(北师大版)数学必修五：3.1《不等关系》ppt课件
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3.1.1《不等关系》习题课 课件(北师大版 必修5)
• • • •
是( ) A．a·lgx>lgx·b(x>0) B．ax2>bx2 C．a2>b2 D．a·2x>b·2x
• 解析：对于A：当x>0时，lgx∈R，当lgx≤0时，
a·lgx>b·lgx(x>0)不成立，故应排除A；
• 对于B：∵x∈R，当x＝0时，ax2＝bx2， • ∴ax2>bx2不成立，故应排除B； • 对于C：∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)，又由a>b可知a－ • • • 答案：D
m＋n＝4， 于是得 m－n＝2， m＝3， 解得 n＝1.
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以
利用换元法来求解．在求解时一定要注意已 知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值 范围，否则容易出错．下面我们再用一种新 的方法——待定系数法来求解．
解析：由已知得 2≤f(1)＝a＋b≤4,1≤f(－1)＝a －b≤2，又 f(－2)＝4a－2b. 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－ n)· b.
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论， 或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不 等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小 得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双 向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的 对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断 要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符 号． (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反 证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的 问题转化为其反面进行说明.
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：3.1 不等关系
第三章 不等式
-1-
§1 不等关系
-2-
§1 不等关系
首页
自主预习
合作学习 当堂检测
学习目标
思维脉络
1.理解不等关系,会用不等式(组)表示 不等关系. 2.掌握比较两个实数或代数式的大小 的方法. 3.掌握不等式的性质,会用不等式性质 证明不等式或求范围.
-3-
§1 不等关系
首页
自主预习
合作学习 当堂检测
【例3】 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若 a<b<0,则 ac<bc; (2)若���������2��� > ���������2��� ,c≠0,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; (4)若 a>b,c>d,则 ac>bd; (5)若 a>b,1������ > 1������,则 a>0,b<0. 分析:解决这类问题,主要是根据不等式的性质进行判断,其实质 就是看是否满足性质所需要的条件.
������∈N.
-10-
§1 不等关系
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
自主预习
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思维辨析
反思感悟1.用不等式(组)正确表示出不等关系,首先要弄清题意, 分清量与量之间的关系,然后将量与量之间用不等号连接,注意不 等式与不等关系的对应,不重不漏,尤其要注意实际问题中变量的 范围.
2.若问题中的变量没有用字母给出,应首先用字母设出变量,有多 个变量时,需用多个字母表示,同时要注意变量的单位要统一.
自主预习
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思维辨析
变式训练3 给出四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b,④ a>解b>析0,:能由推不出等式1������ <的1������性成质立可的知是,条件①②④.可使1������ < 1������成立.
-1-
§1 不等关系
-2-
§1 不等关系
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学习目标
思维脉络
1.理解不等关系,会用不等式(组)表示 不等关系. 2.掌握比较两个实数或代数式的大小 的方法. 3.掌握不等式的性质,会用不等式性质 证明不等式或求范围.
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§1 不等关系
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【例3】 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若 a<b<0,则 ac<bc; (2)若���������2��� > ���������2��� ,c≠0,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; (4)若 a>b,c>d,则 ac>bd; (5)若 a>b,1������ > 1������,则 a>0,b<0. 分析:解决这类问题,主要是根据不等式的性质进行判断,其实质 就是看是否满足性质所需要的条件.
������∈N.
-10-
§1 不等关系
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
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思维辨析
反思感悟1.用不等式(组)正确表示出不等关系,首先要弄清题意, 分清量与量之间的关系,然后将量与量之间用不等号连接,注意不 等式与不等关系的对应,不重不漏,尤其要注意实际问题中变量的 范围.
2.若问题中的变量没有用字母给出,应首先用字母设出变量,有多 个变量时,需用多个字母表示,同时要注意变量的单位要统一.
