《数学物理方法》第二章PPT课件

如果函数f(z)在区域D内的每一点可导，则 称f(z)在区域D内可导。
两个例子：1. 求dzn/dz
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但处处不可导
解：
f (z) lim z zn zn
z 0
z
lim
z0
nz n 1
n(n 1) 2
z n 2 z
z
n1
nzn1
求导法则
d dz
w1
必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点 z=x+iy可导，那么有
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在； x y x y
2. 在(x, y)点处满足C R条件
u v , v u x y x y
逆命题不成立
f (z) xy
f(z)在z=0处不可导
z0
z
y0
iy
x0
lim u(x, y y) u(x, y) i lim v(x, y y) v(x, y)
y0
iy
y0
iy
i u v
y y
(2)
若 f (z) 在点 (x, y) 可导，则 (1), (2) 两式相等，则
u = v , u = - v x y y x
柯西——黎曼条件（C-R条件）
z 0
z
x 0
x
y 0
lim u(x x, y) u(x, y) i lim v(x x, y) v(x, y)
x 0
x
x 0
x
u i v x x
（1）
2. 令 x 0, z iy ，即 z 沿平行于 y 轴的方向趋于 0，
则
f '(z) lim f (z z) f (z) lim [u(x, y y) i v(x, y y)][u(x, y) i v(x, y)]
且满足
C-R
条件：
u x
v y
,
u v y x
证明：由导数的定义可知： z 以任何方式趋于零
f (z z) f (z)
时，极限
lim
z 0
z
存在，且有同一的极限
值，即 f '(z) 与 z 0 的方式无关，因此我们可讨
论 z 沿平行 x 轴和 y 轴趋于 0 的情形。
设 z x iy
且相同，则 f (x) 在 x 点可导；而对于复变函数来说 z 可
沿复平面的任一曲线逼近零，若沿任何方式逼近 z 时，
极限存在，且相Байду номын сангаас，则称 f (z) 在点 z 可导。因此复变
函数的可导要求严格得多。
(2) 导数存在要求f(z) 在点z连续。但并不 是：f(z)在点z连续，则f(z)在点z一定可 导。
z, w, f '(z0 ) 的表示式：
z z ei Arg z,w w ei Arg w, f '(z0) f '(z0) ei Arg f '(z0)
由导数的定义式可得：
f '(z0)
f
'( z0 )
eiArgf '( z0 )
lim
z0
w z
lim
z0
w z
eiArgw eiArgz
lim w lim ei( ArgwArgz)
z z0
z0
w
f '(z0 )
lim z0
z
,
Argf
'( z0 )
lim ( Arg
z 0
w
Argz)
1.导数的模 f '(z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z
映射为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。
2．导数的辐角 Argf '(z0 ) 表示曲线 L 上点 z0
的切线与曲线 L ' 上的点 w0 的切线的夹角，即从
z 平面到 W 平面映射前后切线的转动角。
几何意义图示
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过w =f(z)映射后通过z0的任 何曲线在z0的伸缩率
w=f(z)
lim
z z0
f (z) f (z0) z z0
lim z z0
ei
充分必要条件
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z=x+iy可导 的充分必要条件是
存在，则称函数f(z)在z0点处可导或可微，并称该极限值为函
数f(z)在z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
说明
(1)
从实变函数导数的定义：
f
'(x)
lim
x0
f (x x) f (x) x
可见，实变函数、复变函数导数的定义形式上一样，但
对于实变函数来说 x 只能沿实轴逼近零。如极限存在
w2
dw1 dz
dw2 dz
d dz
w1
w2
w1
dw2 dz
w2
dw1 dz
d dz
w1 w2
w1w2 w1w2 w22
dw 1 dz dz dw
dF (w) dF dw dz dw dz
微分公式： 设 w f (z)，
则 dw f '(z)dz
dez ez dz d sin z cos z
f (z z) f (z) [ u (x x, y y) i v (x x, y y)] [ u (x, y) i v (x, y)]
1.令 z x, y 0，即 z 沿平行于 x 轴的方向趋于 0，则
f '(z) lim f (z z) f (z) lim [u(x x, y) i v(x x, y)][u(x, y) i v(x, y)]
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念及柯西-黎曼条件 第二节 解析函数与调和函数的关系 第三节 初等解析函数
第一节 解析函数的概念及柯西-黎曼条件
一、导数的定义
设f(z)是定义在区域D上的单值函数，若在D内某点z0，极限
lim w lim f (z) f (z0 )
z z0
z z0
z z0
r ei
lim zz0 s
ei( )
三、Cauchy-Riemann条件 (C-R条件)
复变函数 要解决的问题：给定一函数
w f (z) u(x, y) iv(x, y) ，如何判
断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
u u v v
f (z) 在点 z 可导的必要条件是 x , y , x , y 存在，
dz
dLnz 1 dz z d cos z sin z dz
d sinh z cosh z dz
d cosh z sinh z dz
二、导数的几何意义
设 w f (z) 在 z=z0 可导，即有：
f
'(z0 )
lim
z0
f
( z0
z) z
f
(z0 )
lim
z0
w z
导数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平 面沿曲线 L ' 变动。