再议圆的滚动问题终稿

再议圆的滚动问题

近年来在初中数学教科书、辅导作业和竞赛中我们经常会遇到与圆的滚动有

关的冋题。如：

问题1在华师大版九年级（上）的方法指导丛书中有这样的一个问题：六个并列的大小相等的半圆，另有一个同样大小的圆从其左侧沿上边滚动至右侧，那么滚动圆转了几圈？

同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘无滑动滚动一周,

那么滚动的硬币转了__________ 圈。

问题3在2006年浙江省初三数学竞赛（初赛）中再次

出现：如图，多边形的周长为a,圆

的周长为c,证明圆绕多边形无滑动的滚动一圈回到出

发点时，圆转了（f +1）圈。

诸如此类的问题学生感到难以理解，教师不知如

何解释或者经过简单的动手操作，从而得出答案，倘若

选择和填空还好，像上面的第三题怎么办呢？以前也有

不少老师研究过，我认为都没有涉及到本质，所以笔者再将这个问题进行探究研究圆的滚动问题，必须搞清楚滚动和普通意义上的转动之间的区别与联系。

滚动其实是一种复合运动：一是滚动圆本身的自转（自转是指一个圆绕着自己的圆心转动）；另外还有滚动圆沿另一个几何图形的旋转（我们把这样的旋转称之为公转）。仔细的考虑会发现有两种思路可以分析：一是把圆的滚动问题分解为自转和公转。考虑圆在滚动的过程中所经过的路径，由于滚动圆始终是与被滚动图形的边相切，所以把握其路径也比较容易，因此解决圆的滚动问题就要把其分解为直线上的滚动和拐点处绕顶点的旋转。二是考虑某一个点的运动，由于在滚动过程中动圆除圆心外，其余各点相对于另一几何图形的运动轨迹是变化的，因此很难把握其规律，而圆心相对于另一几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的

滚动问题抓住滚动前后的动圆圆心轨迹

先给出一个事实

定理圆在直线上的滚动

时，滚动的圈数n = g （其中I 表 0

示AB 长，c 表示滚动圆的周长）

这个定理不难理解，而且在日常 ?

生活中也大有用处，如：用圆的滚动来测量长度

、从滚动分解的角度进行分析圆在几何图形外部滚动的情况:

1、证明在折线的外部滚动的时，利用预备定理的结论在线段

A 1A 2和A 2A 3上 滚动时，n = C （ I 表示A 1A 2和A 2A 3的线段长度之和）

另外圆在A 2处绕A 2顺时针旋转了

.BA 2C ，故圆从A 1运动到A 3时，

丨丄ZBA 2C

滚动圆共转动了 n =- 匚60厂。

易证.BA 2C • • AAA 3 =180。旋转 角度就等于折线角度的邻补角。

2、证明绕一个凸多边形的外部滚动回出发点

时，因为每一次旋转的角度之和恰好等于 360 o

利用1中的结论得：n = 7 ■ 1 o

综上所述：

定理1 一个周长为c 的圆绕周长I 的凸多边

形或圆形无滑动的滚动一圈回到出发点，滚动圆 转动了

n 七T 圈。 定理2 一个周长为c 的圆绕凸多边形或圆形滚动，滚动的路径长度之和用

I L m

表示，所旋转的角度之和用m 来表示，则滚动圆转动了 n c 360圈。，滚动的方向是顺时针方向,

As

、从滚动圆圆心运动轨迹的角度来分析圆在几何图形外部滚动的情况:

1、证明在折线的外部滚动的时，利用定理的结论在线段A1A2和A2A3上滚动

时，滚动圆滚动了

2、证明绕一个凸多边形的外部滚

动回出发点时，利用1中的结论得:

n =丄1

c

证明如右图，每段弧的长度之和等

于滚动圆的周长。故

显然下面的两个定理是成立的。

定理3 一个周长为c的圆绕周长I

的凸多边形或圆形外部无滑动的滚动一圈回到出发点，滚动圆转动了

n二吁沁1圈。

定理4 一个周长为c的圆绕凸多边形或圆形外部无滑动的滚动，滚动的路径长度之和用I表示，所旋转的角度之和用m来表示，则滚动圆转动了

I —r

180 L _jm_

n c c 360 圈。

显然两个结论具有一致性，只不过一个是考虑绕过的角度，一个是考虑滚动

圆的圆心经过的长度。

三、分析圆在几何图形的内部滚动的情况:

此种滚动问题所研究的圆要能在几何图形内部滚动的前提下进行

证明在折线的内部部滚动的时，利用预备定

A1 C A?

Bi

A3

Bs'

理的结论在线段A i C和DA3上滚动时，n二！（I'表示A i C和DA3的线段长度之和），滚动的方向是顺时针方向，但是圆在CD间跨过，而自身没有滚动，即圆在

厂、

.CB2D处没有滚动，切点所经过的路径匸故圆从A i运动到A3时，滚动圆共

H =

转动了

j 占炉—心亦£鸥亡_ r

c36O c一 f 360°一亡

。

由于此处的A i C和DA3的线段长度很难求，所以此种方法是可行不可去的。但由此发现I'恰好是滚动圆圆心经过的路径长。由此可得如下定理：

定理5圆在几何图形的内部滚动（如果可以滚动）时，则滚动圆转动了n = E 圈（I'表示滚动圆圆心经过的路径长）。

利用这里的结论我们来解决引言中的问题:

问题1:利用定理5,得出滚动圆圆心经过的路径是滚动圆周长的8倍，故滚动圆

3

转了8圈。

问题3：就是定理2的证明