两条平行线间的距离
数学知识点归纳之平行线间距离
数学知识点归纳之平行线间距离数学知识点归纳之平行线间距离在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的数学知识点归纳之平行线间距离，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
平行线间距离1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
2、性质：⑴ 两条平行线间的距离处处相等；⑵ 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。
希望上面对平行线间距离知识的总结学习，能很好的帮助同学们对此知识的巩固学习，相信同学们一定没问题的吧。
数学平行线知识点平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线（parallel lines），平行线具有传递性。
平行线的判定方法1.平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.内错角相等，两直线平行。
5.同旁内角互补，两直线平行。
6.同位角相等，两直线平行平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补4. 两条平行线被第三条直线所截，外错角相等以上性质可简单说成：1.两条直线平行，同位角相等2.两条直线平行，内错角相等3.两条直线平行，同旁内角互补4.两条直线平行，外错角相等平行公理1.在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：（平行传递性）1.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即平行于同一条直线的两条直线平行。
2.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
《相交线与平行线》的知识点归纳一、目标与要求同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
高一数学必修二两条平行线间的距离公式
择恰当的点，最好选 择坐标为整数的点。
l1: 2x-7y-8=0
3、利用点到直线的距离公式求解。
应用新知
求下列两条平行直线间的距离：
（1）2x+3y-8=0
2x+3y+18=0
d | 2 4 7 0 18 | 26 13 2 13
22 32
13
（2）3x+4y=10
3x+4y=0
点到直线的距离
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
练习
d |12 (5) 5 7 3 | 22
12、. 求求点点BA((-d-52，，d73|))3到到|2直直(线2线2121322(2)x2x1+1+)24554y21y+0+|333==7005的3的51|3距距离离9..
22 (7)2
53
所以平行线l1与l2的距离为
12 53 53
应用新知
例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0试
判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距
离。
y
分析：
l2:6x-21y-1=0
Байду номын сангаас
1、判断两线平行应 分别求出它们的斜率。 2、在一条直线上选 o
d
x
A
16
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
(湘教版)七年级数学下册：4.6《两条平行线间的距离》教学设计
(湘教版)七年级数学下册：4.6《两条平行线间的距离》教学设计一. 教材分析《两条平行线间的距离》是湘教版七年级数学下册第4.6节的内容。
本节主要让学生理解两条平行线间的距离的概念，掌握求两条平行线间距离的方法，并能运用其解决实际问题。
教材通过生活中的实例，引出两条平行线间的距离，接着介绍垂线段和垂线段的性质，最后讲解平行线间的距离的求法。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了平行线的性质，对平行线有一定的认识。
但是，对于两条平行线间的距离的概念和求法还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例，让学生直观地理解两条平行线间的距离，再通过操作和练习，让学生掌握求两条平行线间距离的方法。
三. 教学目标1.理解两条平行线间的距离的概念，掌握求两条平行线间距离的方法。
2.能运用两条平行线间的距离解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.两条平行线间的距离的概念。
2.求两条平行线间距离的方法。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实例，让学生直观地理解两条平行线间的距离。
2.动手操作：让学生亲自动手操作，加深对两条平行线间距离的理解。
3.练习巩固：通过练习题，让学生巩固所学知识。
4.实际应用：让学生解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示实例和练习题。
2.练习题：准备相关的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：直尺、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实例，如教室里的墙壁和桌面，让学生直观地理解两条平行线间的距离。
2.呈现（10分钟）讲解两条平行线间的距离的概念，以及求两条平行线间距离的方法。
利用PPT和实物，让学生理解垂线段和垂线段的性质。
3.操练（10分钟）让学生亲自动手操作，用直尺和三角板画出两条平行线间的距离，并测量长度。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生回答问题，巩固所学知识。
点到直线的距离、两条平行线间的距离 课件
法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点． ∵直线AB的斜率kAB＝4， 若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1， 故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.
点到直线的距离 两条平行线间的距离
点到直线的距离与两条平行线间的距离
定义 公式
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
点 到 直 线 的 垂 线 夹在两条平行直线间公垂
段的长度
线段的长度
点 P0(x0，y0)到直 两条平行直线 l1：Ax＋By 线 l：Ax＋By＋C ＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2
点到直线的距离
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解] (1)直线 y＝34x＋14化为一般式为 3x－4y＋1＝0，由 点到直线的距离公式可得 d＝|3×3－324＋×－－422＋1|＝158.
(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|－2－6|＝8.
