(P).(2)对于A n n,集合 不空且元素按字典次序排列,由A关于G与 的诱导矩阵K(A) | | | |的定义知[7,8],K(A)中位于( , )的元素( , )为K(A) , =1G GG( ) m t=1a (t), (t).于是,K(-A)中位于( , )的元素( , )为K(-A) , =1G GG( ) mt=1(-a (t), (t))=(-1)m K(A) , .从而K(-A)=(-1)m K(A).由条件A H P知,A*P=-P A.586数 学 杂 志 V ol.27因此 K (A )*K (P)=K (A *)K (P )=K (A *P )=K (-P A)=(-1)m K (PA )=(-1)mK (P)K (A)=(-1)mK (P)K (A )=K (P )K (A ),当m 为偶数,-K (P)K (A).当m 为奇数.故当m 为偶数时,K (A ) H K (P),当m 为奇数时,K (A ) H K (P).参考文献:[1] 袁晖坪.广义酉矩阵与广义H ermite 矩阵[J],数学杂志,2003,23(3):373 380.[2] 袁晖坪.关于次酉矩阵与次镜象矩阵[J],数学杂志,2002,22(3):314 318.[3] 袁晖坪.拟酉矩阵与拟H ermite 矩阵[J],数学理论与应用,2001,21(2):21 25.[4] 王伯英.多重线性代数[M ],北京:北京师范大学出版社,1985.[5] L i C.K.,Zaharia A..Induced o per ator s on symmetr y classes o f tentor s[J],T rans.mer.M ath.So c.,2002,354:807 836.[6] M ar cus M..Finite Dimensional M ultilinea r A lg ebr a[M ],P art I ,N ek yor k:M ar cel Dekker ,1973.[7] M ar cus M..Finite Dimensional M ultilinea r A lg ebr a[M ],P art I I,N ek yor k:M ar cel Dekker ,1973.THE TENSOR PRODUCTS AND THE INDUCED MATRIX ABOUT GENERAILZED UNITARY MATRICES ANDGENERAILZED HERMITE MATRICESH OU Qian2min 1,LIU Xiu2sheng2(1.Dep t.of F undamental Cour ses ,H ubei Univ ersity of E conomics andManagement,Wuhan 430074,China)(2.S chool of Math.and Phy sics,H uangshi I nstitute ofT echnology ,H uangshi 435003,China)Abstract:In this paper ,we st udy the tenso r product and induced matrix of the finite generalized unitar y matrix es and g enera lized (oblique)H ermite matr ices.By means of t he pr operties o f matr ix tenso r pr oduct and induced mat rices,w e o btain that their tensor pro duct and induced matr ix are the g ener alized unitar y matrices and g ener alized (oblique)H ermite matrices.Keywords:generalized unitary matrix ;generalized (o blique)H ermit e matrix ;tenso r pr oduct;inducedmat rix2000M R Subject C lassification:15A15;15A45587No.5 侯谦民等 广义酉矩阵与广义H erm ite 矩阵的张量积与诱导矩阵。
k-广义酉矩阵与k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵
k-广义酉矩阵与k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵郑建青【摘要】利用矩阵的张量积和诱导矩阵的性质,得到了有限个k-广义酉矩阵的张量积和诱导矩阵为k-广义酉矩阵,有限个k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵为k-广义Hermite矩阵.并把2007年候谦民等结果中广义酉矩阵推广到k-广义酉矩阵,广义Hermite矩阵推广到k-广义Hermite矩阵.【期刊名称】《宁波大学学报（理工版）》【年(卷),期】2010(023)001【总页数】3页(P56-58)【关键词】k-广义Hermite矩阵;k-广义酉矩阵;张量积;诱导矩阵【作者】郑建青【作者单位】宁波大学理学院,浙江,宁波,315211【正文语种】中文【中图分类】O152.2酉矩阵和Hermite矩阵的研究已取得了丰硕成果, 在线性系统、现代经济学、控制理论等学科都有很好的应用. 随着研究的深入和应用的需要, 人们对其已有多种推广. 文献[1]对拟酉矩阵, 拟Hermit矩阵作了研究; 文献[2]对广义酉矩阵, 广义Hermit矩阵作了研究; 文献[3]研究了有限个广义酉矩阵与有限个广义(斜)Hermite 矩阵的张量积和诱导矩阵; 文献[4-5]提出了 k-广义酉矩阵, k-广义Hermite矩阵的概念, 并对其若干基本性质进行了研究. 