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思维辨析
变式训练3 给出四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b,④ a>解b>析0,:能由推不出等式1������ <的1������性成质立可的知是,条件①②④.可使1������ < 1������成立.
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
高中数学 不等关系课件 北师大版必修5
设儿童身高为h（单位：m）物品外部尺寸长、 宽、高之和为p(单位：cm),请在下表空格内填上 对应的数学符号（﹤，≤，﹥，≥） 文字 表述 符号 表示 不超过 160cm
１.１～１.４ m
超过1.4m
不足1.1m
1.1 h 1.4
h 1.4 h 1.1 p 160
例3 下图给出的是我国长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况直 方图。请根据图中信息将各省、自治区、直辖市污染程度按小到大的顺序 （＜，≤）进行排列。 优于Ⅲ 2001年长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况 类（含）
谢谢大家，再见！
那么这些不等关系用什 么来表示呢？
问题情景：两条1m长的小铁丝，如果把一条铁丝围
成一个圆，把另一条铁丝围成一个正方形.
1m
设两个图形的周长和面积分别为 C 圆 , C 方 ， 圆 , 方 .试判 断(1)两个周长的大小关系；（2）两个面积的大小关系.
s s
2
解:
(1)
C
圆=
C
2
方
1 1 1 1 2 2 (2) S圆 0.08( m ) S 0.06( m ) 方 2 4 4 16
3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 上的任意一点，写出d满足的不等式. 0≤ d≤|AB| 4.如下图：在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
5m 5m 5m
5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
60x 70 y 500 x 3且x N y 2且y N
这是一个不等式组的问题
《不等关系》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (3)
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图，每个小正方形边长均为1，那么 以下图中的三角形〔阴影局部〕与左 图△中ABC 相似的是〔B 〕
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
根据以下条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为 什么？
∠A=40°,∠B=80°, ∠A′=40°, ∠C′=60°
A
40°
80°
B C
A′
40°
B′
60 °
C′
根据以下条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
注：比较两数大小可以用作差法.
1、定义：用不等号〔＜、＞、≤、≥、≠〕 连接表示不等关系的式子叫不等式．
2、根本常识： 1〕对称性：如果a>b，那么 b<a．
．
2〕传递性：如果a>b且b>c，那么a>c 3〕作差法：假设a-b=0那么a=b．
假设a-b>0那么a>b ；假设a-b<0那么a<b．
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
文字语言
数学符号
大于、多于、高于、超过…
>
小于、少于、低于、落后于… <
大于等于、不小于、不少于… ≥
3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)
4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
高中数学北师大版必修5课件：3.1.1 不等关系
2.在数学表达式 ①-3<0,②4x+3y>0,③x=3,④x2-xy+y2,⑤x≠5,⑥x+2>y+3 中,不等式的 个数是( ). A.1 B.3 C.4 D.5 答案:C
3.一个两位数的个位数字为 a,十位数字为 b,且这个两位数大于 50, 可用不等式表示为 . 答案:50<10b+a<100
题型二
用不等式组表示不等关系
【例 2】 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂. 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次, 写出满足上述所有不等关系的不等式. 分析:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆.根据题意,应有如下的 不等关系: (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数; (2)车队每天至少要运 360 t 矿石; (关于 x,y 的不等式表示上述不等关系即可. 解:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,则 x + y ≤ 9, x + y ≤ 9, 10 × 6x + 6 × 8y ≥ 360, 5x + 4y ≥ 30, 即 0 ≤ x ≤ 4,x∈������, 0 ≤ x ≤ 4,x∈������, 0 ≤ y ≤ 7,y∈������, 0 ≤ y ≤ 7,y∈������.
