时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法
变系数分数阶反应-扩散方程的数值解法
变系数分数阶反应-扩散方程的数值解法
变系数分数阶反应扩散方程的数值解法
马亮亮,刘冬兵
【摘要】摘要:考虑了变系数分数阶反应扩散方程,将一阶的时间偏导数和二阶的空间偏导数分别用Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数替换,利用L1算法和G算法对方程的变系数分数阶导数进行适当的离散,给出了该方程的一种计算有效的隐式差分格式,并证明了这个差分格式是无条件稳定和无条件收敛的,且具有o(τ+h)收敛阶.最后用数值例子说明差分格式是有效的.【期刊名称】沈阳大学学报
【年(卷),期】2014(026)001
【总页数】5
【关键词】关键词:变系数;反应扩散方程;隐式差分;稳定性;收敛性分数阶微分方程是经典的整数阶常微分方程的推广,它是将整数阶的导数用分数阶导数来替换.与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程的优势在于它能更好地模拟自然界的物理过程和动态系统过程[1].当前,分数阶微分方程的研究正引起越来越多专家学者的关注,并已广泛应用于科学和工程的各个领域.
在标准的反应扩散方程中,分别用Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶导数替代一阶时间偏导数和二阶空间偏导数,可得到空间时间分数阶反应扩散方程.近年来,许多学者研究了时间分数阶扩散方程[2]、空间时间分数阶扩散方程[35]、空间分数阶扩散方程[6]、空间时间分数阶对流扩散方程[7]、时间分数阶反应扩散方程[8].
本文讨论与空间和时间都相关的分数阶反应扩散方程的有限差分方法,即考虑如下变系数分数阶反应扩散方程:。
时间分数阶扩散方程扩散系数反演问题的唯一性
时间分数阶扩散方程扩散系数反演问题的唯一性王兵贤;童东付【摘要】考虑了时间分数阶抛物型方程扩散系数反演问题,通过分数阶抛物型方程解的形式,建立输入-输出映射,并通过讨论其相关性质,证明反问题的唯一性.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】4页(P194-197)【关键词】抛物型方程;系数反演;输入-输出映射;唯一性.【作者】王兵贤;童东付【作者单位】淮阴师范学院数学科学学院,江苏淮安 223300;淮阴师范学院数学科学学院,江苏淮安 223300【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言在物理学中,对流扩散方程经常用于描述布朗运动和外力场作用下的扩散现象[1-2]．然而,对于非正常扩散,经典的对流扩散方程并不能很好地描述这一现象,主要体现在对流、传输过程与外力场作用下的是不同的．由广义连续时间随机行走模型(CTRM)导出的分数阶对流扩散方程却能非常好地描述非正常扩散现象．关于分数阶对流扩散方程的正问题,如初值问题、初边值问题已经有了大量的研究,如Yamamoto等研究了时间分数阶扩散方程初边值问题弱解的存在唯一性[3],文[4]给出了某些分数阶扩散方程的精确解的表达式,文[5]给出了分数阶扩散方程的数值拟合方法等．分数阶扩散方程的反问题有很多,如分数阶扩散方程的Cauchy问题、源项识别问题、侧边值问题等等,国内外学者分别对该些问题做了研究．Xu等[6]证明了当时,Cauchy问题反问题解的唯一性,文[7]研究了时间分数阶扩散方程源项识别问题,文[8]分别用最优滤波法、Fourier方法、迭代方法、卷积型正则化方法研究了时间分数阶扩散方程的侧边值问题,给出了收敛性分析等等,Liu 等[9-10]运用正则化方法求解时间分数阶扩散方程初值和边值反演问题．考虑时间分数阶抛物型方程初值问题,(1)其中为Caputo-Dzherbashyan意义下的分数阶导数,其定义为其中,Iα为Riemann-Liouville分数阶积分假设,对于问题中初边值分别满足条件:(c1) k(x)∈C1[0,1]且0<c0≤k(x)<c1;(c3) ψ0(t)、ψ1(t)∈C[0,T];(c4) q(t)∈C[0,T].基于条件(c1)～(c4) ,问题(1)的解存在而且唯一[11]．本文主要研究当给定边界x=0处的测量数据u(0,t)=f(t), t∈(0,T](2)时反演热传导率k(x).1 相关假设与主要结论首先,定义容许集M:={k(x)∈C1[0,1]且0<c0≤k(x)<c1,x∈[0,1])}⊂C[0,1].其次,给出广义Mittag-Leffler函数的定义为其中α>0,β∈R．然后,引入输入-输出映射Φ:M→C[0,T],使得Φ[k]=u(x,t;k)|x=0,即反问题的唯一性讨论可以归结为映射Φ[k]=f, f∈C[0,T](3)则有以下结论:定理1 如果条件(c1)～(c4)满足,且式(3)定义了一个输入-输出映射Φ[k],在容许集M中, 设k1(0)=k2(0)=k(0),则Φ[k]具有性质:如果Φ[k1]=Φ[k2],则有k1=k2.2 定理1的证明首先引入辅助函数v(x,t)满足:这样,可以将问题(1)转化为一个关于v(x,t)的具有齐次边界条件的问题(4)由文[12]得到,初边值问题(4)的解存在且唯一,而且具有形式(5)其中当x=0时,式(2)得(6)假设φk(x)是下列Sturm-Liouville问题的解:(7)为了描述方便,对于式(5),可表示为其中χn(t)=〈ζ(θ),φn(θ)〉Eα,1(-λntα), ωn(t)=sα-1Eα,α(-λnsα)〈ξ(θ,t-s),φn(θ)〉ds. 结合式(6),有(8)即,将f(t)描述为级数表达式,这样式(8)得到了一个定义在容许集M上的输入-输出映射Φ[k],即∀t∈[0,T].定理1的证明假设对于k1(x)、k2(x)∈M对应问题(4)的解v(x,t;k1)、v(x,t;k2)分别记作v1(x,t)、v2(x,t),且记由式(8)得由ωn(t)的定义得且因为k1(0)=k2(0)=k(0),则对于所有即Φ[k1]=Φ[k2].