笔者在文献[4-5]的基础上, 利用张量积和诱导矩阵的性质, 得到了有限个k-广义酉矩阵的张量积和诱导矩阵仍为 k-广义酉矩阵, 有限个 k-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵仍为 k-广义Hermite矩阵, 推广了文献[3]相应的结果．为讨论方便, 采用以下记号: 设为一个矩阵, 记共轭转置矩阵为A∗, 共轭次转置矩阵为n阶单位矩阵为个矩阵的张量积为A⊗B, m×n复矩阵集为Cm×n, n阶复可逆矩阵集为设记所有 iA的张量积为设Γm,n是不超过n的m个正整数组成的序列集合, 即χ →C(复数域)是次数为1的复特征标, 在Γm,n中, 定义一个关于G的等价关系: 当且仅当存在1,2,…,m},Sm 为 m 阶置换群, G是Sm的子群.:G置换σ∈G, 使时,α等价于β, 记作α～.β由序列α所确定的G的等价类是集合并称它为Γm,n中α的 G-轨道,每个轨道中按字母排列的第 1名序列所组成的轨道代表集用Δ表示.对于是G的子群, 称为G对α的稳定子群. 引进一个序列集合它是Δ中使的一切α的集合.表示集合的元素个数, 其中是σ分解为不相交的循环置换乘积中因子的数目(包括长度为 1的循环置换).设χ(e)=1(e为恒等置换), 集合不空并按字典次序排列, 对于, A关于G和χ的诱导矩阵定义为:定义1[4] 设若存在及常数k,使则称A为n阶 k-P-广义酉矩阵,简称 k-广义酉矩阵, 记为}.kP 特别地, 当k=1时,为n阶广义酉矩阵集[2].定义2[5] 设若存在及常数k,使则称A为n阶 k-P-广义 Hermite矩阵, 简称 k-广义 Hermite矩阵, 记为特别地, 当 k=1时(k=−1),为n阶广义(斜)Hermite矩阵[2]. 当k=1(k=−1),且时,为n阶(反)拟Hermite矩阵集[1]．引理 1[6] 设则存在某个引理 2[6] 设则且引理 3[7] 设 (), ()K A K B分别为B∈的关于G和χ的诱导矩阵, 集合不空, 且元素按字典次序排列, 则有:(3)若 A 是可逆的, 则且定理1 (1)若则其中(2)若则证明 (1) 公式与对每个i, 由知于是从而(2) 由有由P可逆, 得由引理3可知:即故反之不一定正确.定理 2 (1)设则且(2)设k≠ 0, 则且证明 (1) 因为所以由引理 1知每个又由得:根据引理 2, 有且(2) 由知而故再由引理3得且定理3 如果则其中证明因为所以从而故反之不一定正确, 但有定理 4 设则有且证明因为iA≠ , 且对所以每个 0每个由条件得显然若不然,由引理 1存在 i, 使iA= ,而 iP可逆, 得 0这与矛盾, 于是根据引理 2, 有且定理5 若 G是m阶置换群的子群, 集合不空并按字典次序排列, 则A关于G与χ的诱导矩阵证明对于集合不空且元素按字典次序排列, A关于G与χ的诱导矩阵则由条件知由P可逆得由引理3得:即从而在定理1~5中, 取k=1得广义Hermite矩阵相应结果, k=−1得广义(斜)Hermite 矩阵相应结果[3].【相关文献】[1]袁晖坪. 拟酉矩阵与拟Hermite矩阵[J]. 数学理论与应用, 2001, 21(2):21-25.[2]袁晖坪. 广义酉矩阵与广义Hermite矩阵[J]. 数学杂志,2003, 23(3):375-378.[3]候谦民, 刘修生. 广义酉矩阵与广义Hermite矩阵的张量积与诱导矩阵[J]. 数学杂志, 2007,27(5):583-587.[4]袁晖坪. k-广义酉矩阵[J]. 东北师范大学学报: 自然科学版, 2007, 49(3):22-26.[5]郑建青. 关于k-广义Hermite矩阵[J]. 浙江师范大学学报: 自然科学版, 2009, 32(4):253-256.[6]王伯英. 多重线性代数[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1985.[7]王心介. 关于n×n复矩阵与其诱导矩阵之间的关系[J]. 华中理工大学学报, 1993, 21(3):183-187.。
hemite矩阵
hemite矩阵Hemite矩阵是一种特殊的矩阵，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将对Hemite矩阵的定义、性质以及应用进行介绍。
我们来定义Hemite矩阵。
Hemite矩阵是一个对称矩阵，它的元素满足以下递推关系：H(n+1, m) = 2nH(n, m) - 2mH(n-1, m)，其中n和m是非负整数，H(n, m)表示Hemite矩阵的第n行第m列的元素。
Hemite矩阵具有一些特殊的性质。
首先，Hemite矩阵是对称矩阵，即H(n, m) = H(m, n)。
其次，Hemite矩阵的对角元素均为非零整数，且随着n的增大，对角元素的绝对值也增大。
此外，Hemite矩阵的非对角元素满足一定的关系，即H(n, m) = 2H(n-1, m+1) - H(n-2, m)。
Hemite矩阵在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，Hemite矩阵可以用来解决一些特殊的微分方程。
例如，一维谐振子的时间演化可以通过Hemite矩阵的对角化来求解。
此外，Hemite矩阵还可以用来描述某些量子力学系统的能级结构。
在量子力学中，Hemite矩阵的本征值代表了系统的能级，而本征向量则对应着能级的波函数。
除了在数学和物理学中的应用，Hemite矩阵在工程和计算机科学领域也有着重要的作用。
例如，在信号处理中，Hemite矩阵可以用来对信号进行分析和处理。
Hemite矩阵在图像处理和模式识别中也有着广泛的应用。
通过对Hemite矩阵进行变换和处理，可以提取图像中的特征，并用于图像的分类和识别。
总结起来，Hemite矩阵是一种特殊的对称矩阵，它具有一些特殊的性质。
在数学和物理学中，Hemite矩阵被广泛应用于微分方程的求解和量子力学系统的能级结构描述。
此外，Hemite矩阵在工程和计算机科学领域也有着重要的应用，如信号处理、图像处理和模式识别等。
通过对Hemite矩阵的研究和应用，我们可以更好地理解和处理各种复杂的问题，推动科学技术的发展。
K-广义酉矩阵与K-广义Hermite矩阵的张量积和诱导矩阵
