高中数学 一元二次不等式及解法

变
式
训
练
解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)
解析： 原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0. 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两根为x1= a，x2= a2 ⑴当a＞a2 即0＜a＜1时， x＜a2或x＞a ； ⑵当a＝a2 即a＝0或1时， ①若a＝0，则x≠0，②若a＝1，则x≠1； ⑶当 a＜a2，即a＞1或a＜0时，x＜a或x＞a2
人教A必修5 3.2
一元二次不等式及其解法
海北一中
夏致德
启
动
思
维
一元一次不等式：ax＞b，
b xx＞ a
b xx＜ a
当a＞0时，解集是
；
当a＜0时，解集是
；
当a＝0，b≥0时，解集是 ∅ ； 当a＝0，b＜0时，解集是 R .
变
式
训
练
综上所述，原不等式的解集为: 当0＜a＜1时， {x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1或0时，{x|x∈R且x≠a}； 当a＞1 或a＜0时， {x|x＜a或x＞a2}．
小
结
化 求 写
a x 2 b x c 0( 0)(a 0)
解集
人教A必修5 3.2
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
b {x|x≠ } 2a
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
函数 、方程、不等式的关系
自
主
练
习
1．下列是关于x的一元二次不等式的个数为( ) ①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2x ； ③－x2＋5x＋6≥0； ④(x＋a)(x＋a＋1)＜0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析： ③④符合一元二次不等式的定义；对于①， 当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是超越不 等式． 答案： B
走
进
教
材
函数
2
y ax 2 bx c（a 0）的零点和对应方程
的根之间有什么关系?
ax bx c =0
将方程中的等号改为不等号 （<
，则方程变成了什么？ > ）
二 次 函 数 、一 元 二 次 方 程
Text Text
ax 2 bx c =0
的根
x1 x2
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
∵ x2－5x－6＝0的两根为x1 ＝－１， x２＝6 y 由函数ห้องสมุดไป่ตู้＝x2－5x－6 的图象 可知原不等式的解集为{x|x<－１或x > 6 } x2 x
x1 O
求解一元二次不等式
例一
求下列一元二次不等式的解集: (2) －x2＋x＋1>0
解：原不等式可化为x2-x－1<0，
例二
解关于x的不等式x2＋ax－2a2＜0.
解含参数的一元二次不等式
[规范作答] 原不等式可化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
Text
x1 x2
无解
函数 、方程、不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c 的图象 (a>0)
△>0
y x1 O
y>0
△=0 y
y>0
△<0 y
y>0
x2 x
y<0
O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a
x
O 没有实根
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
三“写”：由函数 y
集。
变
式
训
练
求下列不等式的解集: (1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{x | x 2 或 x 2}
y x1 O
x2
x
变
式
训
练
(2)4x2＋4x＋1>0
1 {x | x } 2
y
O x1
x
变
式
训
练
(3)－5x2－7x≥6

y
O
x
3 题型二
解含参数的一元二次不等式
自
主
练
习
2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是( ) A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是 ( －∞，－ 3)∪(2 ，＋∞ ) ，故 选C. 答案： C
课
堂
讲
义
求解一元二次不等式
例一
求下列一元二次不等式的解集: (1)－x2＋5x＜－6
∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点 y 由图可知，不等式的解集为R
O
x
3 题型一
解一元二次不等式的一般步骤
一“化”：将原不等式化为
的形式； 二“求”：求方程
2
ax b x c 0( 0)(a 0)
2
ax bx c 0 的根；
ax 2 bx c（a 0） 的图象找解
∵方程x2-x－1＝0的两根为
y
x
∴由函数y＝x2-x－1的图象可知， 原不等式的解集为
x 1＝ 1 5 2
1 5 x 2＝ 2
O
{x |
1 5 1 5 x } 2 2
求解一元二次不等式
例一
求下列一元二次不等式的解集: (3) 2x2－x＋6<0
解： ∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＜0