矩阵三角分解法

L3 ( I 3,i3 L2 I 3,i3 )( I 3,i3 I 2,i2 L1 I 2,i2 I 3,i3 )
~ ~ ~ ( I 3,i3 I 2,i2 I1,i1 ) A L3 L2 L1 PA,
（3.2）
1
其中
~ L1 I 3,i3 I 2,i2 L1 I 2,i2 I 3,i3 , ~ L2 I 3,i3 L2 I 3,i3 , ~ L3 L3 ,
b1 b2 bk 1 . bk bn
4
在第 k步计算时 (k 1,2,,n), 对上述矩阵第 k 行的上、下 都进行消元.
1. 按列选主元素，即确定 ik 使
aik ,k max aik .
k in
2. 换行(当 ik k 时)交换 ( A b)第 k行与第 ik 行元素.
1 A 2 3 2 4 5 3 5 6
的逆矩阵. 解
1 C 2 3 2 4 5
3 5 6
1 0 0
0 1 0 5/ 3 2/3 1/ 3
0 3 0 2 r 1 r3 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0
5 4 2
6 5 3
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 第1次消元 0 0
1/ 3 2/3 1/ 3 c3
9
1 第2次消元 0 0 1 第3次消元 0 0
0 1 0
1/ 2 3/ 2 1/ 2
~ Lk (k 1,2,3) 为单位下三角阵，其元素的绝对值不超过1.
P I 3,i3 I 2,i2 I1,i1 .
记
~ ~ ~ L L3 L2 L1 ,
1
由(3.2)得到
PA LU .
其中 P为排列矩阵， L 为单位下三角阵， U为上三角阵.
2
这说明对(2.1)应用列主元素消去法相当于对 ( A b)先 进行一系列行交换后对 PAx Pb再应用高斯消去法. 而在实际计算中只能在计算过程中做行的交换. 定理8 (列主元素的三角分解定理) 如果 A为非奇异矩阵， 则存在排列矩阵 P使
bi bi mik bk
k 1,2,,n且i k .
5.
计算主行
akj akj mkk ( j k , k 1,, n),
bk bk mkk .
上述过程结束后有
( A b) ( A( k 1)
1 b ( k 1) )
1 1
ˆ b 1 ˆ b 2 . ˆ b n
利用(3.1)得到
Ln1I n1,in1 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A A( n ) U .
若记 则有
~ P Ln1 I n1,in1 L2 I 2,i2 L1 I1,i1 .
~ P A U ,
~ Pb b ( n ) ,
~. 考虑 n 4 时的 P
U A( 4) L3 I 3,i3 L2 I 2,i2 L1 I1,i1 A
3. 计算乘数
mik aik / akk mkk 1/ akk . (k 1,2,,n且i k ),
( mik可保存在存放 aik 的单元中).
5
4.
消元计算
aij aij mik akj k 1,2,, n且i k , j k 1,, n
PA LU ,
其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵. 编程时， L 元素存放在数组 A的下三角部分， U元素 存放在 A上三角部分，由记录主行的整型数组 Ip(n) 可知
P 的情况.
3
Βιβλιοθήκη Baidu
5.3.2
高斯-若当消去法
高斯消去法中，若同时消去对角线下方和上方的元素， 这种方法称为高斯-若当(Gauss-Jordan)消去法. 设用高斯-若当消去法已完成 k 1步， Ax b 化为等价
) 方程组 A( k ) x b ( k，其中
( A( k )
1 (k ) b )
0 1

0 0 1
a1k a2 k ak 1,k ak ,k an ,k

a1n a2 n ak 1,n ak ,n an ,n
m3 (m13 , m23 , m33 )T c1.
10
为了节省内存单元，可不必存放单位矩阵， c3存放在
A 的第1列， c2 存放在 A 的第二列位置， c1 存放在 A的
第3列. 经消元计算，最后再调整一下列就可在 A 的位置得到
A1 . 注意第 k 步消元时，由 A 的第 k 列
ak (a1k , , akk , , ank )T
6
用高斯-若当方法将 A约化为单位矩阵，计算解就在 常数项位置得到，用不着回代求解，计算量大约需要 n 3 / 2 次乘除法，比高斯消去法大，但用高斯-若当方法求矩阵 的逆矩阵还是比较合适的.
定理9(高斯-若当法求逆矩阵) 设 A为非奇异矩阵，
方程组 AX I n的增广矩阵为 C ( A I n ) . 如果对 C应 用高斯-若当方法化为 ( I n T ) ， 则 A1 T . 事实上，求 A的逆矩阵 A1 ，即求 n阶矩阵 X，使
0 0 1
5/ 2 3/ 2 1/ 2 c2 3 3 1
2 1 0
0 1 0
0 0 1
1 3 2
2 1 ( I n A1 ). 0
c1
且
m1 (m11 , m21 , m31 )T c3 , m2 (m12 , m22 , m32 )T c2 ,
AX I n 其中 I n 为单位矩阵.
7
将 X按列分块
X x1 x2 xn , I e1 e2 en ,
于是求解 AX I n 等价于求解 n个方程组
Ax j e j , ( j 1,2, , n).
可用高斯-若当方法求解 AX I n .
8
例4 用高斯-若当方法求