由题意，得|C1－3 6|＝2， 所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝ 52|＋C－－6|122， 解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.
(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离 d＝|3－4|＝1.
[类题通法] 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般 式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适 用．
最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》
3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。
(湘教版)七年级数学下册：4.6《两条平行线间的距离》说课稿
(湘教版)七年级数学下册：4.6《两条平行线间的距离》说课稿一. 教材分析《两条平行线间的距离》是湘教版七年级数学下册第4章第6节的内容。
本节课主要介绍两条平行线间的距离的概念及其求法。
通过本节课的学习，学生能够理解两条平行线间的距离的含义，掌握求两条平行线间距离的方法，并为后续学习几何图形的面积打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行线的性质，具备了一定的几何直观能力。
但部分学生对概念的理解可能还不够深入，对求两条平行线间距离的方法可能还不太熟悉。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解两条平行线间的距离的概念，掌握求两条平行线间距离的方法。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何直观能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：两条平行线间的距离的概念及其求法。
2.教学难点：对两条平行线间距离的理解，以及在不同情况下求距离的方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、直观演示法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个现实生活中的问题，引出两条平行线间的距离的概念。
2.自主学习：学生通过阅读教材，理解两条平行线间的距离的含义。
3.合作探究：学生分组讨论，探索求两条平行线间距离的方法。
4.教师讲解：针对学生的探究结果，进行讲解和总结，明确两条平行线间距离的求法。
5.练习巩固：学生独立完成课后练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
七. 说板书设计板书设计如下：两条平行线间的距离1.概念：两条平行线之间最短的距离。
（1）利用平行线的性质，转化求解。
（2）利用几何画板或实物模型，直观演示。
八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
湘教版七年级数学下册课件-两条平行线间的距离
7.如图是山坡上两棵树,你能量出他们之间的距离吗?
拓展提升
1.如图1，MN∥AB, P、Q为直线MN上的任意两点， ΔPAB和ΔQAB的面积相等吗？为什么？ 相等
MP
Q
N
MP
P• 1
N
a cm2
A
图1 B
A 图2
B
2.如图2，MN∥AB, P是MN上的一动点，P沿MN的方 向每次移动1cm,当它移动10cm 时得到ΔP1AB,那么
A两平行线的距离 B点到直线的距离 C 点到点的距离
情境引入
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为 了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作， 你应该怎样确定两条铁轨平行呢？
讲授新课
两条平行线间的距离 活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本， 它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？ 量在课本的哪个位置？大家量得的 结果是一样的吗？
_____. a
b m
AC
E
m
┒ n ⑴
┒ n
BD F⑵
合作探究
活动2：请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a 上，任意取两点A、B.然后量出点A、B到直线b的距离， 并加以比较，你能得到什么结果？
A
Ba
b
C
D
AC＝DB
a
b
活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移 动，请观察三角尺的另一条直角边与直线a交点 处的刻度，问：刻度有改变吗？
优质 课件
七年级数学下（XJ） 教学课件
第4章 相交线与平行线
4.6 两条平行线间的距离
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.掌握公垂线段的概念及其性质； 2.会求平行线段的距离. （重点）
两条平行线间的距离公式
两平行线间距离公式
详细描述
两平行线间的距离可以通过公式d = |C2 - C1| / sqrt(A² + B²)来求解，其中A、B、C1和C2分别是两条平行线的 系数。
求解两平行线间的中点坐标
总结词
中点坐标公式
详细描述
利用平行线间的距离公式，结合中点坐标公式(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)，可以求解两平行线 间的中点坐标。其中，(x1, y1)和(x2, y2)是两条平行线的坐标。
因此，我们可以设两平行线上的任意 两点为(x1, y1)和(x2, y2)，其中y1 = mx1 + c1，y2 = mx2 + c2。
接着，我们利用勾股定理计算出两点 的垂直距离的平方，即d² = (x2 x1)² + (y2 - y1)²。
最后，将y1和y2的表达式代入上式， 经过化简后得到d = |c2 - c1| / ||a| + |b||。
02
公式应用
求解点到直线的距离
总结词
点到直线距离公式
详细描述
使用两条平行线间的距离公式，可以求解一个点到一条直线的最短距离。公式 为d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A² + B²)，其中(x0, y0)为点的坐标，Ax + By + C = 0为直线的一般式。
求解两平行线间的距离
03
公式注意事项
公式适用条件
平行线必须是在同一平面内。 两条平行线不能重合。
平行线间不能有任何形式的交叉或交点。
公式使用时的注意事项
确保输入的参数是正确的，包 括两条平行线的斜行。
高一数学两条平行线间的距离
必修2
3.3.4《两条平行线间的距离》
教学目的
• 使学生理解什么是两条平行直线间 的距离，会将直线间的距离转化为 点到直线的距离来求解。 • 教学重点：将直线间的距离转化为 点到直线的距离来求解两条平行直 线间的距离。 • 教学难点：两平行直线间的距离的 求法。
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P0到直线l的距离呢?