由χn(t)、ωn(t)的定义以及以上分析过程,对于∀t∈[0,T],如果满足〈ξ1(x,t)-ξ2(x,t),φn(θ)〉=0, n=0,1,…,n,则对于∀t∈[0,T],有反则,假如对于某个n,〈ξ1(x,t)-ξ2(x,t),φn(θ)〉≠0,则有k1(x)≠k2(x),从而有输入-输出映射Φ[k]满足:当k1(x)≠k2(x)时,Φ[k1]≠Φ[k2],因此定理1的结论成立.参考文献：【相关文献】[1] Catania F, Massabo M, Palaclino O. Estimation of transport and kinetic parameters using analytical solutions of the 2D advection-dispersion-reactionmodel[J].Envirvnmetrics,2006,17:199-216.[2] Khalifa M E. Some analytical solutions for the advection-dispersion equation[J].Appl Math Comp,2003(139):299-310.[3] Sakamoto K, Yamamoto M. Initial value boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems[J].J Math Anai Appi,2011,382(1):426-447.[4] Ding X L,Jiang Y L. Analytical solutions for the multi-term time-space fractional advection-diffusion equations with mixed boundary conditions[J].NonlAnal,2013,14(2):1026-1033.[5] Ren J,Sun Z Z, Zhao X. Compactscheme for the fractional sub-diffusion equations with Neumannboundary conditions[J].J Comp Phys,2013,232(1):456-467.[6] Xu X, Cheng J,Yamamoto M. Carleman estimate for a fractional diffusion equation with half order and applica-tion[J]. Appl Anal,2011,90(9):1355-1371,[7] Kirane M,Malik S A. Determination of an unknown source term and the temperature distribution for the linear heat equation involving fractional derivative intime[J].Appl Math Compu,2011,218(1):163-170.[8] Qian Z. Optimal modified method for afractional-diffusion inverse heat conduction problem[J].Inve Prob Scie Engi,2010,18(4):521-533.[9] Wang L Y,Liu J J. Total variation regularization for a backward time-fractional diffusionproblem[J].Inve Prob,2013,29:1-12.[10] Liu J J, Yamamoto M, Yan L. On the uniqueness and reconstruction for an inverse problem of the fractional diffusion process[J].Appl Nume Math,2015(10):1-19.[11] Podlubny I. Fractional differential equations[M].San Diego: Academic,1999.[12] Luchko Y. Initial boundary value problems for the one dimensional time-fractional diffusion equation[J].Frac Calc Appl Anal,2012,15:141-160.。
《2024年空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》范文
《空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统的有限元方法》篇一一、引言在数学建模和数值分析领域，空间分数阶Gray-Scott模型和时间分数阶Maxwell系统扮演着重要角色。
随着科学与技术的进步，这两个模型在众多领域如生物学、材料科学和电磁学中得到了广泛应用。
有限元方法作为一种有效的数值计算工具，常被用来解决复杂的数学模型问题。
本文旨在探究如何应用有限元方法来处理这两个复杂系统的数学问题。
二、空间分数阶Gray-Scott模型空间分数阶Gray-Scott模型是一个常用于描述复杂反应扩散系统的偏微分方程模型。
它具有非线性特性和空间分数阶导数，为解决此类问题提供了数学框架。
本文将详细介绍该模型的数学形式、物理背景以及其求解的必要性。
三、时间分数阶Maxwell系统时间分数阶Maxwell系统则是用于描述电磁波传播及物质响应的数学模型。
其方程中的时间分数阶导数使得模型能够更好地反映实际物理现象的复杂性和非局部性。
本部分将详细阐述该系统的数学表达、物理意义及其在电磁学中的应用。
四、有限元方法的基本原理在解决上述两个复杂系统的问题时，有限元方法是一种有效的数值计算工具。
本部分将详细介绍有限元方法的基本原理、步骤和特点，包括其求解过程、计算效率和精度等优势。
五、空间分数阶Gray-Scott模型的有限元方法实现本部分将详细描述如何将有限元方法应用于空间分数阶Gray-Scott模型的求解过程。
包括离散化处理、基函数选择、数值积分等关键步骤的详细解释和实现过程。
此外，还将讨论该方法在求解过程中的稳定性和收敛性等问题。
六、时间分数阶Maxwell系统的有限元方法实现类似地，本部分将详细介绍如何将有限元方法应用于时间分数阶Maxwell系统的求解过程。