第三章
不等式
§ 1
不等关系
1.1
不等关系
知识能力目标引航 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等 关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
在日常生活中,不等关系处处存在.在数学意义上,不等关系可以 体现为: (1)常量与常量之间的不等关系; (2)变量与常量之间的不等关系; (3)函数与函数之间的不等关系; (4)一组变量之间的不等关系. 常见文字语言与数学符号之间的转换如下表: 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 > ≤ 大于 至多 < ≥ 小于 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≤ 小于等于 ≤ 不多于
高中数学 第一部分 第三章 §1 不等关系课件 北师大版必修5
理解教材新知 第 三 章 不 等 式 §1
知识点一 知识点二 考点一
不 等 关 系
把握热点考向
4
考点二
考点三
应用创新演练
§1
不等关系
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 问题1：如何用不等式表示对脂肪含量的规定？ 提示：f≥2.5%.
2x2－2x的大小．
解：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， 12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，
即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
辆．根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用关于 x，y 的不等式表示上述不等关系即可． x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N. x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 即 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N.
6．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)
的大小． 解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
知识点一 知识点二 考点一
不 等 关 系
把握热点考向
4
考点二
考点三
应用创新演练
§1
不等关系
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 问题1：如何用不等式表示对脂肪含量的规定？ 提示：f≥2.5%.
2x2－2x的大小．
解：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， 12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，
即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
辆．根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用关于 x，y 的不等式表示上述不等关系即可． x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N. x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 即 0≤x≤4，且x∈N， 0≤y≤7，且y∈N.
6．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)
的大小． 解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2] ＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
3.3.1基本不等式课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
a＋b 基本不等式 ab≤ (a>0，b>0)；在应用时要注意 2 a>0，b>0 必须同时成立，当且仅当 a＝b 时取等号；若不具备这条 件，必须通过变形使其满足 a>0，b>0.
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习 课堂讲练互动
法二
1 令 a＝b＝ ，则 a＋b＝1， 2
2 2
1 1 1 1 1 1 2 ab＝1，a ＋b ＝ ，2ab＝2× × ＝ ，再令 a＝ ，b＝ ，a＋ 2 2 2 2 2 8 1 1 5 b＝ ＋ ＝ ，2 ab＝2 2 8 8 ∴a＋b 最大． 1 1 1 × ＝ ， 2 8 2
【题后反思】 当已知条件中有一个多项式的和为1时，要 注意“1”的代换，这种方法体现了换元的思想，通过换元 可以化繁为简，化难为易，将未知变为已知，使思路豁然 开朗．
课前探究学习
课堂讲练互动
a b 已知 a＞0，b＞0，x＞0，y＞0， ＋ ＝1， 【训练3】 x y 求证：x＋y≥( a＋ b)2. a b a b 证明 法一 ∵1＝ ＋ ，∴x＋y＝(x＋y) ＋ x y x y
b a (3) ＋ ≥2(ab＞0) a b a＋b (4) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2 a2＋b2 (a，b∈R＋ )． 2
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一
利用基本不等式比较大小
2, 则 a2 【例1】 已知 0＜a＜1,0＜b＜1， a＋b,2 ab， ＋b 2ab 中哪一
个最大？
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．对于概念的理解 (1)基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等号成立的条 a＋b 件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，则 ab≠ ， 2 a＋b 即只能有 ab＜ . 2 a＋b (2)基本不等式 ab≤ (a＞0，b＞0)又称为均值不等式，其 2 a＋b 中 叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数， 2 因此两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
《不等关系课件》课件 2022年北师大版数学课件
a为任意实数,那么一定成立的算式是( )
( A )( a ) 2 a . (B) a2 a. (C ) a 2 2a 1 a 1. ( D )( a 2 1 ) 2 a 2 1 .
本节课你学习了哪些知识？在 探索知识的过程中，你用了哪些方 法？对你今后的学习有什么帮助？
。
并完成相应的动作。若手势不一致，以数字小的为准。
x
y
2, 3.
5y和 5y
互为相反数……
相加……
(
) (
) ( )
左边
右边
解：根据等式的根本性质,
方程①+方程②得：
5x10.
解得：x2.
把 x2 代入①，解得：y 3.
