华侨大学考研试题723数学分析(A)(2015年~2016年)
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招生专业
华侨大学 2015 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
基础数学
科目名称 数学分析
科目代码 723
一、求下列极限及积分（本大题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）
( ) 1+x − 1−2x
（1） lim 1 − sin 2x x2 ；
（2） lim
1 + x sin x − cos 2x
1．
lim
x0
e
x
sin
x
x3
x(1
x)
.
1
2. lim x[(1 x) x e] . x0 1 cos 2x
三．计算下列积分（本题共 5 小题，其中第 1 小题 6 分，第 2、3、4、5 小题各 10 分，共计 46 分）
1 . 1 x2 dx .
2.
1
arct an(1
x)dx .
x y
1 t
t t
2 2
在对应 t
2 点处的法线方程：
.
1
1 x 2
4．交换积分次序 dx 1x2 f (x, y)dy = 0
.
2
5．函数 f (x, y, z) x2 y2 z2 在点 P0 (1,2,3) 处沿方向 l (2,2,1) 的方向导数为
.
二．求下列极限（本题共 2 小题，其中第 1 小题 8 分，第 2 小题 10 分，共计 18 分）
3.
ex e2x dx .
0
0
x
4． sin x dxdy ，其中 D 是由直线 y x 及抛物线 y x2 所围区域. Dx
5. ydydz xdzdx z 2dxdy ，其中曲面 S 为锥面 z x2 y2 被平面 z 1, z 2 所截部分并取
S
外侧.
四、（12 分）求幂级数 3n 2n x n 的收敛域及和函数.
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2
招生专业
华侨大学 2016 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
基础数学
科目名称
数学分析(A)
科目代码 723
一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
x2
1.
lim
x
1
1 x
x
y
=
.
2.
lim
0
1
1
1 x2
2
dx
=
.
y4
3.
写出曲线
；
x→0
x→0
x sin x
1
（3） lim
x→0
sin x
x
+
2+ex
4
1+ ex
；
（4） ∫ x2 ln xdx ；
∫ 64
（5）
1
dx .
1 x +3 x
二、（本大题满分 10 分）
设 =x1
2, xn=+1
2+
xn
，n
= 1,2, ，试证： lim n→+∞
xn
Βιβλιοθήκη Baidu
存在并求其极限值.
三、（本大题满分 13 分） 证明：函数 f (x) = 1 在[a, + ∞) 上一致连续（其中常数 a > 0 ），但在 (0,1) 上不一致连续.
九、（本大题满分 10 分）
∑∞ (x −1)n
求幂级数
的收敛域及和函数.
n=1 n ⋅ 2n
十、（本大题满分 10 分）
∫ 证明：含参量积分 +∞ e−x2y dy 在[a, b] 上一致收敛（其中 b > a > 0 ）. 0
十一. （本大题满分 10 分） 叙述魏尔斯特拉斯聚点定理并用闭区间套定理证明之.
x2
y2
,
x2
y2
0,
在原点连续，但在原点不可微.
0,
x2 y2 0.
九、（8 分）证明：含参量反常积分 sin xydy 在[a, ）(a 0) 上一致收敛但在 (0, ) 上不一
0y
致收敛.
十、（8 分）请用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的零点定理.
共2 页 第2 页
x
四、（本大题满分 10 分）
设 y 是由方程 ln
x2
+
y2
= arctan
y x
确定的
x
的函数，求
d2y dx2
.
五、（本大题满分 12 分）
证明：函数
f
(x,
y)
=
x2 y
x2
+
y2
,
x2
+
y2
≠
0,
在原点连续且偏导数存在，但在原点不可微.
0,
x2 + y2 = 0.
六. (本大题满分 15 分)
S x
x
1
1 2n
,
n
N
的上确界”.
七 、（8 分） 设函 数 f (x) 在 [a, b] 上 可微 且 a b 0 ， 证明 ：至 少存 在一 点 (a, b) ， 使得
f (b) f (a) ln b f ( ) . a
八、（10 分）证明：函数
f
(x,
y)
x2y
n1 n
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招生专业
基础数学
科目名称
数学分析(A)
科目代码 723
五、（12 分）用 语言证明：函数 f (x) cos 1 在区间[a,) 上（其中常数 0 a 1）一致连 x
续，但在区间 (0, 1] 上不一致连续.
六 、（ 8 分 ） 写 出 “ 数 为 非 空 数 集 S 的 上 确 界 ” 的 定 义 ， 并 用 定 义 验 证 “ 数 1 是 集 合
∫∫ 计算二重积分 sin x dxdy ，其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y = x2 所围区域.
Dx
八、（本大题满分 10 分）
∫∫ 求 I = xdydz + ydzdx + (z 2 − 2z)dxdy ，其中曲面 S 为锥面=z S
部分并取外侧.
x2 + y2 被平面 z = 0, z = 1所截
设曲线 y = ax 2 (a > 0, x ≥ 0) 与 y = 1 − x 2 交于点 A ，过原点 O 与 A 的直线与曲线 y = ax 2 围成一平
面图形，求①此平面图形面积；②当 a 为何值时，该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最大，
最大为多少？
1
招生专业
基础数学
科目名称 数学分析 科目代码 723 七、（本大题满分 10 分）
华侨大学 2015 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
基础数学
科目名称 数学分析
科目代码 723
一、求下列极限及积分（本大题共 5 小题，每小题 8 分，满分 40 分）
( ) 1+x − 1−2x
（1） lim 1 − sin 2x x2 ；
（2） lim
1 + x sin x − cos 2x
1．
lim
x0
e
x
sin
x
x3
x(1
x)
.