４． 们对 其 已有 多种 推 广 ． 文献 ［ 对拟 酉矩 阵 ， １ 】 拟 张 量积 为 Ｑ
Ｈ ｒ ｉ矩阵作了研究； ｅ ｔ ｍ 文献［】 ２对广义酉矩阵， 广义 酉矩阵与有限个广义（ Ｈ ｒ ｔ 斜） ｅ ｅ矩阵的张量积和 ｍｉ
循 环置 换） ． （
证明 （）公式 （ ｏ ＝ （ ） １ ｏ４） ｒＩ ４ ＝ ４与 ・
个 ｉ Ａ ∈ （＝１ ， ｒ，知 ，由 ｉ ｆ ， …，） ２
设 ｚｅ ＝ 为恒等置换） 集合 不空并按字 （ １ ） ，
典 次序 排列 ， 于 Ａ∈ ， 于 Ｇ和 的诱 导矩 对 Ｃ Ａ关 阵 Ｋ（ ） Ａ ∈Ｃ 定 义 为：
５ ７
道 代表 集用 表 示 ． 对 于 ∈ ＝ ∈Ｇｌ ｏ＝ － ）是 Ｇ 的 ａ
Ｋ Ａ ） （ ）；（ 若 Ａ是可 逆 的 ， Ｋ Ａ ） （ ＝ ３ ） 则 （ ＝
Ｋ（ ； ４ （ ） （ （ ； ５ （ ： § ） （） ： ） ） （） ） （ ）
作者简介： 郑建青 （ ５ ， 浙江宁波人， １６ 一） 女， ９ 讲师， 主要研究方向： 矩阵论． — ａ ：ｈｎｊ ｎ ｉ ＠ｎｕ ｄ ． Ｅ ｍ ｉ ｚｅｇ ａｑ ｇ ｂ ｕ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ｃ
第１ 期
郑建青 ： － Ｋ 广义酉矩 阵与 广义 Ｈ ｒ ｔ矩 阵的张 量积和诱导矩 阵 ｅ ｅ ｍｉ
个矩阵， 记共轭转置矩阵为 ， 共轭次转置矩
酉 矩阵和 Ｈｅ ｔ 矩 阵的研 究 已取 得 了丰硕 成 ｒ ｅ ｍｉ
阵为 Ａ ’ 阶单位矩阵为 ，２个矩阵的张量积 ，
， 复矩阵集为 Ｃ ， 阶复可逆矩 果， 在线性系统 、 现代经济学 、控制理论等学科都 为 ＡｏＢ ｍ×
hermite矩阵标准
hermite矩阵标准Hermite矩阵标准。
Hermite矩阵是一种特殊的矩阵，它在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
在本文中，我们将介绍Hermite矩阵的标准形式以及其在实际应用中的一些特性和优势。
Hermite矩阵是一种具有特定形式的方阵，它的主对角线以下的元素都为零。
换句话说，Hermite矩阵是一种上三角矩阵，但与普通的上三角矩阵不同的是，Hermite矩阵的对角线元素可以是复数，而不仅仅是实数。
这使得Hermite矩阵在描述某些特定系统的动态行为时具有独特的优势。
Hermite矩阵的标准形式可以表示为H = UΛU^H，其中U是一个酉矩阵（unitary matrix），Λ是一个对角矩阵，U^H表示U的共轭转置。
在这个表示中，Λ的对角线上的元素就是Hermite矩阵的特征值，而U的列向量则是Hermite矩阵的特征向量。
这种表示形式使得我们可以方便地对Hermite矩阵进行特征分解，从而得到其特征值和特征向量。
Hermite矩阵在信号处理、通信系统、量子力学等领域中有着广泛的应用。
在信号处理中，Hermite矩阵可以用来描述信号的频谱特性，从而帮助我们分析和处理信号。
在通信系统中，Hermite矩阵可以用来描述信道的传输特性，从而帮助我们设计更加高效可靠的通信系统。
在量子力学中，Hermite矩阵则可以用来描述量子系统的能量和动量等物理量的本征值和本征态。
除了在理论分析中的应用外，Hermite矩阵还可以在实际工程中发挥重要作用。
例如，在控制系统设计中，我们常常需要对系统的状态进行估计和预测，而Hermite矩阵的特征分解可以帮助我们分析系统的稳定性和动态响应。
在图像处理和模式识别中，Hermite矩阵可以用来提取图像的特征，从而帮助我们实现图像的分类和识别。
总之，Hermite矩阵作为一种特殊的矩阵，在数学和工程领域中具有重要的理论和应用价值。
通过对Hermite矩阵的标准形式和特性进行深入的研究和应用，我们可以更好地理解和利用Hermite矩阵在实际问题中的优势，从而推动相关领域的科学和技术进步。
酉矩阵和厄米矩阵关系
酉矩阵和厄米矩阵关系嘿，朋友！咱今天来聊聊酉矩阵和厄米矩阵这俩家伙的关系。
先来说说酉矩阵。
这酉矩阵啊，就像是一个公正无私的裁判员，始终保持着一种平衡和规范。
它的定义是，若一个复方阵乘以它的共轭转置等于单位阵，那它就是酉矩阵。
你想想，这是不是很神奇？就好像无论面对怎样复杂的情况，它都能坚守自己的原则，不偏不倚。
再看看厄米矩阵。
厄米矩阵就如同一个内心坦诚的挚友，它自己就等于自己的共轭转置。
这意味着啥？意味着它总是把最真实的一面展现出来，没有丝毫的隐藏和伪装。
那这俩到底有啥关系呢？你看啊，酉矩阵注重的是与自己的共轭转置相乘的结果，而厄米矩阵更关注自身的特性。
这就好比一个人在团队中的表现和他独处时的状态。
酉矩阵能保证在某种变换下，向量的长度和夹角都不变。
这不就像我们在动荡的世界中，总有那么一些坚定的力量，让一切保持稳定吗？而厄米矩阵呢，它的特征值都是实数。
这就好像是我们生活中的那些实实在在的收获，没有半点虚幻。
要是把酉矩阵和厄米矩阵放在一起比较，就像是比较两位个性迥异但又相互关联的朋友。
酉矩阵的那种规范性，让它在各种数学运算中都能发挥稳定的作用。
而厄米矩阵的真实特性，又为解决实际问题提供了可靠的依据。
比如说，在量子力学里，酉矩阵用来描述系统的演化，厄米矩阵则表示可观测的物理量。
这就好像酉矩阵是时间的列车，带着系统不断前进；厄米矩阵则是车上的仪表盘，告诉我们系统的状态和参数。
咱再打个比方，酉矩阵像是一座坚固的桥梁，连接着不同的数学领域；厄米矩阵就像桥上的路灯，照亮我们前行的路。
总之，酉矩阵和厄米矩阵虽然各有特点，但它们在数学的大舞台上都扮演着重要的角色，相互交织，共同推动着数学的发展。
它们的关系，既独特又紧密，就像生活中的许多看似不同却又相辅相成的事物一样，不是吗？。
hermitian矩阵定义
Hermitian矩阵是一种特殊的矩阵，它具有特殊的性质和特点。
下面我将从定义、性质和应用三个方面来解释Hermitian矩阵。
一、定义Hermitian矩阵是一种具有共轭对称特性的矩阵。
具体来说，如果一个矩阵满足对于其任一元素对(i, j)，都有A(i, j)=A(j, i)，那么这个矩阵就被称为Hermitian矩阵。