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:
[思路一] 利用两点间距离公式:
y
P
l
Q
o
x
[思路二] 构造直角三角形求其高.
l2
l2:Ax+By+C2=0
的距离是
d
C1 - C2 A B
2 2
练习3
1.平行线2x+3y-8=0和2x+3y+18=0的距离是______
2.两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是____.
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
d=
Ax0 + By0 + C A 2 + B2
y
R Q P(x0,y0)
O
S
L:Ax+By+C=0
x
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d
| Ax0 By 0 C | A B
两平行线之间的距离
距离公式的几何意义
点到直线的距离
01
两平行线之间的距离实际上是任意一点到其中一条直线的垂直
距离。
平行四边形的性质
02
两平行线之间的距离等于平行四边形的高，而这个高也是平行
四边形的对角线的一半。
三角形的中位线性质
03
在三角形中，中位线与相对边平行且等于相对边的一半，而中
位线的长度就是两平行线之间的距离。
平行线的性质
性质1
性质2
同位角相等：两条平行线被一条横截线所 截，同位角相等。
内错角相等：两条平行线被一条横截线所 截，内错角相等。
性质3
性质4
同旁内角互补：两条平行线被一条横截线 所截，同旁内角互补。
平行线间的距离处处相等：两条平行线被 一条横截线所截，那么这两条横截线到各 自直线的距离是相等的。
THANKS
感谢观看
在工程学中的应用
机械零件设计
建筑设计
在机械设计中，两平行线之间的距离 常用于确定零件的尺寸和位置，以确 保机械运转的准确性和稳定性。
在建筑设计中，两平行线之间的距离 用于确定墙体的位置、窗户的高度等， 以确保建筑结构的稳定性和美观性。
电路板布线
在电子工程中，两平行线之间的距离 是电路板布线的重要参数，它决定了 信号传输的质量和稳定性。
02
两平行线之间的距离公式
距离公式的推导
平行线性质
两平行线之间的距离与它们的方 向向量成正比，与它们之间的垂
直距离成反比。
距离公式推导
基于平行线性质，通过向量运算和 几何变换，推导出两平行线之间的 距离公式。
公式形式
$d = frac{|c_2 - c_1|}{sqrt{a^2 + b^2}}$，其中$a, b$是直线方向向 量的分量，$c_1, c_2$是直线方程 $ax + by + c = 0$中的常数项。
两条平行线间的距离公式
两条平行线间的距离公式平行线是指在同一平面上，方向相同且不相交的两条直线。
在数学中，我们可以通过一些几何知识来计算平行线之间的距离。
下面，我将介绍几种计算平行线距离的方法。
1.垂直距离法这是一种常见且简洁的方法，通过从平行线上任意取两点，然后在两条平行线上分别作垂线，再取这两条垂线之间的距离即为平行线之间的距离。
这个方法基于这样一个事实：两条平行线间的任意一条垂线长都相等。
通过这个方法可以得到平行线间的距离公式：距离=公共垂线的长度2.过中点垂线法这种方法适用于已知平行线上两点的坐标的情况。
假设我们有平行线上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中A位于B的左边。
我们可以计算出这两个点的中点坐标M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，然后作从点M到直线上的垂线，这条垂线也将是平行线的垂线。
我们可以通过初始垂线长度h来表示平行线之间的距离，然后根据两个垂线与X轴的夹角θ来计算距离。
距离公式如下：距离= h * cosθ3.向量法通过向量的概念也可以计算平行线之间的距离。
假设两条平行线的方向向量分别为A和B，且这两个向量是平行的。
我们可以通过计算这两个向量的叉积来得到平行线的法向量C，再通过在平行线上任选一点P的坐标与法向量的点积计算出距离。
具体计算公式如下：距离=，(P-A)·C，/，C其中，·，表示向量的模，·表示点积运算。
4.解析几何法如果我们已知平行线的解析方程，可以直接根据解析方程计算出平行线之间的距离。
假设我们有两条平行线的解析方程分别为y=m1x+c1和y=m2x+c2，其中m1和m2分别为两条平行线的斜率，c1和c2为截距。
我们可以通过两线的截距的差值除以斜率之差来计算出平行线之间的距离。
公式如下：距离 = ，c2 - c1， / sqrt(1 + (m2 - m1)^2)通过上述方法，我们可以根据所具体的情况选择合适的计算平行线之间距离的公式。
第2章2.3.4 两条平行线间的距离 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册(共31张PPT)
思考 3：两条平行直线间的距离公式写成 d＝ |CA1－2＋CB22| 时对两条直线应有什么 要求？
[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．
跟踪训练
跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B. 2 13
C. 5 13
D. 7 10
∴由两点式方程得对角线方程为：－y1－52－0 0＝15x＋＋11，即 2x＋y＋2＝0.
