人教版九年级下册同步培优课件解直角三角形的五种常见类型

方法技巧：题目中所给的角有直角和 30°，45°角，因此我们可以 通过构造直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些 边的长，进而求出四边形 ABCD 的面积．
解：如图，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H.
∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝ 2， ∴EH＝DE·cos 45°＝ 2× 22＝1，DH＝DE·sin45°＝ 2× 22＝1.
解：∵a＝2 3，b＝6，∠C＝90°， ∴c＝ a2＋b2＝ 12＋36＝ 48＝4 3. ∵tan A＝ab＝263＝ 33，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.
2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC， 求 sin ∠BAC 的值和点 B 到直线 MC 的距离．
解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°， ∴BC＝ AB2－AC2＝ 169－144＝ 25＝5. ∴sin ∠BAC＝BACB＝153.过点 B 作 BD⊥MC 于点 D.
9．已知 a，b，c 分别是△ ABC 中∠A，∠B，∠C 的对边，关于 x 的一元二次方程 a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0 有两个相等的 实数根，且 3c＝a＋3b. (1)判断△ ABC 的形状； (2)求 sin A＋sin B 的值．
【点拨】解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系 得到一个关于 a，b，c 的等式．从解题过程可以看出，求三角函 数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4 3， ∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin 30°＝4 3×12＝2 3. 又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD＝30°. ∴cos ∠CAD＝AADC＝2AD3＝ 23，∴AD＝4.
7．如图，在△ ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，DC⊥AC，且 tan ∠BCD＝13，求∠A 的三角函数值．
设点 B 到直线 MC 的距离为 d，则 BD＝d，
∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BCM＝sin ∠BAC. ∴sin ∠BCM＝BdC＝153， 即d5＝153，∴d＝2153. 即点 B 到直线 MC 的距离为2153.
3．如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3. (1)求 AC 的长；
解：由题意知 sin C＝AABC，即12＝A3C，则 AC＝6. (2)求 BC 的长．
由题意知 tan C＝ABBC，即 33＝B3C，则 BC＝3 3.
4．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D 为 AC 边上一点，∠BDC＝45°，求 AD 的长．
解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝3，∴CD＝3. ∵∠A＝30°，BC＝3，∴tan A＝BACC＝A3C＝ 33，∴AC＝3 3. ∴AD＝AC－CD＝3 3－3.
பைடு நூலகம்
RJ版九年级下
第二十八章 锐角三角函数
阶段核心归类 解直角三角形的五种常见类型
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1．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B， ∠C 的对边，a＝2 3，b＝6，解这个直角三角形．
(1)判断△ ABC 的形状；
解：将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则 Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)． ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即 b2＋a2＝c2. ∴△ABC 为直角三角形，且∠C＝90°.
(2)求 sin A＋sin B 的值． 解：由 3c＝a＋3b，得 a＝3c－3b.① 将①代入 a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2. ∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0. 由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝45c.②将②代入①，得 a＝35c. ∴在 Rt△ ABC 中，sin A＋sin B＝ac＋bc＝35＋45＝75.
5．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c 分别 为∠A，∠B，∠C 的对边，c＝10，解这个直角三角形．
解：∵∠B＝45°，∠C＝90°， ∴∠A＝45°.∴a＝b. ∵sin A＝ac，c＝10，∴a＝10·sin 45°＝5 2. ∴b＝5 2.
6．如图，在△ ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是∠BAC 的 平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB＝4 3，求 AD 的长．
方法技巧：本题中出现了 tan ∠BCD＝13，由于∠BCD 所在的三 角形并非直角三角形，因此应用正切的定义，构造出一个与之 相关的直角三角形进行求解．
解：过点 D 作 CD 的垂线交 BC 于点 E，如图． 在 Rt△ CDE 中， ∵tan ∠BCD＝13＝DCDE，∴可设 DE＝x，则 CD＝3x. ∵CD⊥AC，∴DE∥AC. 又∵点 D 为 AB 的中点，∴点 E 为 BC 的中点． ∴DE＝12AC.∴AC＝2DE＝2x.
在 Rt△ ACD 中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴AD＝ AC2＋CD2＝ 4x2＋9x2＝ 13x.
∴sin A＝CADD＝
3x ＝3 13x
1313，
cos A＝AADC＝
2x ＝2 13x
1313，
tan A＝CADC＝32xx＝32.
8．【中考·北京】如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交 于点 E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝ 2， BE＝2 2.求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积．
又∵∠DCE＝30°，∴HC＝taDn H30°＝ 3，CD＝sinDH30°＝2. ∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2 2，
∴AB＝AE＝2，∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋ 3＝3＋ 3，
∴S 四边形 ABCD＝12×2×(3＋
3)＋12×1×(3＋
3)＝3
3＋9 2.