机器人运动学雅克比矩阵第8讲机器人的微分运动与速度
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? 雅可比（Jacobian）矩阵的求法与求导有关； ? 雅可比（Jacobian）矩阵具有重要的研究意义；
（一）雅可比矩阵的定义
? 把机器人关节速度向量 q?i 定义为：
q? ? ?q?1 q?2 ? ? q?n T
式中，q?i (1,2,? , n) 为连杆 i 相对于
i ? 1的角速度或线速度。
的速度输入变量。
? 当 J 不是方阵时，J ?1?q?是不存在的，可以用广义逆雅可
比矩阵来确定关节速度向量。
? 当 J 是方阵时，可对J 直接求逆，得到 J ?1?q?，但比较困
难。
? 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J ?1?q?。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系 X正向 以1.0m/s 的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ 1＝ 30°，θ 2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
x?B ? ?l1 sin ?1 ???1 ? l2 sin(? 2 ? ?1) ? (??2 ? ??1) y?B ? l1 cos ?1 ???1 ? l2 cos(?2 ? ?1) ? (??2 ? ??1)
例二、三自由度平面机械手
写成矩阵形式：
VA
?
?Vx ?
??Vy
? ?
?
?x?A ?
? ?
? ?
l1
cos?1
?
l2
cos(?
2
?
?1
)
? l2 sin(?2 ? ?1)?
l2
cos(? 2
?
?1)
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?
???????21
? ? ?
末端速度向量
雅可比矩阵J
关节速度向量
xB ? l1 cos?1 ? l2 cos(? 2 ? ?1) yB ? l1 sin ?1 ? l2 sin(? 2 ? ?1)
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
例一：两自由度平面机构
写成矩阵形式：
VB
?
?Vx ?
??Vy
? ?
?
?x?B ?
??y?B
? ?
?
?? l1 sin ?1 ? l2 sin(? 2 ? ?1)
不能用直接微分法求雅可比矩阵，应采用构造法。
（二）雅可比矩阵的构造法
? 矢量积法和微分构造法：V ? J ?q?? q? D ? J ?q?? dq
? 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6×n矩阵，其
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q?i 对手爪
? 在数学上，机器人终
端手爪的广义位姿向
量 V 可写成：
? x(q1 , q2 ,? , qn ) ?
? ?
y(q1 ,
q2
,?
,
qn
)
? ?
P
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????zx((qq11,,qq22,
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,
qn
)
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y
(q1
,
q2
,?
,来自百度文库
q
n
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? 对于转动关节 i
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Ji
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i pno ? oi Ri pn
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
逆雅可比矩阵
? 若给定机器人手爪的广义速度向量 V ，由式V ? J ?q?? q?
可解出相应的关节速度： q? ? J ?1?q??V J ?1?q?称为逆雅可比矩阵，q? 为加给对应关节进给伺服系统
y?A ? 0.8 cos?1 ???1 ? 0.4 cos(? 2 ? ?1) ? (??2 ? ??1) ? 0.5 cos(?3 ? ? 2 ? ?1 ) ? (??3 ? ??2 ? ??1 )
结论
? 雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械臂末端速度 和各关节速度之间的关系；
? 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它 与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运 动，关节变量是变化的，雅可比（ Jacobian）矩 阵也是变矩阵；
?
?1)
?
1 0.5
cos??(?
3?????3???2
?
?1)
手爪速度向量
yA ?雅0可.8s比in矩?1 ?阵0J.4 sin(? 2 ? ?1关) ?节0.5速si度n(?向3 ?量?2 ? ?1)
?? ? ??1 ? ??2 ? ??3
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0.8
θ
sin
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1
由图可知：
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角速度 ? 的传递比，因此将 J 分块为：
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Ji2 Ja2
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矢量积法构造雅可比矩阵
? 对于移动关节 i
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?
?zi ??0
??q?i , ?
Ji
?
