第7讲 二次根式

第七讲 二次根式

一．知识要点

1．二次根式的定义：形如a (a ≥0)的式子，叫做二次根式； 思考：你认为二次根式与 接近．

2．二次根式有意义的条件： ．

反之，二次根式无意义的条件： ．

3．二次根式的性质：① ；② （双重非负性）

4．最简二次根式：① ；

② ．

5．同类二次根式：几个二次根式化简后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 议一议：下列各组数，是同类二次根式吗？

(1)8 与 32 （2）12-与27- （3）23

与 24

合并同类二次根式：（类似于合并同类项）① ；② ； 如：28222(12)22-=-=-=-

6．二次根式（a ）的性质

2)a a =（0a ≥）

文字语言叙述为： ．

注：二次根式的性质公式2)a a =（0a ≥）是逆用平方根的定义得出的结论．上面的公式也可以反过

来应用：若0a ≥，则2a a =，如：222)=，21

1)22

=．（可理解为： ） 7．二次根式的性质

2a = =⎧⎪⎨⎪⎩

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．

☆注：（12a 时，一定要弄明白 是正数还是负数；若是正数或0，则等于 本身，即 ；若a 是负数，则等于 ．,即 ；

（22a a 的取值范围可以是 ，即不论a 2a 一定 ；

8．2()a 2a

（1）不同点：2a 2a 2()a 表示一个正数a 2

a 表示一个实数a 的平方的算术平方根；在2)a 中0a ≥，2a a 可以是正实数，0，负实数．但2)

a 2a 2)0a ≥20a ≥．因而它的运算的结果是有差别的，2(0)a a a =≥ ，而

（2）相同点：当被开方数都是非负数，即0a ≥时， ；

0a <时， .

9．二次根式的运算：

（1(,)a b a b =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽(,)ab a b =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽，

（2(,)a a b b =⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽(,)a a b b

=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽； （注意：不要忽略公式成立的条件）

☆：请试着用语言叙述上面的公式．

10．二次根式的混合运算：

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；

11．分母有理化：

（1）有理化因式： ．有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：a a a =来确定，如：a ⎽⎽⎽⎽与，a b +⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽与，b a -与⎽⎽⎽⎽⎽⎽等分别互为有理化因式．

②两项二次根式：利用平方差公式来确定．如a b +与⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽，a b ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽与，a x b y ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽与分别互为有理化因式．

（2）分母有理化： ；

分母有理化的方法与步骤：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式．

二．专题训练 类型一．利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a ，a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数．）

例1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）．

A ．．3-；

B ．x ；

C ．12+x ；

D ．1-x

例2．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义．

（1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1

213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 ．

（7）若131

3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 ． 类型二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a 来解题

例1．

2x =-，那么x 的取值范围是 ．

例2．若a <0，则a

a 22

等于 ． 例3

3,=则m=_ ___.

类型三．二次根式的化简与乘除

例1．化简

____;____;____;

==

=____;

==

___;___;___;===

注意：二次根式化简的结果必须是最简二次根式.

例2．化简 （1

（2

（3

）21) （4）

（5（6 （7）20082009(2(2+⨯-

例3．把下列各式化成最简二次根式：

（1）8

33 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x + )12)(12(-+

2例4．计算下列各题：

（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅； （3）a

c c b b a 53654⋅⋅

（4）24

182 （5）－545321÷ （6）)(23522c ab c b a -÷

类型四．二次根式的加减

例1．下列各式中哪些是同类二次根式：

（1）75，

271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a 323c b a ，4c

ab ，bc a

例2．计算 （1）25051122183133++-- （2）)254414()3191(3323y y x x y y x x +-+

类型五．分母有理化

例1．找出下列各式的有理化因式

例2．把下列各式分母有理化

(

1

（3

(6))

a x a >