还能怎样解 下面的二元一次 方程组?
3x5y 21,① 2x5y 11.②
所以方程组的解为
x
y
2, 3.
例 解以下二元一次方程组
7
√
×
例3 求满足以下各式的未知数x.
(1) x2=9;
(2) 4x2=9;
(3) (x-1)2=25; (4) 4(2x-1)2=25.
解 : (1 ) x 9 , x 3.
2 x 2 9 ,
4 x 3.
2
3 x 1 2 25 ,
x 1 5.
x 1 5,
x1 6,x2 4 . ( 4 ) ( 2 x 1 ) 2 25 ,
4
2 x 1 25 5 . 42
2x 1 5. 2
x1
7 4
, x2
3. 4
想一想
(1) 52等 于 多 少?( (5)2等 于 多 少?
(2)
49
2
等 于 多 少?
高中数学 3.1 不等关系同步课件 北师大版必修5
第十六页，共38页。
（2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后 (ránhòu)比较它们的商与1的大小. 作商法的一般步骤： 作商——变形—商与1的大小.
第十七页，共38页。
【例2】设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大 小. 【审题指导】利用作差法或作商法比较它们的大小.作差法要 注意(zhù yì)对多项式进行因式分解，作商法要注意(zhù yì) 每一个因式的符号.
第十八页，共38页。
【规范解答( jiědá)】方法一：（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
∴-2xy(x-y)＞0,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
方法二：∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
第三十四页，共38页。
4.设a>b>c>0,x= a2 (b c)2,y= b2 (a c),2z= x,y,z的大小(dàxiǎo)顺序是__________.
c2 (a b,)2则
【解析】方法一：∵y2-x2=2c(a-b)>0，∴y>x.
同理，z>y,∴z>y>x.
方法二：令a=3,b=2,c=1，x= 答案:z>y>x
第一页，共38页。
第二页，共38页。
1.通过实例了解生活中的不等关系(重点). 2.用不等式（组）正确表示出不等关系(难点). 3.掌握(zhǎngwò)实数大小的比较方法及实数运算的基本性质 (难点、易错点).
（2）作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后 (ránhòu)比较它们的商与1的大小. 作商法的一般步骤： 作商——变形—商与1的大小.
第十七页，共38页。
【例2】设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大 小. 【审题指导】利用作差法或作商法比较它们的大小.作差法要 注意(zhù yì)对多项式进行因式分解，作商法要注意(zhù yì) 每一个因式的符号.
第十八页，共38页。
【规范解答( jiědá)】方法一：（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),
∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
∴-2xy(x-y)＞0,
∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
方法二：∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
第三十四页，共38页。
4.设a>b>c>0,x= a2 (b c)2,y= b2 (a c),2z= x,y,z的大小(dàxiǎo)顺序是__________.
c2 (a b,)2则
【解析】方法一：∵y2-x2=2c(a-b)>0，∴y>x.
同理，z>y,∴z>y>x.
方法二：令a=3,b=2,c=1，x= 答案:z>y>x
第一页，共38页。
第二页，共38页。
1.通过实例了解生活中的不等关系(重点). 2.用不等式（组）正确表示出不等关系(难点). 3.掌握(zhǎngwò)实数大小的比较方法及实数运算的基本性质 (难点、易错点).
