数学分析数列极限收敛数列的性质

满足: 存在 N 0 ,当 n N 0 时, 有 an cn bn , 则
{ cn } 收敛， 且 lim cn a .
n
证 对任意正数 , 因为 lim an lim bn a , 所以分
n
别存在 N1 , N 2 , 使得当 n N1 时 , a an ;
n n n
n
n
n
a (3) 若 bn 0, lim bn 0 , 则 n 也收敛，且 n bn an lim lim an lim bn . n b n n n
n n
n
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六、四则运算法则
定理2.7 若 {an } 与 {bn } 为收敛数列， 则 {an bn },
{ an bn }, { an bn } 也都是收敛数列, 且有
(1) lim an bn lim an lim bn ; (2) lim an bn lim an lim bn , 当 bn为常数 c 时,
若令 M max{ | a1 |,| a2 |,
,| an |,| a 1 |,| a 1 | },
则对一切 正整数 n , 都有| an | M .
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n {( 1 ) } 是有界的, 但却不收敛. 这就说 注 数列
明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条
件.
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n
当n N 2时, bn a . 取 N max{ N 0, N1, N 2 } ,
当 n N 时， a an cn bn a . 这就证得
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lim cn a .
n
n { 例2 求数列 n } 的极限.
解 设 hn n 1 0, 则 有 n( n 1) 2 n n (1 hn ) hn n 2 , 2 2 n 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n1 2 lim 1 lim 1 1, n n n 1 所以由迫敛性，求得 lim n 1 .
N1 , 当 n N1 时， 有 | an a | ; N 2 , 当 n N 2 时， 有
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(1)
| an b | .
( 2)
令 N max{N1 , N 2 }, 当 n > N 时 (1), (2)同时成立,
从而有
| a b | | an a | | an b | 2 . 因为 是任意的，所以 a b .
三、保号性
定理 2.4 设 lim an a , 对于任意两个实数 b, c ,
n
b a c , 则存在 N, 当 n > N 时, b an c .
证 取 min{ a b, c a } 0, N , 当 n N 时,
b a a n a c , 故 b an c . a a 注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 b ( 或 c ) , 2 2 a a 则 an 0 ( 或 an 0 ) . 2 2 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.
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四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
数 N 0 , 当 n N 0 时, 有 an bn , 则 lim an lim bn . n n ab 证 设 lim an a , lim bn b. 若 b a , 取 , n n 2 由保号性定理, 存在 N N 0 ,当 n N 时,
n n
这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 是严格不等式. 1 2 , 但 lim 1 lim 2 0 . 例如 , 虽然 n n n n n n
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五、迫敛性 (夹逼原理)
定理 2.6 设数列 {an }, {bn } 都以 a 为极限, 数列 {cn }
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1 0. 例1 证明 lim n n n!
(1 )n 证 对任意正数 , 因为 lim 0 , 所以由 n n!
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1
n!
n
1 1, 即 n . n!
1 这就证明了 lim n 0. n n!
§2 收敛数列的性质
本节首先考察收敛数列这个新概念有哪
些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.
一、惟一性 二、有界性 三、保号性 四、保不等式性 五、迫敛性(夹逼原理) 六、极限的四则运算 七、一些例子
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一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an } 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a , b 不能是 {an } 的极限 . 若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
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二、有界性
定理 2.3 若数列 { an } 收敛, 则 { an } 为有界数列，
即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,
n
.
证 设 lim an a , 对于正数 1, N , n N 时,有
| an a | 1, 即 a 1 an a 1 .
a b a b a b a b an a , bn b , 2 2 2 2
故 an bn , 导致矛盾 . 所以 a b .
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注 若将定理 2.5 中的条件 a n bn 改为 an bn , 也只能得到 lim an lim bn .