平面向量的坐标及其运算
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
26平面向量基本定理及坐标运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个 不平行的向量， 那 么该平面内的任一向量 a， 存在唯一 的一对实数 a1， a2，使 a＝ a1e1＋a2e2 . 其中， 不共线的向量 e1， 2 叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组 基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2 叫做向 量 a 关于基底{e1，e2}的分解式． (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做 把向量正交分解．
→ → → → → → → → → (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， (3)设 → → → → → ＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． → ＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM＝3c＋OC＝(3, 24)＋(－3，－4)＝(0, 20)． ∴OM ∴OM ＝3c＋OC → → → → → → → → → ＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， ∴M(0, 20)．又∵CN ∴M(0, 20)．又∵CN ＝ON－OC＝－2b， → → → → → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， ∴ON＝－2b＋OC＝(12, 6)＋(－3，－4)＝(9, 2)， → → → ＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN＝(9，－18)． ∴N(9, 2)．∴MN ∴N(9, 2)．∴MN ＝(9，－18)．
6.2.3+平面向量的坐标及其运算(第1课时+平面向量的坐标运算)课件人教B版(2019)必修第二册
(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(
)
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( × )
(4)点的坐标与向量的坐标相同.( × )
(5)A,B 两点之间的距离就是| |.(
)
1 -2
1 -2
(6)若点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x0,y0)是线段 AB 的中点,则 x0= 2 ,y0= 2 .
=(4,3), =(1,5),则 =
.
解析: =2 =2( − )=2(-3,2)=(-6,4), =3 =3( + )=3(-2,7)
=(-6,21).
答案:(-6,21)
随堂练习
1. 如图,向量的坐标是(
)
A.(1,1)
B.(-1,-2)
C.(2,3)
+
+
∴x0=
,y0=
,
2
2
1+
-2+
即 1= 2 ,-1= 2 ,
解得xC=4,yC=-3,∴点C(4,-3).
同理O'又是BD的中点,得xD=-6,yD=-1,
∴点D(-6,-1).
故B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1).
反思感悟
发现图形中的对称关系是求解此类问题的关键.
范?
提示:误将的坐标当成了点 P 的坐标.
正解:设 P(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).
又因为 = +λ =[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),
∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。
这个有序实数对称为向量的坐标表示。
例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。
二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。
对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。
和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。
2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。
对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。
3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。
差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。
4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。
三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。
解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何和物理学中都有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量的坐标表示与运算是研究平面向量的基础。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用两个有序实数表示，这两个实数分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
设向量a的坐标为(a₁, a₂)，则a可以表示为：a = a₁i + a₂j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a加b的结果可以表示为：a +b = (a₁ + b₁)i + (a₂ + b₂)j。
2. 向量的减法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a减b的结果可以表示为：a -b = (a₁ - b₁)i + (a₂ - b₂)j。
3. 向量的数量乘法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，实数k，则向量a乘以k的结果可以表示为：k*a = ka = (ka₁)i + (ka₂)j。
4. 向量的数量除法设向量a的坐标为(a₁, a₂)，实数k(k ≠ 0)，则向量a除以k的结果可以表示为：a/k = a*(1/k) = (a₁/k)i + (a₂/k)j。
5. 向量的数量积设向量a的坐标为(a₁, a₂)，向量b的坐标为(b₁, b₂)，则向量a与向量b的数量积结果可以表示为：a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
6. 向量的模长设向量a的坐标为(a₁, a₂)，则向量a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)。
三、示例分析为了更好地理解平面向量的坐标表示与运算，下面以实际问题为例进行分析。
问题：有两个平面向量a(-3, 4)和b(2, -1)，求这两个向量的和、差、数量积和模长。