北师大版高中数学必修5课件3.1不等关系课件(数学北师大版必修5)
x 5x 0.5 0.2 2 万册 ,杂志社的销售收 在问题(2)中 ,设每本杂志价格提高 x 元, 则发行量减少 (2 x)(10 5x 5x ) (2 x)(10 ) 22.4 2 万元．根据题意，得 2 ，
入为
2 5 x 10 x 4.8 0 ． 化简，得
3 2 3 2 2 2 x 11 x (6 x 6) x 3 x 3 x 11 x 6 x ( x 3) (3x 2)( x 3) 解：
=
( x 3)( x 2)( x 1)
----------------- （*）
3 2 x 11 x 6 x 6； x 3 0 当 时，（*）式 ，所以 3 2 x 3 0 x 11 x 6 x 6 ； 当 时，（*）式 ，所以 3 2 x 11 x 6 x 6 2 x 3 0 当 时，（*）式 ，所以
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6
个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7
个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白 质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写 出x，y满足的条件．
上面的例子表明， 我们可以用不等式 (组)来刻画不等关系． 表示不等关系的式子叫做不等式,
， ， ， )表示不等关系. 常用( ，
建构数学 1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分 析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式． 问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问
3.1.1不等关系 课件(北师大版必修5)
第三章 不等式
导.学. 固. 思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
应满足的不等关系是( D ).
A.x+y>120 C.x+y≥120 B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示 总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需 要120吨,故应为x+y≥120.
导.学. 固. 思 2
4
比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
2 2 2
2
【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
导.学. 固. 思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形” 领域目标要求
不等关系与不等式
和“数”两个方面来认识不等式 2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不 等式 1.掌握求解一元二次不等式的基本方法 1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对 于刻画不等关系的意义和价值 2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解 决一些简单的线性规划问题 3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受 数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力
一元二次不等式
2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用 3.了解简单的一元高次不等式和分式不等式的解法
二元一次不等式 (组)及简单的线性 规划问题 基本不等式
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解 决 1.学会推导并掌握基本不等式
应满足的不等关系是( D ).
A.x+y>120 C.x+y≥120 B.x+y<120 D.x+y≤120
【解析】A是表示总量大于120吨,B表示总量小于120吨,D表示 总量不多于120吨(即至多120吨),因为甲、乙两种材料总量至少需 要120吨,故应为x+y≥120.
导.学. 固. 思 2
4
比较 x +3 与 3x 的大小,其中 x∈R.
2 2 2
2
【解析】∵(x +3)-3x=x -3x+3=[x -3x+( ) ]-( ) +3=(x- ) + ≥ >0,
高中数学北师大版必修五课件第3章1-11不等关系12不等关系与不等式
不低于 95，文化课总分 y(单位：分)高于 380，体育成绩 z(单位：
分)超过 45，用不等式组表示为( )
x≥95 A.y≥380
z>45
x≥95 B．y>380
z≥45
x>95 C.y>380
z>45
x≥95 D．y>380
z>45
解析：选 D.“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过” x≥95，
1．对利用不等式的性质证明不等式的说明 (1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数 a，b 有 a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b.这是比较两个 实数大小的依据，也是证明不等式的基础． (2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运 用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减 弱、条件和结论之间的相互联系． 2．运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成 立的条件，不要弱化条件，更不要想当然地运用一些不存在的 性质.
a－b
2 >1，所以
aabb>(ab)a＋2 b.
综上所述，aabb≥(ab)a＋2 b.
比较两代数式的大小时不论是作差法还是作商法比较大小，在 对变形后的式子进行判断时，由于式中含有字母取值不同会导 致结果不同的应进行分类讨论，分类时应做到不重不漏．
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x(单位：分)
①若 a＝b>0，则ab＝1，a－b＝0，
所以ab
a－b
2 ＝1，所以
aabb＝(ab)a＋2 b；
②若 a>b>0，则ab>1，a－b>0，由指数函数的性质，
高中数学第三章不等式1不等关系课件北师大版必修5
〔跟踪练习 2〕 判断下列各题的对错． (1)ac<bc且 c>0⇒a>b( × ) (2)a>b 且 c>d⇒ac>bd( × ) (3)a>b>0 且 c>d>0⇒ ad> bc( √ ) (4)ca2>cb2⇒a>b( √ )
[解析] (1) acc><0bc⇒1a<1b， 当 a<0，b>0 时，此式成立，推不出 a>b， ∴(1)错； (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时， 命题显然不成立，∴(2)错； (3) ca>>db>>00⇒ad>bc>0⇒ ad> bc成立． ∴(3)对； (4)显然 c2>0，∴两边同乘以 c2，得 a>b.∴(4)对．
要两边同除以一个不为 0 的数(或同乘以一个数的倒数)．
[证明]
a>b>0
c<d<0
⇒a－>cb>>－0 d>0
⇒－ac>－bd.