换句话说，Hermitian 矩阵的所有元素都具有共轭对称性，即实部和虚部是对称的。
二、性质1. 特征值：Hermitian矩阵的特征值是其所有主对角线元素（实部和虚部）的函数。
这意味着Hermitian矩阵的特征值可以提供有关矩阵的重要信息，如稳定性、稳定性条件等。
2. 共轭对称性：Hermitian矩阵的所有元素都具有共轭对称性，这意味着如果A(i, j)是Hermitian矩阵的一个元素，那么A*(j, i)也是。
这种共轭对称性使得Hermitian矩阵在处理一些特殊问题时具有优势。
3. 转置矩阵：Hermitian矩阵的转置等于原矩阵的共轭转置，即(AB)H=B^H A^H。
这个性质使得Hermitian矩阵在处理一些涉及线性代数的问题时非常有用。
三、应用1. 信号处理：在信号处理中，Hermitian矩阵被广泛应用于傅里叶变换和拉普拉斯变换等领域。
这些变换可以用于分析信号的频率成分和时域特性，从而有助于理解和处理信号。
2. 线性代数：Hermitian矩阵在处理线性代数问题时也非常有用。
例如，它们可以用于求解线性方程组、特征值问题等。
3. 物理学：在物理学中，Hermitian矩阵也经常被使用，特别是在量子力学和统计物理等领域。
这些领域需要处理大量数据和计算，而Hermitian矩阵可以提供有效的解决方案。
总之，Hermitian矩阵是一种特殊的矩阵，具有共轭对称性和一些特殊性质。
这些性质使得Hermitian矩阵在信号处理、线性代数和物理学等领域具有广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，Hermitian矩阵的应用范围还将不断扩大，为解决各种实际问题提供更多可能性。
正定Hermite矩阵的性质
正定Hermite矩阵的性质刘兴祥;黄美愿【摘要】Hermite矩阵在酉空间、酉变换及复二次型中都有很重要的地位. 一方面是对称矩阵的自然推广;另一方面它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位. 文中主要给出正定Hermite矩阵子式阵正定性的判定、正定Hermite矩阵行列式、迹的多个不等式以及有关Hadamard乘积的行列式的不等式, 同时也给出正定Hermite二次型的标准型.【期刊名称】《西南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(036)001【总页数】5页(P16-20)【关键词】正定Hermite矩阵;行列式;迹;子式阵;不等式;正定Hermite二次型【作者】刘兴祥;黄美愿【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安,716000【正文语种】中文【中图分类】O241.6Hermite矩阵是在研究酉空间时给出的, 与欧几里德空间中实对称矩阵一样, 因而也可以说实对称矩阵是它的特例. Hermite矩阵与正定矩阵是矩阵理论中比较重要的概念, 它们在数学、物理中有许多重要的应用. 以下对正定Hermite矩阵若干性质以及正定Hermite二次型的共轭相合标准型进行研究.在以下文中约定： A H 表示A的共轭转置、 A T 表示A的转置、表示A的共轭、det A表示A的行列式、trA表示A的迹、I表示单位矩阵、表示数域F上秩为r的m×n阶矩阵、C表示复数域.定义 1[1,2] 设A ∈ C n×n ,A = AH，则称A为n阶Hermite矩阵. 如果对任意X ∈ C n×1且X ≠ 0 , 都有X H AX> 0 , 则称A为n阶正定的Hermite矩阵.定义2[3] 设A为n阶Hermite矩阵, 记X =(x 1 , ,x n )T ∈Cn×1, 则称为n元Hermite二次型, 并称A为n元Hermite二次型 f ( x1 , ,x n )的矩阵, 同时称A的秩为n元Hermite二次型 f ( x1 , ,x n )的秩. 如果对任意0 ≠ X = (x1 , ,, 都有f( x1 ,,xn ) = X H AX>0, 则称 f为n阶正定Hermite二次型.定义 3[4] 设 A , B ∈ C n×n, 如果存在P ∈ 有 P H AP = B, 那么就称B共轭相合于A (也称A与B共轭相合).定义4 设正定的Hermite二次型 f ( X ) 与 f ( Y )的矩阵分别为A与B,且存在 P ∈ 有 PH AP = B , 则称线性变换X PY= 为共轭相合变换.引理 7[8] 设A、B ∈ C n×n 为正定的Hermite矩阵, 则存在酉矩阵P ∈ Cn×n , 使得 P H AP和 P H BP同为对角阵, 当且仅当AB = B A.引理8[9] (Minkowski不等式)若实数 x i,y i非负, 且0 < p< 1 ,则引理10[8] 若A、B ∈ C n×n 为正定Hermite矩阵, 且 tr ( A) > 0 , t r( B) > 0 , 则3.1 正定Hermite二次型定理 1 正定Hermite二次型 f ( X ) = X H AX经线性变换X = C Y[C ∈ ], 仍化成正定Hermite二次型, 且其秩不变.证明由引理1知 f ( Y )仍为Hermite二次型且其秩不变. 又因为因为每个正定Hermite二次型完全被它的系数矩阵(正定Hermite矩阵)所确定, 所以研究正定Hermite二次型同研究正定Hermite矩阵是相当的.3.2 正定Hermite矩阵定理3 共轭相合的两个Hermite矩阵A与B有相同的正定性.证明由n阶Hermite矩阵A、B共轭相合可得, 存在P ∈ , 使得 B = P H AP 由引理3可得, A与B有相同的正定性.定理4 正定Hermite矩阵A的k阶子式阵 C k (A)仍为正定Hermite矩阵.证明由于A为Hermite矩阵, 即 A = AH. 故 (A) = (A H ) = [ C (A)]H, 再由定义 1知： C (A)为k k Hermite矩阵．又因为A为正定Hermite矩阵, 所以由引理2知：存在P ∈ ,使得 A = PH P. 从而因此, 结合引理4与引理2可得： C k (A)也为正定Hermite矩阵.