命题逻辑等值演算74490
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离散数学-命题逻辑等值演算
消解规则
总结词
消解规则允许我们通过消除两个等价的 命题来得出新的结论。
VS
详细描述
消解规则允许我们通过消除两个等价的命 题来得出新的结论。例如，如果我们有两 个等价的命题A和B，并且知道A能推出C， 同时B能推出D，那么我们可以通过消解规 则得出C ∧ D。
03
推理规则
假言推理
总结词
假言推理是一种基于前件和后件的推理方法，前件是推理的前提，后件是推出的结论。
详细描述
假言推理的逻辑形式是“如果P，则Q”，表示当P为真时，Q也为真。例如，“如果天 下雨，则地面会湿”，当天下雨时，可以推断出地面会湿。
应用场景
假言推理在日常生活和科学研究中广泛应用，如自然语言处理、人工智能、法律推理等 领域。
拒取式与析取三段论
总结词
拒取式是一种通过否定结论 来推导前提的推理方法，而 析取三段论则是通过前提的 析取来推导结论的推理方法
人工智能中的逻辑推理是离散数学中命题逻辑等值演算的另 一个重要应用。在自然语言处理、知识表示和推理、智能决 策等领域，逻辑推理都发挥着关键作用。
通过使用命题逻辑等值演算，人工智能系统可以更好地理解 和处理复杂的逻辑关系，提高推理的准确性和效率。例如， 在专家系统中，逻辑推理可以帮助我们构建知识库和推理机 ，实现智能化的决策支持。
05
习题与思考
命题逻辑的习题练习
练习题1
理解命题逻辑的基本概念，如命题、联结词、量词等，并能够准确 判断一个语句是否为命题。
练习题2
掌握命题逻辑中的推理规则，如析取三段论、合取三段论、假言推 理等，并能够运用这些规则进行简单的逻辑推理。
练习题3
利用真值表法判断复合命题的真假值，理解复合命题的逻辑关系。
离散数学-2.2-3命题逻辑等值演算.ppt
14
2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
15
简单析取式与简单合取式
文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, …
29
主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111
范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
17
范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的,
30
主析取范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项
31
实例
例3 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
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简单析取式与简单合取式
文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, …
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主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111
范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
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范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的,
30
主析取范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项
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实例
例3 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
离散数学-命题逻辑等值演算名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
(分配律) (矛盾律) (同一律) (德摩根律) (结合律) (排中律) (零律)
等值演算旳例子
解：⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r)
1→((q∧¬q)∧r)
(排中律)
1→(0∧r)
(矛盾律)
1→0
(零律)
0
(条件联结词旳定义)
由此可知，⑵为矛盾式。
⑶ (p→q)∧¬p
(¬p∨q)∧¬p
(蕴涵等值式)
范式存在定理
定理2.3
• 任一命题公式都存在着与之等值旳 析取范式
求•范任式旳一环命节题如公下式：都存在着与之等值旳合 ⑴取消范去式联结词“→”和“↔”
⑵ 利用双重否定律消去否定联结词“¬”或 利用德摩根律将否定联结词“¬”移到各命题 变元前(¬内移)。
⑶ 利用分配律，结合律将公式归约为合取 范式和析取范式。
极大项：简朴析取式中满足如上条件。
极小（大）项旳关键性质
• 定理：n个命题变元共有2n个极小项（极大项）。
p
q p∧q p∧¬q
¬p∧q
¬p∧¬q
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
• 每个极小（大）项只有一种成真（假）赋值，且 各极小项旳成真赋值互不相同。
• 极小项和它旳成真赋值构成了一一相应旳关系。
¬p
(吸收律)
由此可知，⑶是可满足式。
练习
1.用等值演算验证等值式 （1） (p∨q)→r (p→r)∧ (q→r) （2） （(p∨q)∧ ¬（p∧q））
2第二章 命题逻辑等值演算
ห้องสมุดไป่ตู้
方法3，等值演算法
(p q) r
( p ∨ q) r
(蕴涵等值式)
( p ∨ q) ∨ r
(蕴涵等值式)
(p ∧ q) ∨ r
(德摩根律)
p (q r)
p ∨(q ∨ r)
(蕴涵等值式)
p ∨q ∨ r
(结合律)
18
【例2.5】 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) (p q) ∧p q (2) (p (p ∨ q)) ∧r (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q)
( p∨q) (p∧ q ) ( p∨q)∨ (p∧ q )
❖若对多个变元进行代入, 则代入必须同时进行。 11