由x3＋x－3yy－－53＝＝00， 可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(－1,0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：65y－－00＝75x＋＋11，即 x－2y＋1＝0. 综上可知正方形的两条对角线方程为 x－2y＋1＝0 或 2x＋2y＋2＝0.
【解析】 ∵与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得 52＋|b－－6|122＝3， 解得 b＝45 或 b＝－33. ∴所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
当堂检测
1．平行直线 l1：3x－y＝0 与 l2：3x－y＋ 10＝0 的距离等于( )
A．1
B．0
C． 10
D．3
【答案】A [l1、l2 的距离为 d＝| 3120＋－102|＝1.选 A.]
2．分别过点 A(－2,1)和点 B(3，－5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直 线间的距离是________．
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0， l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5， 它们之间的距离为 5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5.
3.3.4《两条平行线间的距离》课件(新人教A版必修2)
| 1 0 4 | 1 1
2 2
5
两条平行直线间的距离：
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两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 y l1 的公垂线段的长. P 两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与 Q o x
l2
l2:Ax+By+C2=0
的距离是
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
d =
Ax
0
+ By A
2
0
+ C
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d = C A
1 2
- C
2 2
+ B
10
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P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By 0 C | A B
2 2
练习2
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是.
A
h
1 2
| A B | h
2
( 3 1 ) (1 3 )
2
2
AB 边上的高
h 就是点 C 到 AB 的距离
C O
两条平行线间的距离公式
总结词
两平行线间的距离是指两条平行线之间的垂 直距离。
详细描述
两平行线间的距离公式为 d = |C2 - C1| / sqrt(A^2 + B^2)，其中 A*x + B*y + C1 = 0 和 A*x + B*y + C2 = 0 是两条平行线 的方程。
点到平面的距离计算
要点一
总结词
点到平面的距离是指一个点到平面在垂直方向上的投影长 度。
公式扩展
向量形式
总结词
向量形式是距离公式在向量空间中的扩展，它利用向量的性质来计算两点之间的距离。
详细描述
在向量空间中，任意两点A和B可以表示为向量$vec{AB}$，其模长即为两点之间的距 离。当A和B分别位于两条平行线上时，可以通过向量形式的距离公式计算出这两条平
行线间的距离。
二维空间形式
总结词
05
公式实例
点到直线的距离计算
总结词
点到直线的距离是指一个点到一个直线在垂直方向上的投影长度。
详细描述
点到直线的距离公式为 d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)，其中 (x0, y0) 是点的坐标，Ax + By + C = 0 是直线的方程。
两平行线间的距离计算
公式
可以通过平行线间的距离公式进行推导，得到点到 平面的距离公式。
应用
在三维几何中，点到平面的距离是重要的几 何量，可以用于解决与平面相关的各种问题 ，如体积计算、空间几何等。
03
公式注意事项
适用条件
01
平行线必须是在同一平面内，且没有其他图形（如三角形、圆 形等）相交或相切。
初中数学两条平行线之间的距离知识点讲解
初中数学两条平⾏线之间的距离知识点讲解
来源：京翰1对1
两条平⾏线之间的距离：
是指从两条平⾏直线中的⼀条直线上的⼀点作另⼀条直线的垂线段的长;
注：
①能表⽰两条平⾏线之间的距离的线段与这两条平⾏线都垂直;
②平⾏线的位置确定之后，它们之间的距离是定值，它不随垂线段位置的改变⽽改变;
③平⾏线间的距离处处相等。
三种距离定义：
1.两点间的距离——连接两点的线段的长度;
2.点到直线的距离——直线外⼀点到这条直线的垂线段的长度;
3.两平⾏线的距离——两天平⾏线中，⼀条直线上的点到另⼀条直线的垂线段长度。
两直线间的距离公式：
设两条直线⽅程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)
推导：两平⾏直线间的距离就是从⼀条直线上任⼀点到另⼀条直线的距离，设点P(a,b)在直线Ax+By+C1=0上，
则满⾜Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1,由点到直线距离公式，P到直线Ax+By+C2=0距离为
d=|Aa+Bb+C2|/√(A²+B²)=|-C1+C2|/√(A²+B²)
=|C1-C2|/√(A²+B²)。
湘教版七年级数学下册4.6两条平行线之间的距离
A
a
5cm
Bb
2cm
C
c
(1)直线c在直线的外侧， 解答同例题，AC=7cm.