定理5 设A、B ∈ C n×n为正定Hermite矩阵, 则证明因为A、B均为Hermite矩阵, 且t ∈ [ 0 ,1], 所以tA +(1−t)B仍为Hermite矩阵.从而, d et[ t A + ( 1 − t ) B ] ,detA, detB 均为实数, 故不等式有意义.令C= B −1A, 则由引理6可得：C有正特征值λ1 , λ 2, ,λn . 将不等式左边变形为：将行列式表示成特征值的乘积可进一步得到等价形式：.+(1 − t) ] ≥ ,t ∈[0 ,1]为此只须证明tλ + (1 − t) ≥ λ t,t ∈ [ 0 ,1].此不等式是成立的, 因为它可以写成而f ( t) = λt是凸函数, 当t=0或 t=1时取等号.推论1 设A、B为n阶正定Hermite矩阵, 则此不等式也就是我们中学阶段所学过的均值不等式.定理6 设A、B、C为n阶正定Hermite矩阵, 且满足AB = B A, A m + Bm =Cm m ∈ Z +, 则再由引理8可得：则由(1)的证明过程中可得：定理7 设 A i( i = 1 ,2,, k) 为n阶正定Hermite矩阵, λ i ∈ R + (i =1 ,2, ,n )为实数, 则利用引理10、引理11及数学归纳法可以证明.定理8 设∈ C n×n (i = 1 ,2,, k )为正定Hermite阵, = ( a )(i)(s, t =1 ,2, ,n ), 则st利用引理12及数学归纳法可以证明.总之, 从正定Hermite矩阵出发, 探讨了有关正定Hermite二次型的共轭相合标准型、正定Hermite矩阵行列式、迹的多个不等式, 以及与共轭相合有关的重要性质. 当然, 正定Hermite矩阵和正定Hermite二次型在实际生活中也有着广泛的理论应用, 例如在控制论、优化理论、微分方程等, 这又有待于进一步的探讨.【相关文献】[1] 方保 , 周继东, 李医民. 矩阵论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004: 62-117.[2] ROGER A. HORN AND R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Posts and Telecom Press, 2005:167-176.[3] 万志超, 李兆强. Hermite二次型的标准型[J]. 重庆科技学院学报: 自然科学版, 2009, 11(1): 129-136.[4] 张贤科, 许甫华. 高等代数[M]. 北京: 清华大学出版社, 1997: 221-292.[5] 蒋忠樟. 高等代数典型问题研究[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 109-172.[6] 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M]. 北京: 清华大学出版社, 2000: 45-207.[7] 任芳国, 冯孝周. 浅谈Hermite矩阵的学习[J]. 陕西师范大学继续教育学报(西安), 2004, 21(3): 102-105.[8] 王桂松, 吴密霞, 贾忠贞. 矩阵不等式[M]. 北京: 科学出版社, 2006: 12-136.[9] 郑锡陆. 实正定和反对称矩阵若干不等式[J]. 杭州师范学院学报: 自然科学版, 2006, 5(1): 29-30.[10] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2006.。
Hermite阵的一些性质
Hermite 阵的一些性质记号:0A ≥指A 为半正定(Hermite)阵;0A >指A 为正定(Hermite)阵;TP 指P 的转置;11(/)A A 指11A 在A 中的Schur 补;1()B λ指B 的模最大的特征值.定理1. A 为n 阶Hermite 阵.则0A ≥(0A >) ⇔A 的所有特征值非负(为正);⇔∃(可逆)Hermite 阵B 使2A B =; ⇔A 的所有主子式非负(为正);⇔对任意(可逆)复阵P 使*0P AP ≥(0>);(⇔∃可逆阵复B ,使*A B B =).定理2. ,A B 为两个n 阶Hermite 阵,则∃酉阵U 使得**,U BU U AU 为对角阵,当且仅当BA AB =.(从公共特征向量考虑)定理3. ,A B 为两个n 阶Hermite 阵,且0B >.则∃可逆阵U 使得**,A U U B U U =Λ=,其中Λ为由1AB -特征值组成的对角阵.定理4. ,A B 为两个n 阶半正定Hermite 阵,则∃可逆阵U 使得**,U BU U AU 为对角阵.(考虑0()00tT I P A B P ⎛⎫+=⎪⎝⎭,11122122T M M P BP M M ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()T TP A B P P BP +≥ 及111111(,...,)t Q M Q diag λλ-=)定理5. ,A B 为两个n 阶半正定Hermite 阵,则det()det det A B A B +≥+. 等号成立⇔0,0A B ==或者det()0A B +=(考虑定理3)定理6.已知11122122A A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中11A 可逆. (1) A 为Hermite 阵,则0A > ⇔11110,(/)0A A A >>;(2) A 为Hermite 阵, 110A >,则110(/)0A A A ≥⇔≥.定理7.已知2222()0,()0ij ij A A B B ⨯⨯=≥=≥,分块相同.若11110,0A B >>.则11111111(()/())(/)(/)A B A B A A B B ++≥+.