【定义】由已知的等值式推演出另外一些等值式的 过程为等值演算。
等值演算是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分， 但是在等值演算过程中，要不断的用到一条重要的 规则，即置换规则。
【定理 】(置换规则) (replacement) 设Φ(A)是含公 式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A) 中 某些的A后得到的命题公式，若AB，则Φ(A) Φ(B) 。
(p ∨q) ∨ r
(分配律)
(p ∧ q )∨ r
(德摩根律)
(p∨q) r
(蕴涵等值式)
16
例 证明 A∨(A∧B) A∨B 证明 A∨(A∧B)
(A∨A)∧(A∨B) 1∧(A∨B) A∨B
例 证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C)
证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
解： p q r p(qr) (p∧q)r (pq)r
000 1
1
0
001 1
1
1
方法3，等值演算法
(p q) r
( p ∨ q) r
(蕴涵等值式)
( p ∨ q) ∨ r
(蕴涵等值式)
(p ∧ q) ∨ r
(德摩根律)
p (q r)
p ∨(q ∨ r)
(蕴涵等值式)
p ∨q ∨ r
(结合律)
18
【例2.5】 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) (p q) ∧p q (2) (p (p ∨ q)) ∧r (3) p∧ (((p ∨ q) ∧p) q)
( p∨q) (p∧ q ) ( p∨q)∨ (p∧ q )
❖若对多个变元进行代入, 则代入必须同时进行。 11
【定义】由已知的等值式推演出另外一些等值式的 过程为等值演算。
等值演算是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分， 但是在等值演算过程中，要不断的用到一条重要的 规则，即置换规则。
【定理 】(置换规则) (replacement) 设Φ(A)是含公 式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A) 中 某些的A后得到的命题公式，若AB，则Φ(A) Φ(B) 。
(p ∨q) ∨ r
(分配律)
(p ∧ q )∨ r
(德摩根律)
(p∨q) r
(蕴涵等值式)
16
例 证明 A∨(A∧B) A∨B 证明 A∨(A∧B)
(A∨A)∧(A∨B) 1∧(A∨B) A∨B
例 证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
(A∧B)∨(A∧C)
证明 (A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C)
解： p q r p(qr) (p∧q)r (pq)r
000 1
1
0
001 1
1
1
第二章命题逻辑等值演算
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 （公式的规范化）
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 如：p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式 注:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
(p→r)∧(q→r) （ ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。 例2.4 证明：(p→q)→r p→(q→r)
证： 方法一：真值表法。 方法二：观察法。 易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的 成真赋值，所以原不等值式成立。 方法三：设A=(p→q)→r, B=p→(q→r) A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r 容易观察到， 000，010是A 的成假赋值， 而它们是B的 成真赋值。
A∨ 0 A ， A∧ 1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
12. 蕴涵等值式 13. 等价等值式 14. 假言易位
A∧┐A 0
A→ B ┐ A∨ B (A B) (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A A B ┐A ┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
Hale Waihona Puke (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨
02-命题逻辑的等值演算
第二章 命题逻辑的等值演算 6
证明：P→（Q→R） ⇔P∧Q→R
证明： P→（Q→R） ⇔P→(Q∨R)（化归） ⇔ P∨(Q∨R)（化归） ⇔(P∨Q)∨R（结合律） ⇔ (P∧Q)∨R（德.摩根律） ⇔P∧Q→R（化归）
第二章 命题逻辑的等值演算 7
例：在某次讨论会的中间休息时间，3名 与会者根据王教授的口音对他的籍贯进 行判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人； 乙说:王教授不是上海人，是苏州人； 丙说:王教授既不是上海人，也不是杭州 人； 听完三人判断，王教授说他们三人中 有一个人说的全对，一人说的对了一半， 另一人全不对,试判断王教授的籍贯。
第二章 命题逻辑的等值演算 11
进一步思考
王教授只可能是其中一个城市的人或者三个城市都 不是。 所以，丙至少说对了一半。 因此，可得甲或乙必有一人全错了。 又因为，若甲全错了，则有p∧┐q，因此乙全对。 同理，乙全错则甲全对。 所以丙必是一对一错。 根据上述推理，可对公式E进行简化，方便等值演 算。 (如何简化，请同学们课后思考)
第二章 命题逻辑的等值演算 13
总结:公式判定问题及判定方法
方法1: 真值表法; 方法2: 等值演算法. 方法3: 当命题变元的数目较多时, 可把 命题公式化成标准型(主析取范式和主 合取范式).使同一真值函数所对应的所 有命题公式具有相同的标准型
第二章 命题逻辑的等值演算 14
2.2析取范式与合取范式
(2)一个简单合取式是矛盾式,当且 仅当它同时含一个命题变元及其 否定.