包括系统的离散化、时间步长的选择、电磁场量的离散化处理等关键步骤的详细解释和实现过程。
此外，还将讨论该方法在处理复杂电磁现象时的优势和局限性。
时间-空间分数阶扩散方程
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扩散方程的差分解法
扩散方程的差分解法在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。
热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。
这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。
本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。
1.扩散方程一维扩散方程为：22u u t xα∂∂=∂∂ （1）式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。
其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤（2）边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t ==（3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。
2.有限差分法有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。
其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。
差分格式可以分为显格式和隐格式。
所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。
由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。
隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。
因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。
为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。
因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。
时间分数阶变系数对流扩散方程的数值解法
ｃａｓｅｓ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ. Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｐｒｉｍａｒｉｌｙ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ
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第１期
１１７
郭非凡ꎬ等:时间分数阶变系数对流扩散方程的数值解法
分的研究逐渐引起了人们的广泛关注ꎮ 在物理、化学以及生物等学科领域ꎬ分数阶微积分应用十分广泛 [１] ꎬ
例如扩散和输运理论、混沌与湍流、生物组织、高分子材料的解链等ꎮ 可以说ꎬ分数阶导数早已成为了描述各
ｅｘａｍｐｌｅｓ.
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ∶ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏｒｄｅｒꎻ ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ￣ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎꎻ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄꎻ ｓｔａｂｉｌｉｔｙꎻ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
近年来ꎬ自然界发现越来越多的现象无法用传统的整数阶方程来描述ꎮ 为了解决现实问题ꎬ分数阶微积
整数点ꎬ在空间网格上进行对偶剖分ꎬ再通过有限差分方法离散了空间导数ꎮ 理论分析可以说明ꎬ本文所提出的离散格
式ꎬ其解是存在并且唯一的ꎬ收敛精度为 ο( τ ＋ ｈ) ꎬ一维数值算例验证出理论分析的准确性ꎮ
关键词:分数阶ꎻ对流扩散方程ꎻ有限差分方法ꎻ稳定性ꎻ收敛性
中图分类号:Ｏ２４１.８２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００２￣４０２６(２０２０)０１￣０１１６￣０８
时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式
时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式时间分数阶扩散方程的三次样条差分格式如下：$$。
\frac{\partial^{\alpha}u(x_i, t^n)}{\partial t^{\alpha}} = D \frac{\partial^2u(x_i, t^n)}{\partial x^2}, \quad 0 < \alpha < 1。
$$。
其中，$\alpha$为时间分数阶，$D$为扩散系数，$u(x_i, t^n)$为在$x_i$处和$t^n$时刻的解。
为方便表示，下面将$t^n$简单表示为$t$。
采用前向差分和后向差分的一阶导数定义，可以得到时间导数的差分格式：$$。
\frac{\partial^{\alpha}u(x_i, t)}{\partial t^{\alpha}}\approx \frac{u(x_i, t) - u(x_i, t - \Delta t)}{\Deltat^{\alpha}}, \quad 0 < \alpha < 1。
$$。
其中，$\Delta t$为时间步长。
由于采用了前向差分，此格式为显式差分格式。