解答：1. 向量的加法：a +b = (-3 + 2)i + (4 - 1)j = -i + 3j。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。
类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。
2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。
数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。
3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。
根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。
4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。
如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。
如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。
向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它可以用坐标表示，并且在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法和运算规则。
一、平面向量的坐标表示平面上的向量可以用有序数对表示，称为坐标表示。
假设平面上的点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)，则向量AB的坐标表示为(Bx – Ax, By – Ay)。
即：AB = (Bx – Ax, By – Ay)二、平面向量的加法平面向量的加法规则是将两个向量的对应分量相加。
设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则它们的和向量C的坐标为(Ax + Bx, Ay + By)。
即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)三、平面向量的减法平面向量的减法规则和加法类似，即将两个向量的对应分量相减。
设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则它们的差向量C的坐标为(Ax - Bx, Ay - By)。
即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)四、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量的每个分量都乘以一个实数。
设向量A的坐标为(Ax, Ay)，实数k，则数乘后的向量B的坐标为(kAx, kAy)。
即：kA = (kAx, kAy)五、平面向量的数量积平面向量的数量积是两个向量对应分量的乘积之和。
设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则它们的数量积为：A ·B = Ax * Bx + Ay * By数量积的结果是一个数，表示了向量A在向量B方向上的投影长度。
六、平面向量的向量积平面向量的向量积是两个向量对应分量的乘积之差。
设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则它们的向量积为：A ×B = Ax * By - Ay * Bx向量积的结果是一个向量，垂直于向量A和向量B所在平面。
2.3.3 平面向量的坐标运算(必修四 数学 优秀课件)
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4) + (2, 5) + (x, y) = (0, 0)
3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 = (5,1)
x 5 ∴ y 1
例：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别是(- 2，1)、(- 1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. y 解：设顶点 D 的坐标为（ 分析：由于 ABCD 为平 x, y) C B 行四边形，那么有 AB (1 (2),3 1) (1,2) D AB=DC A DC (3 x,4 y ) x O 有 AB DC得：（ 1，）（ 2 3-x, 4 y )
b x2 i y 2 j
则 a b ( x1 x2 , y1 y 2 )
( x1 i x2 i ) ( y1 j y2 j ) ( x1 x2 ) i ( y1 y 2 ) j
两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .
2.3.3 平面向量的坐标运算
在平面直角坐标中，向量如何用坐标 来表示？
a x i y j
a ( x, y )
1.已知a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) , 求a+b的坐标．
a x1 i y1 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j )
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______
高中数学课件平面向量的坐标及其运算
2.平面上向量的运算与坐标的关系 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则: (1)a+b=(x1+x2,y1+y2), (2)a-b=(x1-x2,y1-y2), (3)λa=(λx1,λy1).
(4)向量相等的充要条件:a=b⇔x1=x2且y1=y2. (5)模长公式:|a|= x12 y12 .
BC 1=A(C-8,4)- (-101 ,14)
2
2
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
类型三 向量共线的坐标表示
角度1 向量共线的判定
【典例】已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量 A B 共线
的单位向量是 ( )
A.(3，4) C.(6，8)
B.(3，4) 55
D.( 4， 3) 55
【思维·引】1.利用向量坐标的定义解决. 2.画出图形,用解三角形的方法求点的坐标,进而求向量 的坐标.
【解析】1.选D.由向量坐标的定义可知,向量a的坐标 为(4,-3). 2.设点A(x,y),则x=| O |Acos 150°=6cos 150°= -3 3 ,y=| O|sAin 150°=6sin 150°=3,即A(-3 , 3 3),所以 O =A (-3 ,33 ). 答案:(-3 ,33)
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. ( ) (4)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向. ( )
【提示】(1)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标 都一样. (2)√.根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始 点坐标之差等于终点坐标. (3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量 的顺序有关.
22
22
【加练·固】 如图,已知边长为1的正方形ABCD中,顶点A在坐标原 点,AB与x轴正半轴成30°角.求点B及点D的坐标及 AB与AD的坐标.
