格点图中的锐角三角函数

格点图中的锐角三角函数

正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。下面择其中的中考题作个例析。

例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC

中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．

例1例2

例2.（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．

练习：

1.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．

第1题第2题

2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．

3.仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．

解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠FAE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：

连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，根据勾股定理可得：

AE＝，AF＝2，EF＝3，

∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，

∴tan∠FAE＝＝3，即tan∠BOD＝3．

任务：

（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；

（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．

4.如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶

点上，AB、CD相交于点P，

（1）sin∠BAC＝，PC＝．

（2）求tan∠DPA的值．

参考答案：

例1.【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。

【专题】网格型。

【分析】如图过A 作AM ⊥BC 于M ，由于在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的边长可以利用勾股定理求出，求出高AM 和AE ，然后利用三角函数的定义即可求解．

【解答】解：过A 作AM ⊥BC 于M ，依题意得：AB ＝＝，

AC ＝＝2，BC ＝＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，

∴△ABC 是直角三角形，∴S △ABC ＝AB ×AC ＝BC ×AM ，

∴×2＝5AM ，∴AM ＝2，∴sin ∠AEB ＝AM AE

。

又∵E 为BC 的中点，∴AE ＝CE ＝BE ＝，∴sin ∠AEB ＝＝＝，故选：D ．【点评】此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形求出三角形的边长，然后利用勾股定理及其逆定理和三角函数即可解决问题．

例2.【考点】T7：解直角三角形．

【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan ∠BOD 的值，本题得以解决．

【解答】解：方法一：平移CD 到C ′D ′交AB 于O ′，如右图所示，

则∠BO ′D ′＝∠BOD ，∴tan ∠BOD ＝tan ∠BO ′D ′，设每个小正方形的边长为a ，则O ′B ＝，O ′D ′＝

，BD ′＝3a ，作BE ⊥O ′D ′于点E ，则BE ＝，

∴O ′E ＝＝，∴tan BO ′E ＝，∴tan ∠BOD ＝3，故答案为：3．

方法二：连接AM 、NL ，在△CAH 中，AC ＝AH ，则AM ⊥CH ，

同理，在△MNH 中，NM ＝NH ，则NL ⊥MH ，∴∠AMO ＝∠NLO ＝90°，

∵∠AOM ＝∠NOL ，∴△AOM ∽△NOL ，∴

，设图中每个小正方形的边长为a ，则AM ＝2

a ，NL ＝a ，∴＝2，∴，∴，

∵NL ＝LM ，∴，∴tan ∠BOD ＝tan ∠NOL ＝

＝3，故答案为：3．

方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，

设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，

∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，

∴tan∠FAE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为：3．

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．

练习：

1.解：如图，连接EA，EC，

设菱形的边长为a，由题意得∠CEF＝60°，∠BEF＝30°，CE＝a，AE＝a，EB＝2a，∴∠AEC＝90°，

∵∠ACE＝∠AGF＝60°，∴∠EAB＝180°，∴E、A、B共线，

在Rt△CEB中，tan∠ABC＝．故答案为：

【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

练习1答图练习2答图

2.解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．

由题意：EC∥AB，∴∠APC＝∠ECD，

∵∠CDO＝60°，∠EDB＝30°，∴∠CDE＝90°，

∵CD＝2，DE＝，∴tan∠APC＝tan∠ECD＝＝，故答案为．

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

3.解：（1）如图2所示，连接GF，HF，HF与PN交于点N，则PN∥GF，

∴∠HPN＝∠HGF，根据勾股定理可得：，，，

∵，∴△HGF是直角三角形，∠HFG＝90°，

∴，∴tan∠HPN＝tan∠HGF＝2．

（2）连接BC，如图3所示；由勾股定理得：AC2＝BC2＝22+42＝20，AB2＝22+62＝40，

∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，