若采用三点中心差分法近似求解二阶导数，则。
$$。
\frac{\partial^2u(x_i, t)}{\partial x^2} \approx\frac{u(x_{i+1},t) - 2u(x_i,t) + u(x_{i-1},t)}{\Delta x^2}。
$$。
其中，$\Delta x$为空间步长。
将上式代入原方程得到：$$。
\frac{u(x_i, t) - u(x_i, t - \Delta t)}{\Delta t^{\alpha}} = D \frac{u(x_{i+1},t) - 2u(x_i,t) + u(x_{i-1},t)}{\Delta x^2}。
$$。
再将时间步长和空间步长合并，得到：$$。
u_i^n - u_i^{n-1} = D\Delta t^{\alpha} \frac{u_{i+1}^n -2u_i^n + u_{i-1}^n}{\Delta x^2}。
一维时间分数阶扩散方程的数值解法
一维时间分数阶扩散方程的数值解法一维时间分数阶扩散方程是一种常见的微分方程，常用于描述扩散过程的动态变化。
一维时间分数阶扩散方程的数值解法可以使用不同的数值求解方法来解决。
一种常见的一维时间分数阶扩散方程数值解法是使用时间分步法（Time Step Method）。
时间分步法是通过将时间划分为若干个等间隔的时间步，然后利用前一个时间步的解来计算下一个时间步的解的方法。
时间分步法的基本流程如下：
1.选择合适的时间步间隔Δt。
2.对于第i个时间步，计算出对应的解x[i]。
3.根据所使用的时间分步法，利用前一个时间步的解
x[i-1]来计算当前时间步的解x[i]。
4.重复步骤2和3，直到求出结果。
一类分数阶反应扩散方程的差分方法
一类分数阶反应扩散方程的差分方法刘桃花;侯木舟【摘要】Fractional reaction-diffusion equations are generalizations of classical reaction-diffusion equations, which are used in simulating the anomalous diffusion motion. In this paper, we examine a practical numerical meth-od, which is called Euler method to solve a class of initial-boundary value a fractional reaction-diffusion equation with variable coefficients. Then we discuss the existence and uniqueness of solutions for the format. The stability, consistency and convergence of the method are established to get the convergence order of O(τ+h) . Finally, we use a numerical experiment to prove the effectiveness of the proposed format.%分数阶反应扩散方程可以用来模拟反常扩散运动，它是由传统的反应扩散方程演变而来的。
本文对带变系数的空间分数阶反应扩散方程的初边值问题进行了数值研究，采用了移位的Grunwald公式对空间分数阶导数进行离散，在此基础上建立了经典的隐性Euler差分格式。
然后讨论了该格式的解的存在唯一性，分析了该方法相容性、稳定性及收敛性，得到了O(τ+h)收敛阶。
诺伊曼边界条件下分数阶次扩散方程的紧差分格式
浙江理工大学学报，2021，45(2): 234-241Journal of Zhejiang Sci-Tech UniversityDOI：10. 3969/j.issn.l673-3851(n).2021. 02.011诺伊曼边界条件下分数阶次扩散方程的紧差分格式邱敏，程秀俊(浙江理工大学理学院，杭州310018)摘要：对于诺伊曼边界条件下时间分数阶次扩散方程，提出了紧差分格式，并用该格式数值求解方程。
首先，由于该方程在时间为0处解的不光滑性.因此使用非一致网格上的L1格式对时间方向进行离散，一致网格上的紧 差分格式对空间方向进行离散，建立紧差分格式；其次，通过离散的能量方法.给出该格式在二范数意义下的收敛性 分析；最后，通过M atlab进行数值模拟，验证该格式的有效性.该结果进一步地丰富了分数阶方程的数值算法。
关键词：诺伊曼边界条件；分数阶次扩散方程；紧差分格式;Caputo分数阶导数中图分类号：0242.2 文献标志码：A 文章编号：1673-3851 (2021) 03-0234-08A com pact difference schem e for fractional sub-diffusionequations with Neumann boundary conditionsQ IU M in, CHENG Xiujun(School of Science, Zhejiang Sci-Tech university, Hangzhou 310018, China)Abstract：In this paper, a compact difference scheme is proposed for fractional sub-diffusion equations with Neumann boundary conditions, and used to solve the equation numerically. First of all, since the solution of this equation is not smooth when the time is 0, the LI scheme on the non-uniform mesh is used to discretize the temporal direction, and the compact difference scheme on the uniform mesh is used to discretize the spatial direction, and a compact