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
对于二维平面上的向量，一般采用坐标形式表示。
平面向量的坐标表示通常用(a, b)来表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的加法和减法运算1. 平面向量的加法运算将两个向量合成为一个新的向量，其坐标表示分别对应相加。
例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的和为向量C(a1+a2,b1+b2)。
2. 平面向量的减法运算将一个向量减去另一个向量，其坐标表示分别对应相减。
例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的差为向量C(a1-a2, b1-b2)。
三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算指的是向量与一个实数的乘法运算。
将向量的每个分量与实数相乘即可。
例如，设有向量A(a, b)和实数k，那么k乘以向量A就是向量B(ka, kb)。
四、平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算又称为点积运算，结果是一个实数。
设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的数量积可以表示为A·B = a1·a2 +b1·b2。
五、平面向量的向量积运算平面向量的向量积运算又称为叉积运算，结果是一个向量。
设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的向量积可以表示为A×B = a1b2 -a2b1。
六、平面向量的运算规律1. 加法的交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A+ (B + C)。
2. 数量积的交换律和结合律向量数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)。
3. 数量积与向量积的分配律向量数量积与向量积满足分配律，即A·(B + C) = A·B + A·C。
平面向量的坐标表示和运算
平面向量的坐标表示和运算平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述平面上的位移、力、速度等物理量。
在平面向量的研究中，坐标表示和运算是基本且常用的方法。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算，并说明其在解决问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是将向量在坐标系中用数值来表示。
通常，平面向量常用欧几里得空间的笛卡尔坐标系来表示，即二维平面上的直角坐标系。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则平面向量AB的坐标表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)例如，若A点的坐标为(3, 4)，B点的坐标为(7, 2)，则向量AB的坐标表示为：AB = (7 - 3, 2 - 4) = (4, -2)在直角坐标系中，向量的坐标表示可以帮助我们直观地理解向量的方向和大小，方便进行后续运算和问题解答。
二、平面向量的运算1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量按照坐标分量相对应相加的运算。
设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = (3 + 1, 2 + (-1)) = (4, 1)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量的运算。
设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = A - B = (x1 - x2, y1 - y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = (3 - 1, 2 - (-1)) = (2, 3)3. 数乘运算平面向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量。
它可以用坐标表示，并且可以进行一些基本的运算，比如加法和乘法。
本文将介绍平面向量的坐标表示与运算。
1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示其坐标，通常用大写字母表示向量。
假设有一个向量AB，其起点是A，终点是B。
向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x轴上的分量，Ay表示向量在y轴上的分量。
2. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的和向量EF的坐标可以通过分别将Ax与Cx相加得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相加得到新向量的y轴分量来表示。
EF的坐标表示为(EF_x, EF_y)，其中EF_x = Ax + Cx，EF_y = Ay + Cy。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，其坐标为(Ax, Ay)，实数k表示数乘因子。
那么该向量的数乘结果向量AC的坐标可以通过将Ax与k相乘得到新向量的x轴分量，将Ay与k相乘得到新向量的y轴分量来表示。
AC的坐标表示为(AC_x, AC_y)，其中AC_x = Ax * k，AC_y = Ay* k。
4. 平面向量的零向量零向量是指所有分量均为0的向量，通常用0表示。
对于任意向量AB，与其相加的零向量的坐标为(0, 0)。
即，任意向量与零向量相加，结果向量仍为原向量。
5. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的差向量GH的坐标可以通过分别将Ax与Cx相减得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相减得到新向量的y轴分量来表示。