第二章 命题逻辑的等值演算 16
析取范式 合取范式
(1)仅由有限个简单合取式构成的析取式称为
析取范式;
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
命题逻辑第一课-命题公式与等值演算省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
命题），整个句子是一种简朴命题.
9
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
定义 设 P,Q为任意两个命题，复合命题“P或Q” 称作P与Q 旳析取式，记作P∨Q。其中符合∨， 表达“相容或”，称作析取联结词。P∨Q为假当且 仅当p与q均为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一种苹果或一种梨. (5) 王晓红生于1995年或1996年.
是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB),
(AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成旳符号串才是
合式公式 阐明: 外层括号能够省去
19
合式公式旳层次
定义 (1) 若公式A是单个命题常/变元, 则称A为0层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
12
联结词与复合命题(续)
PQ 旳逻辑关系： P 为 Q 旳充分条件
，Q 为 P 旳必要条件
“若 P，则 Q ” 旳不同表述法诸多： 若 P，就 Q 只要 P，就 Q P 仅当 Q 只有 Q 才 P 除非 Q, 才 P 或 除非 Q, 不然非 P.
当 P 为假时，PQ 为真 常出现旳错误：不分充分与必要条件
13
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，不然天不冷. (7) 假如天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当日冷旳时候.
9
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨”
定义 设 P,Q为任意两个命题，复合命题“P或Q” 称作P与Q 旳析取式，记作P∨Q。其中符合∨， 表达“相容或”，称作析取联结词。P∨Q为假当且 仅当p与q均为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一种苹果或一种梨. (5) 王晓红生于1995年或1996年.
是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB),
(AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成旳符号串才是
合式公式 阐明: 外层括号能够省去
19
合式公式旳层次
定义 (1) 若公式A是单个命题常/变元, 则称A为0层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：
12
联结词与复合命题(续)
PQ 旳逻辑关系： P 为 Q 旳充分条件
，Q 为 P 旳必要条件
“若 P，则 Q ” 旳不同表述法诸多： 若 P，就 Q 只要 P，就 Q P 仅当 Q 只有 Q 才 P 除非 Q, 才 P 或 除非 Q, 不然非 P.
当 P 为假时，PQ 为真 常出现旳错误：不分充分与必要条件
13
例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服，
将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，不然天不冷. (7) 假如天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当日冷旳时候.
命题逻辑等值演算
8
应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
例2 证明 (p ∨ q)→r ⇔ (p → r) ∧ (q → r) → 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 证 (p → r) ∧ (q → r) 蕴涵等值式） ⇔(¬p ∨ r ) ∧ (¬ q ∨ r) ¬ ¬ （蕴涵等值式） 分配律） ⇔ (¬p ∧ ¬ q ) ∨ r ¬ （分配律） 德摩根律） ⇔ ¬ (p ∨ q) ∨ r （德摩根律） ⇔ (p ∨ q)→r → （蕴涵等值式） 蕴涵等值式）
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ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (续) 续
(2) (p→q)↔(¬q→¬ →¬p) → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ ∨¬p) （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ 交换律） ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) （交换律） ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 由最后一步可知，该式为重言式. 由最后一步可知，该式为重言式 最后一步为什么等值于1？ 问：最后一步为什么等值于 ？
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于是,由同一律可知: E ⇔ ( ¬p ∧ q ∧ ¬r ) ∧ (p ∧ ¬ q ∧ r ) 但因为王教授不能既是上海人,又是杭州人,因 而p, r必有一个假命题,即p ∧ ¬ q ∧ r ⇔ 0,于是 于是 E ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r 为真命题. 因而必有p, r为假命题, q为真命题, 即王教授 为上海人.甲说得全对,丙说对了一半,而乙全说 错了.