(考虑: ()1111211111111112121111121111111111()()()()A A A B A B A B B A B B A B ------⎛⎫-+-+⎛⎫⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()()()1121121211111111111111111112I A A B A A B A I A B B A B ----⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭及()111111111111111111()A A B A A A B ----+=-+)由上可得:定理8.已知2222()0,()0ij ij A A B B ⨯⨯=≥=≥,分块相同.若11110,0A B >>.则11111111det()/det()det /det det /det A B A B A A B B ++≥+定理9(Fischer 不等式;Hadamard 不等式推广): ()0,ij k k ii A A A ⨯=≥皆为方阵.则det det iikA A≤∏.(由定理5及6)定理10(樊畿不等式): 已知0,0,[0,1]A B α>>∈,则lndet((1))lndet (1)lndet A B A B αααα+-≥+-.(由定理3)定理11:两个m n ⨯阶复阵,A B .*trA B 为酉空间上内积.由CS 不等式有: 2***trA B trA A trB B ≤. 定理12: 0,0A B ≥≥,则10()()()()()tr AB B tr A tr A tr B λ≤≤≤. (考虑1/21/21()A A B AB λ≥)(注意0,0A B ≥≥得不到0AB ≥)定理13: 0,0A B ≥≥,则1(())(1())()n tr I AB A AB tr A λ+≤+.(考虑1/21/2()()tr ABA tr A BA A =)定理14: 0A ≥,则21121122()()()tr A A tr A tr A ≤.(扰动法及定理12)定理15(Minkowski 不等式): ,A B 为两个n 阶正定Hermite 阵,则1/1/1/[det()](det )(det )nn n A B A B +≥+.两个表格：实、复方阵的类比：。
复方阵的Hermite阵与酉阵和分解的存在性与唯一性
复方阵的Hermite阵与酉阵和分解的存在性与唯一性
梁景伟
【期刊名称】《中国石油大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(024)006
【摘要】证明了n阶复方阵的Hermite阵与酉阵和分解定理,即对任一
D∈Cn×n,T=1/2(D+D*0,W=1/2(D-D*),存在唯一分解D=H+U的充分必要条件为W的最大奇异值σ1(W)≤1,其中*表示共轭转置运算,H是Hermite阵,U是特征值的实部不小于零的酉阵,且H=T-I-A,U=W+I+A,A=λ1W2+λ2W4+...+λsW2s.此处λ1,λ2,…,λs是实常数,s是W的不同的非零奇异值的个数,I为n阶单位矩阵.【总页数】4页(P98-101)
【作者】梁景伟
【作者单位】石油大学基础科学系,北京昌平,102200
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.Hermite矩阵酉相似于对角阵的快速求解法
2.拟次酉阵与拟次Hermite阵
3.关于方阵分解为一个对称阵与一个对合阵的乘积
4.方阵分解为两个Hermite阵乘积的充要条件
5.关于复Hermite阵与实对称阵的相似
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关于hermite矩阵或斜hermite矩阵乘积迹的不等式
关于hermite矩阵或斜hermite矩阵乘积迹的不等式斜Hermite矩阵是一类数学中的矩阵，它的元素满足斜Hermite 特性。
它可以用来研究各种类型的不等式。
本文将以斜 Hermite矩阵乘积迹的不等式为中心，进行深入探讨。
二、斜Hermite矩阵斜Hermite矩阵是一类有趣的矩阵，它可以用来描述一些微分方程、泛函方程、控制系统等问题。
斜Hermite矩阵具有以下性质： 1.Hermite矩阵的主特征是它的元素满足斜Hermite性质：对于K维斜Hermite矩阵A来说，A[i,j]=(-1)^(i+j)A[j,i],i,j=1,2,3,...K2.A是K维斜Hermite矩阵，则A的迹等于A的最后一行的乘积。
3.A是K维斜Hermite矩阵，则A的范数等于A的最后一列的乘积。
三、斜Hermite矩阵乘积迹的不等式现在，我们将讨论斜Hermite矩阵乘积迹的不等式。
对于K维斜Hermite矩阵A，其乘积迹的不等式可以定义为：P(A)=A[1,1]A[2,2]...A[K,K]≤（A[1,K]A[2,K-1]...A[K,1]）^(2/K)式中，左边的称为乘积迹，右边的称为立方乘积迹。
乘积迹的不等式可以进一步变换，并可以被具体化为下面4种不等式：1. K=2的斜Hermite矩阵的乘积迹不等式：A[1,1]A[2,2]≤A[1,2]^22. K=3的斜Hermite矩阵的乘积迹不等式：A[1,1]A[2,2]A[3,3]≤A[1,3]A[2,3]A[3,1]3. K=4的斜Hermite矩阵的乘积迹不等式：A[1,1]A[2,2]A[3,3]A[4,4]≤A[1,4]A[2,4]A[3,4]A[4,1]4. K=5的斜Hermite矩阵的乘积迹不等式：A[1,1]A[2,2]A[3,3]A[4,4]A[5,5]≤A[1,5]A[2,5]A[3,5]A[4,5]A[5,1]四、其他不同维度斜Hermite矩阵的不等式尽管本文仅然讨论了K=2,3,4,5的斜Hermite矩阵的乘积迹的不等式，但是它可以推广到其他任意维度的斜Hermite矩阵。
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酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙201131402摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。