(2)直线c在平行线a，b之间。 如图可得： AC=AB-BC=5-2=3(cm).
A
a
C 5cm c
2cm B
b
1.我们这节课学习了哪些概念？ 公垂线：与两条平行线都垂直的直线。 公垂线段：在公垂线上，两垂足间的线段。 两平行线间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
5.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，点E是线段AB上 一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F。若AB 与CD的距离等于10，BE=1，求三角形AEF的面积。
【解析】连接BD，由两平行线间的距离相等得出 三角形ADF的面积等于三角形ADB的面积，进而得 出三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积为5.
用平移性质可以证明我们的结论是对的。
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫做 两条平行线间的距离.
A
M
Cபைடு நூலகம்
N
图中MN是两平行线
B AB，CD的公垂线段，则 D MN的长度叫做两条平行
线AB与CD间的距离.
探究
如图，AB∥CD，PE是AB上一点P到直线CD的距 离。那么平行线AB与CD间的距离等于点P到直线CD 的距离吗？
第4章 相交线与平行线
学习 标
➹理解概念：公垂线、公垂线段、两平行线间的距离； ➹理解并掌握两平行线间的公垂线段都相等； ➹理解两平行线间的距离等于其中一条直线上一点到
另一条直线的距离； ➹学会作两平行线间的距离，能根据图形求两平行
线间的距离及相关的面积问题。
七年级数学下册《两条平行线间的距离》教案、教学设计
针对以上学情，教师在教学过程中应注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的几何素养。同时，关注学生的情感需求，激发学生的学习兴趣，使他们在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高技能。
三、教学重难点和教学设想
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何概念和运算方法。在此基础上，他们对本章节《两条平行线间的距离》的学习有以下特点：
1.学生对平行线的概念已有初步了解，但判定方法尚需巩固；
2.对距离的概念较为熟悉，但涉及到具体计算两条平行线间的距离时，可能存在一定的困难；
3.学生的空间想象能力和逻辑思维能力有待提高，对几何问题的解决方法需要进一步引导和训练；
4.课堂练习，提高能力
设计不同难度的练习题，让学生在课堂上独立完成。针对学生的完成情况，教师进行针对性讲解，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.知识拓展，提升素养
结合教学内容，引入与平行线距离相关的实际应用问题，让学生运用所学知识解决问题，提高学生的几何素养和解决问题的能力。
6.总结反思，提炼方法
教师提供几何画板等教学工具，让学生观察两条平行线间的距离，引导学生发现距离的性质。在此基础上，组织学生进行小组讨论，总结两条平行线间距离的计算方法。
3.例题讲解，巩固知识
教师精选典型例题，详细讲解解题思路和步骤，让学生在理解例题的基础上，掌握距离的计算方法。同时，鼓励学生分享自己的解题方法，培养学生的发散思维。
五、作业布置
为了巩固本节课所学内容，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）课本P68页练习题1、2、3，要求学生运用课堂所学的距离计算方法进行解答，注意解题步骤和格式规范。
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(3)根据题意,可求出三角形QBC的面积为:
__12___B_C__1_2___12__2___12___1_2__cm__2_._
答:三角形QBC的面积为1_2__cm2.
【总结提升】 1.在求两平行线间的距离时,一般要把问题转化到点到直线的距 离. 2.在两平行线中的一条直线上选择一个点,然后过该点作另一条 平行线的垂线,这一点和垂足之间的线段就是两平行线的公垂线 段.
题组:利用公垂线段的性质解题 1.点P,M分别在直线AB和直线CD上,且AB∥CD,点P到CD的距离为 5cm,则点M到AB的距离为( )
A.大于5 cm C.5 cm
B.小于5 cm D.不确定
【解析】选C.因为点P到CD的距离为5cm,所以两平行线AB和 CD的距离为5cm,点M到AB的距离也等于两平行线的距离.