difference scheme is established. Secondly, a convergence analysis of this scheme in the sense of two-norm is given, with discrete energy method. Finally, numerical simulation is carried out by MATLAB to verify the effectiveness of this scheme. The results further enrich the numerical algorithm of fractional equation.Key words：Neumann boundary conditions；fractional sub-diffusion equation；compact difference scheme；Caputo fractional derivative〇引言对于半导体材料中杂质扩散、气体扩散等高斯正常扩散现象,一般采用整数阶微分方程建立的数学模型 来模拟;而对于具有遗传性、记忆性的非高斯反常扩散现象.如古气候在冰河时期和间冰期的快速切换[1]、信 天翁的觅食轨迹[2]等，则采用分数阶微分方程建立的数学模型更加精确。
分数阶反应-子扩散方程的高阶隐式差分格式及其稳定性分析
分数阶反应-子扩散方程的高阶隐式差分格式及其稳定性分析梁娜;叶超【摘要】A kind of fractional reaction-subdiffusion equation with initial-boundary conditions is considered. A new high-order implicit difference scheme with local truncation error 0(Τ1+γ +Tγh4) is constructed. The solvability of the scheme is analyzed. By means of Fourier method, the unconditional stability of the scheme is proved. Finally , a numerical example is given to verify the effectiveness of the theoretic analysis. The numerical results show that this scheme is of high accuracy.%针对一类带初边值条件的分数阶反应-子扩散方程,构造了一种新的高阶隐式差分格式,其局部截断误差为O(τ1+γ+ τγh4).并对格式的可解性做了分析.利用Fourier方法证明了格式的无条件稳定性.最后通过做数值算例去验证理论分析是有效可靠的.从所给的数值结果可以得出,该格式具有非常高的精度.【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2011(034)006【总页数】6页(P6-11)【关键词】分数阶反应-子扩散方程;Riemann-Liouville分数阶导数;隐式差分格式;稳定性【作者】梁娜;叶超【作者单位】咸宁学院数学与统计学院,中国咸宁437100;湘潭大学数学与计算科学学院,中国湘潭411105【正文语种】中文【中图分类】O241.8分数阶微分方程被广泛地应用到自然科学与工程学领域，引起了科研人员的重视．Metzler和Klafter在其综述性文章[1]中指出分数阶微分方程已经成为描述反常传播过程的一种基本工具．Machado等介绍了分数阶微积分理论在近30年的发展概况[2]，分数阶导数，分数阶微分方程的解法与应用的一些基本理论[3]可见于Podlubny的经典著作．近年来，有关分数阶微分方程的解析解问题[4-7]取得了很多成果，然而这些解时常包含一类特殊而又复杂的函数，如Mittag-Leffler函数，这给实际的应用带来不便．因此有必要去研究分数阶微分方程的数值解法．迄今为止，分数阶扩散方程的高阶数值方法很少．CHEN等讨论了一种非线性反常扩散方程的数值解法[8]，提出了一种时间一阶，空间二阶的隐式差分格式，并利用Fourier方法对格式做了理论分析．Zhuang等利用积分的手段对一反常子扩散方程[9]进行离散，得到了一种时间一阶，空间二阶的隐式差分格式，采用能量方法给出了格式的稳定性与收敛性分析，并通过改进，提高了时间误差阶．Cui对一种分数阶扩散方程首次采用了一种紧致有限差分方法[10]，得到了一种新的空间四阶，时间一阶的隐式差分格式．Chen等考虑了一种变阶的反常子扩散方程[11]，基于Riemann-Liouville导数的Gr¨uwald-Letnikov离散以及结合四阶的紧致差分算子对空间二阶导数近似，得到了高阶隐式差分格式．作者利用一种新的积分手段，对反应-子扩散方程[12]进行离散，并使用紧致有限差分方法，提出了一种新的高阶隐式差分格式．1 隐式差分格式考虑一种反应-子扩散方程：(1)0<γ< 1,Kγ为扩散系数,表示Riemann Liouville分数阶微分算子[2]，定义为设方程(1)满足初始条件以及Dirichlet边界条件：u(x, 0)=φ(x), 0≤x≤L; u(0, t)=φ1(t); u(L, t)=φ2(t), 0<t≤T.(2)定义空间Ω=[0,L] × [0, T], 并假设对时间变量及空间变量作等距剖分，令xj = jh, j=0,1,…,M, tk =kτ, k=0,1,…,N. 以及分别表示空间步长以及时间步长．将方程(1)两端同时从tk积到tk+1, k=0,1,…,N-1, 便有(3)令I3=f(xj,t)dt.则(3)式可以表示为u(xj, tk+1)=u(xj, tk) + I1 + I2 + I3. 对于I1，我们采用如下近似，引进一些记号：引理1的证明参见文献[5]．引入序列{bj}, bj=(j+1)γ-jγ,j=0,1,…,N.引理2 {bj}(j=0,1,…,N) 满足b0=1，0<bj+1<bj≤1.引理2的结论显然成立．由引理1，有对于R11，根据Lagrange中值定理, 可得由以上分析可以得到I1的整体近似为对于I2，仍用类似于I1的近似方法，可得I2 的整体近似为至于I3, 我们采用梯形求积公式可得：I3=τ(f(xj,tk+1)+f(xj,tk))/2+O(τ3).