3．设 x<a<0，则下列各不等式一定成立的是( B )
A．x2<ax<a2
B．x2>ax>a2
C．x2<a2<ax
D．x2>a2>ax
[解析]
xax＜＜＜0a0＜0⇒xa2x＞＞aax2⇒x2＞ax＞a2.故选 B．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好 哦~
500x＋600y≤4 000
5x＋6y≤40
3x≥y x≥0
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[答案] B [ 解析 ]
)
A 项不能传递下去， C 项不满足倒数不等式的条
件，D项只有a>b>0时才成立．故选B．
第三章
§1
不等关系
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
4．若 a、b 是任意实数，且 a>b，则( A．a >b
2 2
)
b B．a<1
1 1 D．2a<2b
的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小
值问题，无一不与不等式有着密切关系．能够运用不等式的性 质，定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布的
问题，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学
问题．
第三章
不等式
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.
第三章
§1
不等关系
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[ 方法总结 ] 骤：
用不等式 ( 组 ) 表示实际问题中不等关系的步
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求
量； ②列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系 ( 即满足什 么条件)； ③列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的 关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
不等式
第三章
不等式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑，其中很多工程 师打破了对称美的传统形式，利用不等关系与不对称美的思想 设计了无数的经典之作．不等关系是客观世界中广泛存在的一 个基本关系，各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应
第三章
§1 不等关系
第三章
不等式
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1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课 时 作 业
第三章
§1
不等关系
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课前自主预习
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不等关系
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第三章
§1
不等关系
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某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本．根
据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2
000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销 售的总收入仍不低于20万元？
[解析]
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
∴f(x)≤g(x)．
第三章
§1
不等关系
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课堂典例讲练
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§1
不等关系
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[答案] ×
×
√
√
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不等关系
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c c 1 1 < [解析] (1) a b⇒a<b， c>0 当 a<0，b>0 时，此式成立，推不出 a>b， ∴(1)错； (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时， 命题显然不成立，∴(2)错； a>b>0 a b ⇒ > >0⇒ (3) c>d>0 d c ∴(3)对； (4)显然 c2>0，∴两边同乘以 c2，得 a>B．∴(4)对.
提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8
x－2.5 － 0.1 ×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为： x－2.5 (8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
第三章 §1 不等关系
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不等式的基本性质
用不等式表示不等关系 某 钢 铁 厂 要 把 长 度 为 4 000mm 的 钢 管 截 成
500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不
能超过 500mm钢管的 3倍．试写出满足上述所有不等关系的不 等式．
[分析]
应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①
两种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数 量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；③两种钢管的数量都不能 为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
a<b a<b 2 ⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2.故该命题 ③ ⇒a >ab， a<0 b<0 为真命题． ④a>b⇒－a<－b⇒c－a<c－B． 因为 c>a，所以 c－a>0.所以 0<c－a<c－B． 1 1 1 两边同乘以 ，得 > >0. c－ac－b c－a c－b a b 又因为 a>b>0，所以 > .故该命题为真命题． c－a c－b
对于实数 a、b、c，有下列命题 ①若 a＞b，则 ac＜bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b； ③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； a b ④若 c>a>b>0；则 > ； c－a c－b 1 1 ⑤若 a>b，a>b，则 a>0，b<0.