在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite 矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。
本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。
本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite 矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。
关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。
The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 201131402AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonalmatrix; Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1 满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:H U 表示矩阵U 的共轭转置，即H U =-U '.定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成n C 的标准正交基.引理1.1.1[3] 酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4] 对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5] 对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6] 对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6] n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E = 定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.证明 因为HH U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E （）（）（）（）所以-1U 是酉矩阵.定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E （）（）（），所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵，则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()H U U U U1212H H U U U U = 22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证，21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵，则k U （k 为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ，2U 是酉矩阵，则12U U ，21U U ；21'U U ，12'U U ；112U U -，112U U -；1121U U U -，1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ，2U 是酉矩阵，则*12U U ，*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，则k 12U U ，k 21U U ，k m 12U U （k , m 为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U （）证明 因为12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E （）（）（）12211122H H =E +U U +E +U U +E （）（）E =因此，当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时, 1212HU +U U +U =E （）（），记12U +U 也是酉矩阵，从而-112U +U （）1212HH H =U +U =U +U （）-1-112=U +U注: 定理2.4表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det 1U =，其中det U 表示U 的行列式.证明 由E H U U =得)(1U U det detE H ==detU detU H= gdetU U det = gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵，则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦也是酉矩阵.证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵. 因为H11111111U U U U -U U -U U ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵. 定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =（，，，，，）其中,1i j nu u u u ，，，，，是U 的两两正交单位向量. 