由以上可以得到如下引理．引理3 如果u(x, t) 满足引理2，则有其中为局部截断误差．记为u(xj,tk)在点(xj,tk) 处的数值解, 于是(4)将(4)式的两端同乘以合并同类项并注意初边值条件，得到方程(1)的高阶隐式差分j=1,2,…,M-1;k=0,1,…,N-1,(5)定理1 隐式差分格式(5)存在唯一解．证事实上，(5)可以写成矩阵的形式：其中其中由于系数矩阵A严格对角占优，因而可逆，故(5) 存在唯一解，证毕．2 隐式差分格式的稳定性分析对于隐式差分格式(5)，我们采用Fourier法(分离变量法)来分析其稳定性．令为(5)的任意一个近似解，向量其中那么满足(6)其中定义阶梯函数εk(x)：εk(x)可以展成Fourier级数的复数形式(7)定义离散的L2范数:根据Parseval等式可得εk(x) 满足(8)其中将(7)式代入到(8)式中，两端再同乘以然后将两端从0 积到L，由于其中σ1=2nπ/L, n=0,±1,±2,…这样一来，(8)式便化简为(9)其中注意到那么(9)式可化为(10)定理2 如果vk(m) 满足(10)式, 则必有|vk(m)|≤|v0(m)|．证在(10)式中令k=0 ，则有利用引理2，知0<b0-b1<1，故|v1(m)|≤|v0(m)|．假设|vk(m)|≤|v0(m)|，利用(6)式，有利用假设条件|vk(m)|≤|v0(m)|及则定理3 隐式差分格式(5)无条件稳定．证由定理2以及(14)式, 有3 数值算例考虑下列一个带初边值条件的分数阶反应-子扩散方程(11)(11)的精确解为u(x,t)=extγ+2．定义上述问题的精确解与数值解的最大误差为取不同的空间步长，时间步长以及γ,并利用隐格式(5)，计算(11)的精确解与数值解的最大误差.从表1的结果可知：该格式的稳定性好，在同步长下，精确解与数值解的最大误差随γ的增大而增大．表2与表3的结果同文中所给的误差阶较吻合．表1 精确解与数值解的最大误差(E∞)h τ γ= 0.3 γ= 0.4 γ= 0.5 γ= 0.6 γ= 0.7 γ= 0.81/41/161.277 2e-0041.569 9e-0041.849 5e-0042.137 6e-004 2.451 7e-0042.806 9e-0041/81/648.525 5e-0061.019 8e-0051.180 8e-0051.351 0e-0051.541 0e-0051.759 3e-0051/101/1003.543 4e-0064.209 6e-0064.855 1e-0065.543 4e-0066.316 7e-0067.208 3e-0061/201/4002.310 6e-0072.698 4e-0073.083 8e-0073.505 2e-0073.986 2e-0074.544 9e-007表2 精确解与数值解的最大误差(E∞),γ=0.2hτ E∞ratio1/31/1 0008.285 1E-006 -1/61/1 0005.161 6E-0074.004 61/121/1 0002.753 6E-0084.228 4表3 精确解与数值解的最大误差(E∞),γ=0.2hτ E∞ratio1/41/41.263 2E-003-1/41/83.549 6E-0041.831 41/41/169.427 5 E-0051.912 7参考文献：[1] METZLER R, KLAFTER J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach[J].Phys Rep, 2000, 339(1):1-77.[2] MACHADO J T, KIRYAKOVA V, MAINARDI F. Recent history of fractional calculus[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2011, 16(3):1140-1153.[3] PODLUBNY I. Fractional differential equations[M]. San Diego:Academic Press, 1999.[4] LIU J Y, XU M Y. Some exact solutions to Stefan problems with fracional differential equations[J]. J Math Anal Appl, 2009,351(2):536-542.[5] LIANG J R, REN F Y, QIU W Y, et al. Exact solutions for nonlinear fractional anomalous diffusion equations[J].Physica A, 2007, 385(1):80-94.[6] 张颖超.用径向基函数解偏微分方程[J].湖南师范大学自然科学学报，2011，34(5)：1-6.[7] 颜宝平.一类倒向随机微分方程的比较定理[J].湖南师范大学自然科学学报，2011，34(4)：26-28.[8] CHEN C M, LIU F, TURNER I, et al. A Fourier method for the fractional diffusion equation describing sub-diffusion[J]. J Comput Phys, 2007,227(2):886-897.[9] ZHUANG P, LIU F, AHN V, et al. New solution and analytical techniques of the implicit numerical method for the anomalous subdiffusion equation[J]. Siam J Numer Anal, 2008, 46(2):1079-1095.[10] CUI M R. Compact finite difference method for the fractional diffusion equation[J]. J Comput Phys, 2009,228(20):7792-7804.[11] CHEN C M, LIU F, AHN V, et al. Numerical schemes with high spatialaccuracy for a variable-order anomalous subdiffusion equation[J]. SIAM J Sci Comput, 2010,32(4):1740-1760.[12] CHEN C M, LIU F, BURRAGE K. Finite difference methods and a Fourier analysis for the fractional reactionsubdiffusion equation[J]. Appl Math Comput, 2008, 198(2):754-769.。