1
2. lim x[(1 x) x e] . x0 1 cos 2x
三．计算下列积分（本题共 5 小题，其中第 1 小题 6 分，第 2、3、4、5 小题各 10 分，共计 46 分）
1 . 1 x2 dx .
2.
1
arct an(1
x)dx .
x y
1 t
t t
2 2
在对应 t
2 点处的法线方程：
.
1
1 x 2
4．交换积分次序 dx 1x2 f (x, y)dy = 0
.
2
5．函数 f (x, y, z) x2 y2 z2 在点 P0 (1,2,3) 处沿方向 l (2,2,1) 的方向导数为
.
二．求下列极限（本题共 2 小题，其中第 1 小题 8 分，第 2 小题 10 分，共计 18 分）
3.
ex e2x dx .
0
0
x
4． sin x dxdy ，其中 D 是由直线 y x 及抛物线 y x2 所围区域. Dx
5. ydydz xdzdx z 2dxdy ，其中曲面 S 为锥面 z x2 y2 被平面 z 1, z 2 所截部分并取
S
外侧.
四、（12 分）求幂级数 3n 2n x n 的收敛域及和函数.
共2页 第2页
2
招生专业
华侨大学 2016 年硕士研究生入学考试专业课试卷
（答案必须写在答题纸上）
基础数学
科目名称
数学分析(A)
科目代码 723
一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
x2
1.
lim
x
1
1 x
x
y
=
.
2.
lim
0
1
1
1 x2
2
dx
=
.
y4
3.
写出曲线
；
x→0
x→0
x sin x
1
（3） lim
x→0
sin x
x
+
2+ex
4
1+ ex
；
（4） ∫ x2 ln xdx ；
∫ 64
（5）
1
dx .
1 x +3 x
二、（本大题满分 10 分）
设 =x1
2, xn=+1
2+
xn
，n
= 1,2, ，试证： lim n→+∞
xn
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存在并求其极限值.
三、（本大题满分 13 分） 证明：函数 f (x) = 1 在[a, + ∞) 上一致连续（其中常数 a > 0 ），但在 (0,1) 上不一致连续.
九、（本大题满分 10 分）
∑∞ (x −1)n
求幂级数
的收敛域及和函数.
n=1 n ⋅ 2n
十、（本大题满分 10 分）
∫ 证明：含参量积分 +∞ e−x2y dy 在[a, b] 上一致收敛（其中 b > a > 0 ）. 0
十一. （本大题满分 10 分） 叙述魏尔斯特拉斯聚点定理并用闭区间套定理证明之.
x2
y2
,
x2
y2
0,
在原点连续，但在原点不可微.
0,
x2 y2 0.
九、（8 分）证明：含参量反常积分 sin xydy 在[a, ）(a 0) 上一致收敛但在 (0, ) 上不一
0y
致收敛.
十、（8 分）请用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的零点定理.
共2 页 第2 页
x
四、（本大题满分 10 分）
设 y 是由方程 ln
x2
+
y2
= arctan
y x
确定的
x
的函数，求
d2y dx2
.
五、（本大题满分 12 分）
证明：函数
f
(x,
y)
=
x2 y
x2
+
y2
,
x2
+
y2
≠
0,
在原点连续且偏导数存在，但在原点不可微.
0,
x2 + y2 = 0.
六. (本大题满分 15 分)
S x
x
1
1 2n
,
n
N
的上确界”.
七 、（8 分） 设函 数 f (x) 在 [a, b] 上 可微 且 a b 0 ， 证明 ：至 少存 在一 点 (a, b) ， 使得
f (b) f (a) ln b f ( ) . a
八、（10 分）证明：函数
f
(x,
y)
x2y
n1 n
共 2页 第1 页
招生专业
基础数学
科目名称
数学分析(A)
科目代码 723
五、（12 分）用 语言证明：函数 f (x) cos 1 在区间[a,) 上（其中常数 0 a 1）一致连 x
续，但在区间 (0, 1] 上不一致连续.
六 、（ 8 分 ） 写 出 “ 数 为 非 空 数 集 S 的 上 确 界 ” 的 定 义 ， 并 用 定 义 验 证 “ 数 1 是 集 合
∫∫ 计算二重积分 sin x dxdy ，其中 D 是由直线 y = x 及抛物线 y = x2 所围区域.
Dx
八、（本大题满分 10 分）
∫∫ 求 I = xdydz + ydzdx + (z 2 − 2z)dxdy ，其中曲面 S 为锥面=z S
部分并取外侧.
x2 + y2 被平面 z = 0, z = 1所截
设曲线 y = ax 2 (a > 0, x ≥ 0) 与 y = 1 − x 2 交于点 A ，过原点 O 与 A 的直线与曲线 y = ax 2 围成一平
面图形，求①此平面图形面积；②当 a 为何值时，该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最大，
最大为多少？
1
招生专业
基础数学
科目名称 数学分析 科目代码 723 七、（本大题满分 10 分）