GH的坐标表示为(GH_x, GH_y)，其中GH_x = Ax - Cx，GH_y =Ay - Cy。
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
平面向量的坐标表示及其运算
一. 情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演。
（1)若在某时刻，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形。
队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处。
你能确定此时队员C 的位置吗?GHG［说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处。
这个图形比较特殊,学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.(2）若在某时刻，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处,队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？二．学习新课 1。
向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j ，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左,OA 即为一个位置向量。
思考1：对于任一位置向量OA ，我们能用基本单位向量,i j 来表示它吗？如上图右,设如果点A 的坐标为(),x y ，它在小x 轴,y 轴上的投影分别为M,N ，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+)，OM与ON 能用基本单位向量,i j 来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OMxi ON y j ==），于是可得： OA OM ON xi y j =+=+由上面这个式子，我们可以看到:平面直角坐标系内的任一位置向量OA 都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j 的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解。
2。
向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左。
平面向量的坐标和运算
平面向量的坐标和运算平面向量是二维空间中的有向线段，由大小和方向组成，常用于描述平面上的物理量或几何关系。
本文将介绍平面向量的坐标表示法和常见的运算操作。
一、平面向量的坐标表示法平面向量通常使用坐标表示法来描述。
在直角坐标系中，平面上的向量可以由其起点和终点的坐标表示。
设向量A的起点坐标为（x₁，y₁），终点坐标为（x₂，y₂），则向量A可以表示为：A = （x₂ - x₁）i + （y₂ - y₁）j其中，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
二、平面向量的加法平面向量的加法操作是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设向量A的坐标为（x₁，y₁），向量B的坐标为（x₂，y₂），则两个向量的和C可以表示为：C = A + B = （x₁ + x₂）i + （y₁ + y₂）j三、平面向量的减法平面向量的减法操作是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设向量A的坐标为（x₁，y₁），向量B的坐标为（x₂，y₂），则两个向量的差D可以表示为：D = A - B = （x₁ - x₂）i + （y₁ - y₂）j四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设向量A的坐标为（x₁，y₁），实数k，则数量乘积E可以表示为：E = kA = k(x₁i + y₁j) = kx₁i + ky₁j五、平面向量的点乘平面向量的点乘操作是将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个实数。
设向量A的坐标为（x₁，y₁），向量B的坐标为（x₂，y₂），则两个向量的点乘F可以表示为：F = A · B = x₁x₂ + y₁y₂点乘的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘操作只适用于三维空间中的向量，本文不做详细介绍。
在实际问题中，平面向量的坐标和运算常用于几何问题的求解，如求两条线段的交点、判断线段是否相交等。
通过将几何问题转化为向量运算，可以简化计算过程，并得到更加准确的结果。
平面向量的坐标运算
2.平面向量的坐标运算：
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个 a b ( x x , y y ) 向量相应坐标的和与差： 1 2 1 2 （其中 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ） （2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) （3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标： 若 a ( x, y ) ，则 a ( x, y )；
1. 1.
2.已知 （x+y+1,2x-y）, b =（x-y,x+2y-2）， a =
若 2 a =3 b ，求x、y的值；
3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标；
4.已知四边形 ABCD 是平行四边形， O是坐标原点，试 证明： OA +OC = OB + OD 5.课本例题4、例题5
1. 在
一.
1.如图，用基底 i 、j 分别表示量 a 、、 、， d c b 并求它们的坐标； y 问题： B 5 B 的坐标 （1）若点 A 、 a b ( x , y ) ( x2 , y2 ),那么 分别为 、 1 1
A2
三. 典例分析
( x , y ) 的 AB 坐标是 吗 ? 2 2 （2）求出 a 的坐标后 您 还可以根据图形的什么 特征，分别求出 b 、 d c、 的坐标？
1.
1.