时间-空间分数阶black-scholes方程的一类高效差分方法
时间-空间分数阶black-scholes 方程的一类高效差分方法
在显隐交替方法的基础上，对内边界点采用古典显式和古典隐式计算，通过显式和隐式的交替对时间层做分段化处理，给出时间分数阶B-S
方程的一类并行差分方法：交替分段纯显-隐（PASE-I）格式和交替分
段纯隐-显（PASI-E）格式。
理论分析证明这类格式解存在唯一且收敛。
数值试验结果表明：格式计算稳定，两种格式均较大幅度地提高了计
算速度，其计算时间约为古典隐格式的60%，且两种格式的计算精度与隐格式精度接近，证实了本文构造的两类格式对求解时间分数阶B-S
方程是有效的。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询专
业人士。
数值求解一维时间—空间分数阶扩散方程
数值求解一维时间—空间分数阶扩散方程一维时间—空间分数阶扩散方程是一种重要的非线性方程，其基本形式为：$$ \frac{\partial^{\alpha} u(t, x)}{\partial t^{\alpha}}= a(t, x)\frac{\partial^{2\beta}u(t, x)}{\partial x^{2\beta}}, \ \ \alpha, \beta>0$$这类方程高度抽象且复杂，一般用数值方法求解。
数值求解一维时间—空间分数阶扩散方程的步骤如下：1. 将一元扩散方程转化为线性方程组：根据一维分数阶扩散方程的定义，对于变量$ u(t_i, x_j) $可写成：$$ \frac{u^{m+1}(t_i, x_j)-u^m(t_i, x_j) }{\Delta t^{\alpha}}= a(t_i, x_j) \times \left[ \frac{u^m_{j+1}-2u^m_j+ u^m_{j-1}}{\Deltax^{2\beta}}\right] $$其中，$ \alpha, \beta > 0 $，$ \Delta x $为节点间隔长度，$ \Delta t = t_{i+1} - t_i $。
将上式化简，可得：$$ u^{m+1}_j=u^m_j + \frac{a(t_i, x_j) \times \Delta t^{\alpha}}{ \Delta x^{2\beta}}\left(u^m_{j+1}-2u^m_j + u^m_{j-1} \right)$$将方程转为矩阵形式，可转化为线性方程组：$$ \frac{\Delta x^{2\beta}}{\Delta t^{\alpha}} \cdot \mathbf{A} \cdot\mathbf{u}^{m+1}= \mathbf{u}^{m} $$其中，$ \mathbf{A} $为$ n \times n$次矩阵， $ \mathbf{A}= \lambda \mathbf{I} + \mu \mathbf{D}, \ \lambda = -2, \ \mu = \frac{1}{2}$，$ \mathbf{I}$为$ n \times n $单位矩阵，$ \mathbf{D}$是$ n \times n$对角线矩阵。
精选论文-一类时间分数阶扩散方程的有限差分和谱方法分析
华中科技大学硕士学位论文
1 绪论
1.1 引言
1695 年,
Leibniz
在写给
L’Hospital
的一封信中,
讨论了函数的
1 2
阶导数的问题.
自分数阶微积分的概念被提出之后, 历史上的许多著名数学家, 如 Euler, Lacroix,
Laplace, Fourier 等, 都对这一问题进行过研究. 分数阶微积分可以看做是对经典的整
The numerical results indicate that both methods provide good approximation to the original initial boundary problem. Keywords: Time Fractional Diffusion Equation; Finite Difference; Legendre Collocation
I
华中科技大学硕士学位论文
Abstract
The numerical approximation for fractional diffusion equations is a very important problem that people are concerned about. In this paper, the finite difference method and spectral method are used to solve the initial boundary problem of a class of time fractional diffusion equation in the sense of Caputo fractional derivative.
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§2时间分数阶反应-扩散方程的一类并行差分方法
§1引言
分数阶反应-扩散方程有深刻的物理和工程背景，由于其结构的复杂性，解析解难于求 得I1-2〕，分数阶反应-扩散方程的高效数值模拟已成为一项亟待解决的研究问题I3-4〕.随着多核和 集群技术的快速发展，并行算法已成为提高数值计算效率的主流技术之一，从大数据时代科学工 程计算的迫切需求出发，分数阶反应-扩散方程的有限差分并行计算方法具有重要的科学意义和 应用价值[5-6〕.