显然,1i j n u u u u λ，，，，， (1λ=)以及,1i j nu u u u ，，，，，也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=（1-）而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是H U 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与H U =U '的特征值全部相同,因此λ是H U 的特征值, 所以1λ是H -1U =U （）的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0H ξη=, 即ξ与η正交.定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UU U U H H==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理2.1设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ，的模为1.引理1.2.2 [9] 设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos kk k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+, cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==，是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理1.2.2知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U 有复特征值111cos +isin λθθ=则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12ka ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化.1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13 设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又H U U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14 设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q=E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''从而P P+Q Q=E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同. 下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式.用n U 表示全体n 阶酉阵; n n C ⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121*(1-2-1)由条件**=AA A A 得AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得C 01<ij i j n=≤≤，从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U ,使得()H ij U AU =T =t其中,0ij j ij t t i >j λ==，,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ，定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221211211111k H k H k H k k HHHk H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于1111,1H H 1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T ,为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫⎪⎝⎭显然, U 为由阵 且11210*10001HH 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 12*0H212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵.(2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵.通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A 是正规矩阵时，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ；(3) chur 正交单位化的方法，求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ； (4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12Hn U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵，则A 能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ则H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成，所以通过A 的相似对角矩阵求n A .第二章 Hermite 矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义： 1．定义 矩阵A=[ija ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵，是指A=A*，其中A*=TA =[jia ]。