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? 对左式求导，有：
（一）雅可比矩阵的定义
? 在机器人学中，雅可比矩阵是一个把关节 速度向量变换为手爪相对于基座标的广义 速度向量的变换矩阵。
? 在三维空间运行的机器人，J的行数恒为6； 在二维平面运行的机器人， J的行数恒为3； 列数则为机械手含有的关节数目。
（一）雅可比矩阵的定义
? 对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量
? 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
? ? V
?
?v?
???
? ?
?
x?
y?
z? ? x
?y
?z T
? q? 与 V之间的线性映射关系称为
雅可比矩阵J，即：
? x? ?
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x
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y z
? ? ?
?
?q?1 ?
J
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? ? ?
??q?n
? ?
（一）雅可比矩阵的定义
?x y ? ?T 容易确定，且方位? 与角运动的形成顺 序无关，可采用直接微分法求 J ，非常方便。
（一）雅可比矩阵的定义
? 直接微分法对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从
机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量 ?x y z?T
的显式方程，但找不到方位向量 ?? x ? y ? z ?T 的一般表达式。
（一）雅可比矩阵的定义
? 把机器人关节速度向量 q?i 定义为：
q? ? ?q?1 q?2 ? ? q?n T
式中，q?i (1,2,? , n) 为连杆 i 相对于
i ? 1的角速度或线速度。
的速度输入变量。
? 当 J 不是方阵时，J ?1?q?是不存在的，可以用广义逆雅可
比矩阵来确定关节速度向量。
? 当 J 是方阵时，可对J 直接求逆，得到 J ?1?q?，但比较困
难。
? 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J ?1?q?。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系 X正向 以1.0m/s 的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ 1＝ 30°，θ 2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
x?B ? ?l1 sin ?1 ???1 ? l2 sin(? 2 ? ?1) ? (??2 ? ??1) y?B ? l1 cos ?1 ???1 ? l2 cos(?2 ? ?1) ? (??2 ? ??1)
例二、三自由度平面机械手
写成矩阵形式：
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末端速度向量
雅可比矩阵J
关节速度向量
xB ? l1 cos?1 ? l2 cos(? 2 ? ?1) yB ? l1 sin ?1 ? l2 sin(? 2 ? ?1)
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
例一：两自由度平面机构
写成矩阵形式：
VB
?
?Vx ?
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?? l1 sin ?1 ? l2 sin(? 2 ? ?1)
不能用直接微分法求雅可比矩阵，应采用构造法。
（二）雅可比矩阵的构造法
? 矢量积法和微分构造法：V ? J ?q?? q? D ? J ?q?? dq
? 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6×n矩阵，其
前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q?i 对手爪
? 在数学上，机器人终
端手爪的广义位姿向
量 V 可写成：
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逆雅可比矩阵
? 若给定机器人手爪的广义速度向量 V ，由式V ? J ?q?? q?
可解出相应的关节速度： q? ? J ?1?q??V J ?1?q?称为逆雅可比矩阵，q? 为加给对应关节进给伺服系统
y?A ? 0.8 cos?1 ???1 ? 0.4 cos(? 2 ? ?1) ? (??2 ? ??1) ? 0.5 cos(?3 ? ? 2 ? ?1 ) ? (??3 ? ??2 ? ??1 )
结论
? 雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械臂末端速度 和各关节速度之间的关系；
? 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它 与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运 动，关节变量是变化的，雅可比（ Jacobian）矩 阵也是变矩阵；
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1 0.5
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手爪速度向量
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由图可知：
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? 对左式求导，有：
（一）雅可比矩阵的定义
? 在机器人学中，雅可比矩阵是一个把关节 速度向量变换为手爪相对于基座标的广义 速度向量的变换矩阵。
? 在三维空间运行的机器人，J的行数恒为6； 在二维平面运行的机器人， J的行数恒为3； 列数则为机械手含有的关节数目。
（一）雅可比矩阵的定义
? 对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量
? 手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
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（一）雅可比矩阵的定义
?x y ? ?T 容易确定，且方位? 与角运动的形成顺 序无关，可采用直接微分法求 J ，非常方便。
（一）雅可比矩阵的定义
? 直接微分法对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从
机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量 ?x y z?T
的显式方程，但找不到方位向量 ?? x ? y ? z ?T 的一般表达式。