2.1 时间分数阶反应-扩散方程
考虑定义在区域位={0 < x < L, 0 < t < T}内的时间分数阶反应-扩散方程 竺斜=艺絆-pu(x,t) + f (x,t)
u(x, 0) = uo(x)
,
(1)
u(0, t) = u(L, t) = 0
其中f (x,t)和uo(x)为给定的已知函数,p为非负常数，0 < a < 1, d器。为Caputo型分数阶导
第34卷第3期
性和收敛性.杨晓忠等(2015年)W对时间分数阶Black-Scholes方程构造了显-隐和隐-显差分格 式，证明了格式是无条件稳定和收敛的，格式具有较高的计算效率.
有关整数阶偏微分方程的并行差分方法，众所周知，古典显式格式具有理想的并行 性，非常适合于并行计算，但它是条件稳定的，特别在多维问题中，计算的时间步长受 到苛刻的限制.古典隐式和Crank-Nicolson格式一般具有好的稳定性，但不易并行化求解. 受Evans和Abdullah(1983年)构造分组显示方法的启发，张宝琳等(1991年，1994年尸2-1提出 了利用Saul'yev非对称格式构造分段隐式的思想，建立了多种显式-隐式和纯隐式交替并行方法, 取得了稳定性和并行性兼得的研究成果.周毓麟等(2003年)］在不做启示性假定下，研究了拟线 性抛物型方程组初边值问题的一类具有并行本性的差分格式，证明了所构造的具有并行本性差 分格式解的存在惟一性，无条件稳定性，以及格式解收敛到原始拟线性抛物问题的惟一广义解.
对于时间分数阶反应-扩散方程，陈景华(2007年)[7〕给出Caputo分数阶反应-扩散方程的隐式 差分格式，并用能量方法给出该隐式格式的稳定性和收敛性证明.覃平阳和张晓丹(2008年)[8〕对 空间-时间分数阶对流扩散方程提出了一个隐式差分格式，验证了格式的无条件稳定性和收敛
性，其收敛阶为O(t + h). Li和Ding(2014年)[9〕对反应-反常扩散方程进行高阶有限差分求解，得
到Riemann-Liouville分数导数的二阶差分近似，并用傅立叶方法给出了格式的可解性，条件稳定
收稿日期：2018-07-29 修回日期：2019-05-16 *通信作者，E-mail: yxiaozh@ 基金项目：国家自然科学基金(11371135)
326
高校应用数学学报
於表示f(Xi,tk )的精确解.
方程(1)的时间分数阶导数可离散为如下形式:
u(xi,tk+1) _
高校应用数学学报 2019, 34(3): 325-338
时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式 的并行计算方法
党旭，杨晓忠*
(华北电力大学数理学院，北京102206)
摘要：分数阶反应-扩散方程有深刻的物理和工程背景，其数值方法的研究具有重要 的科学意义和应用价值.文中提出时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算 方法，构造了 一类交替分段显-隐格式(alternative segment explicit-implicit, ASE-I)和 交替分段隐-显格式(alternative segment implicit-explicit, ASI-E),这类并行差分格式 是基于Saul'yev非对称格式与古典显式差分格式和古典隐式差分格式的有效组合.理 论分析格式解的存在唯一性，无条件稳定性和收敛性.数值试验验证了理论分析，表 明ASE-1格式和ASI-E格式具有理想的计算精度和明显的并行计算性质，证实了这类并 行差分方法求解时间分数阶反应-扩散方程是有效的. 关键词：时间分数阶反应-扩散方程；ASE-I格式；ASI-E格式；无条件稳定性；收敛阶 中图分类号：O241.8 文献标识码：A 文章编号：1000-4424(2019)03-0325-14
数：
c
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dau(x,t)
1
0 D u("r^ =
厂 du(x,g) dg -
当f (x,t) = 0时，通过有限正弦变换和Laplace变换，可求得在区域G = {0 < x < L, 0 < t < T }内方程⑴的解析解如下:
Ea [— (p + a2n2ta)] sin(anx)
其中Ea(z)是Mittag-Leffler函数，Ea(z)= 品十“,a = f
党旭等：时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法
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2.2 一类ASE-1并行差分格式
对区域⑵乍直角网格剖分，取正整数M,N,令空间步长h = M,时间步长t = T,则 有％ = ih, i = 0,1, 2, ••- ,M, tk = hr, k = 0,1, 2, ••- , N.用Uf 表示精确解u(xi,tk)的数值解,
对于分数阶偏微分方程，Gong等(2014年严］用MPI并行编程模型对Caputo分数阶反应-扩 散方程的显式差分格式进行了并行化计算，验证了该方法在保证精确性的同时提高了计算效率. Sweilam等(2014年］研究了时间分数阶抛物方程的并行Crank-Nicolson差分格式，采用预条件 共轭梯度法对方程进行了并行求解.Wang等(2016年)【切提出一个Caputo分数阶反应-扩散方程 的隐式差分并行算法，相比较串行格式，并行化后的计算效率得到了显著提升.