a 已知向量 a 、b (b 0) ，则 // b 的充要条件为 ，使 b= a ， 存在实数 如果 =（ x2 , y2）， a =（ x1 , y1 ），b x1 y2 x2 y1 0 则 a // b 的充要条件为：
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。
在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。
对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。
设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。
二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 平面向量的加法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。
即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 平面向量的减法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。
即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。
3. 平面向量的数量乘法设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。
三、平面向量运算的性质平面向量的运算满足如下性质：1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。
4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。
四、平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。
设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。
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x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x1 x2且y1 y2
平面向量的坐标运算
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标． 解：由图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3) 同理，
b 2i 3 j (2,3) c 2i 3 j (2,3) d 2i 3 j (2,3)
贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维 为主攻”的教学思想，采取“精讲、善导、激趣、引思” 的八字方针
四、教法、学法分析
2．教学手段
根据本节内容特点，为了更好地突出重点， 突破难点，增大课堂容量，提高课堂效率，利 用多媒体辅助手段。
五、教学过程设计
（一）导入新课 （二）讲授新课 （三）归纳小结 （四）布置作业
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算
1.已知a (x1, y1 )，b (x2 , y2 ) ，求a+b，a-b．
解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j
即
a + b (x1 x2 , y1 y2 )
同理可得 a - b (x1 x2 , y1 y2 )
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示
1．在平面内有点A和点B，向量怎样 AB 表示？
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
3．分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底？任一向量a ，用这组基底可表示为 有且只有一对实
数x、y，使得 a =xi + yj．
y a
（x，y）叫做向量a的坐标 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y）
AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
j
a=xi + yj
Oi
x
那么i =（1 ，0 ） j =（ 0 ，1 ） 0 =（ 0 ，0）
平面向量的坐标运算
概念理解
1．以原点O为起点作 OA a ，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
y
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a
A(x, y)
两者相同
a j
向量a 一 一 对 应 坐标（x ，y） O i
3 4
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
【例题示范、学会应用】
例4 已知a=(2,1), b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的 坐标。
（掌握求向量的加、减、实数与向量的积的坐标）
例5已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、 C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3， 4），求顶点D的坐标。
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差
平面向量的坐标运算
2．已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 )．求 AB
解：AB OB OA
A(x1, y1 )
y
(x1, y1 ) (x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1 )
O
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标．
二、教材分析
2．教学重点、难点、关键
因为向量的坐标运算是一种新的运算，且是用代数 方法解决几何问题的重要工具,因此确定教学重点是： 平面向量的坐标运算；因为向量的坐标表示是不同于 几何表示的一种新的表示，学生以数表示形不易理解 和接受，在处理起点不在坐标原点的向量坐标表示时 容易遇到障碍，因此确定教学难点是：平面向量坐标 表示的概念的建立；因为向量的坐标表示的概念是学 习向量坐标运算的基础，因此确定教学关键是：对平 面向量坐标表示的概念的正确理解。
8.3.1 平面向量的坐标及其运算
于
尧
平面向量的坐标运算
一、教学目标 二、教材分析 三、学生分析 四、教法、学法分析
五、教学过程设计
一、教学目标
1、知识目标：
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算。
2、能力目标：
体会类比思想、转化思想、数形结合思想；培养 学生分析、比较、抽象、概括的思维能力。培养学 生的形象思维能力和发现能力。
a (x,y)
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标．
平面向量的坐标运算
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，
a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
三、学生分析
• 平面向量的基本定理的学习为学生学习本节课 内容扫清了知识上的障碍，平面上点的坐标表 示的学习方法为学生学习本节课内容扫清了学 习方法上的障碍；学习本节内容过程中可能出 现的思维障碍是：平面向量的坐标表示和平面 向量的坐标运算的公式的推导。
四、教法、学法分析
1.教学方法
考虑到学生已学过平面上点的坐标表示、平面向 量的基本定理，以及教材内容的特点，为突破重点、 难点，在教学上，我着重以目标教学法为主，综合运 用过程教学及分层教学的方法（创设情境、激发思维 ---展示目标、引导探究---达到目标 、发展思维---变式 训练、强化目标 ---归纳小结、深化目标 ）。
3.情感目标：
激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立事物 在一定条件下互相转化的辨证唯物主义的观点。
二、教材分析
• １．教材的内容、地位和作用
教材的内容是平面向量的坐标表示，平面向量的 坐标运算，向量平行的坐标表示。共讲授二课时，本 节课为第一节课，主要讲授平面向量的坐标表示，平 面向量的坐标运算；本课时内容是教材新增内容，有 着广泛应用，通过学习使很多几何问题的证明可转化 为学生熟知的数量运算。它是继向量的几何表示之后 的又一种新的表示，继向量的几何运算之后的又一种 新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的 基础（向量平行的坐标表示，平面向量数量积的坐标 表示），起作承上启下的重要作用。