8.木工师傅要检验一块长方形木板的一组对边是否平行,先用 直角尺的一边紧靠木板边缘,读出与这边相对的另一边缘在直 角尺上的刻度,换一个位置再读一次.试问这两次的读平行,又直角尺两次位置平 行,由两平行线间的平行线段长度相等得读数相等.
9.作图题: 如图已知直线l和线段a,现在要作一条直线m,使l与m的距离为a, 这样的直线一共可以作几条?请你作出一条(不写作法,保留作 图痕迹).
4.6 两条平行线间的距离
1.熟记公垂线及公垂线段的概念.(重点) 2.能运用平行线公垂线段的性质解决问题.(难点) 3.理解两条平行线间距离的概念,并且会求其大小.(重点、难 点)
一、公垂线及公垂线段 1.公垂线:与两条_平__行__直线都_垂__直__的直线. 2.公垂线段:连接公垂线两个_垂__足__的_线__段__. 3.性质:两条平行线的所有公垂线段都_相__等__. 二、两条平行线的距离 两平行线的_公__垂__线__段__的_长__度__.
2.在同一平面内,有公垂线的两条不同直线的位置关系是( )
A.平行
B.垂直
C.相交
D.无法确定
【解析】选A.如图l3是l1,l2的公垂线,则∠1=∠2=90°,所以l1∥l2.
3.在同一平面内,与已知直线的距离等于4cm的直线有( )
A.一条
B.两条
C.无数条
D.不能确定
【解析】选B.在同一平面内,与已知直线的距离等于4cm的直
(打“√”或“×”) (1)垂直于同一直线的两条直线称为公垂线.( × ) (2)两条平行线间的所有公垂线段相互平行.( √ ) (3)两平行线间的距离是5cm,即其公垂线的长度为5cm.( × ) (4)两平行线中,其中一直线上任意一点到另一直线的垂线段的 长度,就是两平行线的距离.( √ )
知识点 利用公垂线段的性质解题 【例】如图,MN∥AB,P,Q为直线MN上的任意两点,C是直线AB上 的一点,并且AB=4cm,BC=2cm,三角形PAB的面积为24cm2,求 △QBC的面积.
【解析】两条. 如图所示:
同理在l的另一侧还可以作一条, 故一共可以作两条直线m.
【想一想错在哪？】如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的 位置变化时,△ABC的面积将( )
A.变大 C.不变
B.变小 D.变大变小要看点C向左还是向右移动
提示:没正确分析△ABC面积与AB及两平行线的距离的关系.
4cm,则l1与l3之间的距离为
cm.
【解析】若l1和l3分别在l2的两侧,则l1与l3的距离为3+4=
7(cm);若l1和l3在l2的同侧,则l1与l3的距离为4-3=1(cm).
答案:7或1
6.已知三角形ABC的面积为15cm2,AC=5cm,直线DE过点B且平行
于AC,则DE与AC之间的距离为
【解题探究】(1)通过三角形PAB的面积和AB=4cm,能否求出三 角形PAB中AB边上的高? 提示:能求出.设该边上的高为h,则 ×14×h=24,所以h=12cm.
2
(2)点Q到BC的距离是多少? 提示:点Q到BC的距离就是点P到BC的距离,即两平行线间的距离, 故点Q到BC的距离是12cm.
线有两条,分别在这条直线的两侧.
4.如图,在面积为12cm2的长方形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,则AD 与BC之间的距离为( )
A.3 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.不能确定
【解析】选A.AB是AD与BC之间的公垂线段,即AD与BC之间
的距离为AB的长度.
5.已知l1∥l2∥l3,l1与l2之间的距离为3cm,l2与l3之间的距离为
.
【解析】DE与AC之间的距离就是三角形ABC底边AC边上高线的
长度,设此高长为xcm,则 1×5×x=15,解得x=6.
2
答案:6cm
7.如图,直线AB∥CD∥EF,AP与EP分别平分∠BAC和∠FEC,则AB 与CD之间的距离和EF与CD之间的距离相等吗?请说明理由.
【解析】相等.理由如下:作PM⊥AB于点M,PN⊥EF于点 N,PQ⊥AE于点Q.因为AP平分∠BAC,所以PM=PQ,同理,可得 PN=PQ.所以PM=PN,所以AB与CD之间的距离和EF与CD之 间的距离相等.