第三章
§1
不等关系
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作商比较法 乘方比较法 a a>0， b>0 且b>1⇒____ a>b ；a2>b2 且 a>0， a b>0⇒a>b a < b a>0，b>0 且b<1⇒____ 同号两数比较大小或 指数式之间比较大小 ①作商 ②变形 ③判断商值与 1 的大小 ④下结论 要比较的两 数(式)中有 根号 ①乘方 ②用作差比 较法或作商 比较法
购买火车票有一项规定：随同成
人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超 过 1.5m 的儿童，享受半价客票、加快
票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应
买全价票．每一成人旅客可免费携带 一名身高不足 1.1 米的儿童，超过一名 时，超过的人数应买儿童票．从数学 的角度，应如何理解和表示“不超
过”“超过”呢？
第三章 §1 不等关系
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3.常用的不等式的基本性质： (1)如果 a>b，c>d，则 a＋c________ b＋d； > (2)如果 a>b>0，c>d>0，则 ac________ bd； >
n (3)如果 a>b>0，则 an________ b (n∈N＋)； >
第三章 §1 不等关系
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1.在数学意义上，不等关系体现的几个方面．
常量与常量 之间的不等关系； (1)____________ 变量与常量 之间的不等关系； (2)____________ 函数与函数 之间的不等关系； (3)____________ (4)____________ 一组变量 之间的不等关系．
C．lg(a－b)>0
[答案] D
[解析] a>b 并不保证 a、b 均为正数，从而不能保证 A、 B 成立．又 a>b⇒a－b>0，但不能保证 a－b>1，从而不能保证 C 成立，显然只有 D 成立．事实上，指数函数 上是减函数，所以
1 1 a>b⇒2a<2b 成立．故选 1 y＝2x 在
其中真命题的个数是(
A．2 C．4 [答案] C [解析]
)
B．3 D．5
①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的
大小关系缺乏依据，故该命题是假命题．
②由ac2>bc2知c≠0，所以c2>0，所以a>b， 故该命题是真命题．
第三章
§1
不等关系
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第三章
Байду номын сангаас§1
不等关系
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b－a 1 1 1 1 ⑤a>b⇒a－b>0，a>b⇒a－b>0⇒ ab >0.因为 a－b>0，所 以 b－a<0.所以 ab<0. 又因为 a>b，所以 a>0，b<0，故该命题为真命题． 综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题．故选 C．
用中起着十分重要的作用．
本章，我们将学习不等关系的一些基本规律和一些相关的 数学模型，例如：基本不等式，线性规划等，并利用它们解决
一些简单的实际问题．
第三章
不等式
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知识线索：本章的主要内容有不等关系、一元二次不等式、 基本不等式、线性规划及其简单应用等基础知识． 不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方 程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域、值域
)
A 项不能传递下去， C 项不满足倒数不等式的条
件，D项只有a>b>0时才成立．故选B．
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4．若 a、b 是任意实数，且 a>b，则( A．a >b
2 2
)
b B．a<1
1 1 D．2a<2b
的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小
值问题，无一不与不等式有着密切关系．能够运用不等式的性 质，定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布的
问题，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学
问题．
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.
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[ 方法总结 ] 骤：
用不等式 ( 组 ) 表示实际问题中不等关系的步
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求
量； ②列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系 ( 即满足什 么条件)； ③列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的 关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
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第三章
不等式
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世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑，其中很多工程 师打破了对称美的传统形式，利用不等关系与不对称美的思想 设计了无数的经典之作．不等关系是客观世界中广泛存在的一 个基本关系，各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应
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某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本．根
据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2
000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销 售的总收入仍不低于20万元？
[解析]
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
∴f(x)≤g(x)．
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[答案] ×
×
√
√
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c c 1 1 < [解析] (1) a b⇒a<b， c>0 当 a<0，b>0 时，此式成立，推不出 a>b， ∴(1)错； (2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时， 命题显然不成立，∴(2)错； a>b>0 a b ⇒ > >0⇒ (3) c>d>0 d c ∴(3)对； (4)显然 c2>0，∴两边同乘以 c2，得 a>B．∴(4)对.