17
由王教授所说,可推出 E= (B1 ∧ C2 ∧ D3) ∨ (B1 ∧ C3 ∧ D2) ∨(B2 ∧ C1 ∧ D3) ∨(B2 ∧ C3 ∧ D1) ∨(B3 ∧ C1 ∧ D2) ∨(B3 ∧ C2 ∧ D1) 为真命题.而 B1 ∧ C2 ∧ D3 ⇔ 0 B1 ∧ C3 ∧ D2 ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r B2 ∧ C1 ∧ D3 ⇔ 0 B2 ∧ C3 ∧ D1 ⇔ 0 B3 ∧ C1 ∧ D2 ⇔ p ∧ ¬ q ∧ r B3 ∧ C2 ∧ D1 ⇔ 0
02命题逻辑等值演算
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
（零律）
例2.5 解答
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p∨p∨q)∧r (p∧┐p∧┐q)∧r 0∧r 0
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q) p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A旳成假赋值，而它们是B旳成真赋值。
例题
例题2.5 用等值演算判断下列公式旳类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 措施一、真值表法。
措施二、观察法。易知，010是(p→q)→r旳成假赋值，而010 是p→(q→r)旳成真赋值，所以原不等值式成立。
措施三、经过等值演算化成轻易观察真值旳情况，再进行判断。
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.互换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
命题逻辑等值演算
mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称。且有mi Mi ,
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
命题逻辑的等值和推理演算
13. P(QR) = (P∧Q)R
前提合并 P是(QR)的前提, Q是R的前提, 于是可 将两个前提的合取P∧Q作为总的前提。 即 如果P则如果Q则R, 等价于如果P与Q则R
14. PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)
从取真来描述双条件 这可解释为PQ为真, 有两种可能的情形, 即(P∧Q)为真或(P∧Q)为真。而P∧Q 为真, 必是在P = Q = T的情况下出现; P∧Q为真, 必是在P = Q = F的情况下 出现。从而可说, PQ为真, 是在P、Q同 时为真或同时为假时成立。这就是从取真来 描述这等式
如P表示张三是学生, Q表示李四是工人, 那么 (P∨Q)就表示并非“张三是学生或者李四是 工人”。这相当于说，“张三不是学生而且李 四也不是工人”，即可由P∧Q表示, 从而有 (P∨Q) = P∧Q
2.2.2 常用的等值公式
由于人们对、∨、∧更为熟悉，常将含有 和的公式化成仅含有、∨、∧的公式。 这也是证明和理解含有，的公式的一般 方法 公式11-18是等值演算中经常使用的, 也该 掌握它们, 特别是能直观地解释它们的成立
2.2.4 等值演算举例
例1: 证明(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R 证明: 左端= (P∧(Q∧R)) ∨((Q∨P)∧R) (分配律) = ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) (结合律) = ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) (摩根律) = ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R (分配律) = ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R (交换律) = T∧ R (置 换) =R (同一律)
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出 等式是成立的。
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看 出它们是等值的, 而且它们都是重言式。
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
命题逻辑的等值演算
1命题逻辑的等值演算这一讲讨论命题公式之间的等值关系，其中一些重要的等值关系将用于对命题公式进行等值运算和设计推理规则。
1. 等值式定义1.1 若命题公式A 和B 是恒等的布尔代数式，即在任何赋值下二者的值总相等，则称二者是等值的，记为A B A B ≡⇔或者称为等值式。
注意，等值式不是逻辑公式，而是逻辑学的公式。
显然，A ≡B 当且仅当A B ↔是永真公式。
等值关系的性质：（1） 自反性：对任何公式A ，都有 A A ≡。
（2） 对称性：若 A B ≡，则 B A ≡。
（3） 传递性：若 A B ≡且若 B C ≡，则 A C ≡。
例1.2 试证明下列等值式。
a a ⌝⌝≡证明：当a =1时，左式=101⌝⌝=⌝==右式。
当a =0时，左式=010⌝⌝=⌝==右式。
因此，左式恒等于右式。
依定义，该等值式成立。
例1.3试证明下列等值式。
()()() a b c a b a c ∧∨≡∧∨∧证明：当a =1时，左式=b c ∨，右式=b c ∨，两边相等。
当a =0时，左式=0，右式=0，两边相等。
因此，该等值式成立。
2上述两例中的证明方法可以称为代数分析法。
还有一种演算方法，可以将将左式等值地变形为右式。
这种保持公式真值的演算称为等值演算。
2. 等值演算规则：替换等值演算是将当前公式中的某个子公式替换为与之等值的公式。
替换在课本中称为置换，与抽象代数中的置换（permutation ）是不同的概念。
替换的定义如下。
定义3.1 设[] A Φ是一个命题公式，A 是出现在其中某处的一个子公式。
若用另外一个公式B 替换[] A Φ中的A ，则可得一个新公式，记为[] A Φ。
我们称这种公式变形为替换（replacement ）。
注意，这里A 是指[] A Φ中某一处出现的子公式，不是[] A Φ中所有与A 相同的子公式。
例如，将()()p q p r ⌝⌝→∨⌝⌝→中第二次出现的子公式p ⌝⌝替换为p ，得()()p q p r ⌝⌝→∨→定理3.2（替换原理）若 A B ≡，则[][] A B Φ≡Φ。