提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8
x－2.5 － 0.1 ×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为： x－2.5 (8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
第三章 §1 不等关系
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不等式的基本性质
用不等式表示不等关系 某 钢 铁 厂 要 把 长 度 为 4 000mm 的 钢 管 截 成
500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不
能超过 500mm钢管的 3倍．试写出满足上述所有不等关系的不 等式．
[分析]
应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①
两种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数 量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；③两种钢管的数量都不能 为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
a<b a<b 2 ⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2.故该命题 ③ ⇒a >ab， a<0 b<0 为真命题． ④a>b⇒－a<－b⇒c－a<c－B． 因为 c>a，所以 c－a>0.所以 0<c－a<c－B． 1 1 1 两边同乘以 ，得 > >0. c－ac－b c－a c－b a b 又因为 a>b>0，所以 > .故该命题为真命题． c－a c－b
对于实数 a、b、c，有下列命题 ①若 a＞b，则 ac＜bc； ②若 ac2>bc2，则 a>b； ③若 a<b<0，则 a2>ab>b2； a b ④若 c>a>b>0；则 > ； c－a c－b 1 1 ⑤若 a>b，a>b，则 a>0，b<0.
第三章
§1
不等关系
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作商比较法 乘方比较法 a a>0， b>0 且b>1⇒____ a>b ；a2>b2 且 a>0， a b>0⇒a>b a < b a>0，b>0 且b<1⇒____ 同号两数比较大小或 指数式之间比较大小 ①作商 ②变形 ③判断商值与 1 的大小 ④下结论 要比较的两 数(式)中有 根号 ①乘方 ②用作差比 较法或作商 比较法
购买火车票有一项规定：随同成
人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超 过 1.5m 的儿童，享受半价客票、加快
票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应
买全价票．每一成人旅客可免费携带 一名身高不足 1.1 米的儿童，超过一名 时，超过的人数应买儿童票．从数学 的角度，应如何理解和表示“不超
过”“超过”呢？
第三章 §1 不等关系
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3.常用的不等式的基本性质： (1)如果 a>b，c>d，则 a＋c________ b＋d； > (2)如果 a>b>0，c>d>0，则 ac________ bd； >
n (3)如果 a>b>0，则 an________ b (n∈N＋)； >
第三章 §1 不等关系
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1.在数学意义上，不等关系体现的几个方面．
常量与常量 之间的不等关系； (1)____________ 变量与常量 之间的不等关系； (2)____________ 函数与函数 之间的不等关系； (3)____________ (4)____________ 一组变量 之间的不等关系．
C．lg(a－b)>0
[答案] D
[解析] a>b 并不保证 a、b 均为正数，从而不能保证 A、 B 成立．又 a>b⇒a－b>0，但不能保证 a－b>1，从而不能保证 C 成立，显然只有 D 成立．事实上，指数函数 上是减函数，所以
1 1 a>b⇒2a<2b 成立．故选 1 y＝2x 在
其中真命题的个数是(
A．2 C．4 [答案] C [解析]
)
B．3 D．5
①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的
大小关系缺乏依据，故该命题是假命题．
②由ac2>bc2知c≠0，所以c2>0，所以a>b， 故该命题是真命题．
第三章
§1
不等关系
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第三章
Байду номын сангаас§1
不等关系
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b－a 1 1 1 1 ⑤a>b⇒a－b>0，a>b⇒a－b>0⇒ ab >0.因为 a－b>0，所 以 b－a<0.所以 ab<0. 又因为 a>b，所以 a>0，b<0，故该命题为真命题． 综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题．故选 C．
用中起着十分重要的作用．
本章，我们将学习不等关系的一些基本规律和一些相关的 数学模型，例如：基本不等式，线性规划等，并利用它们解决
一些简单的实际问题．
第三章
不等式
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知识线索：本章的主要内容有不等关系、一元二次不等式、 基本不等式、线性规划及其简单应用等基础知识． 不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方 程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域、值域