时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法

2.1 时间分数阶反应-扩散方程
考虑定义在区域位={0 < x < L, 0 < t < T}内的时间分数阶反应-扩散方程 竺斜=艺絆-pu(x,t) + f (x,t)
u(x, 0) = uo(x)
,
(1)
u(0, t) = u(L, t) = 0
其中f (x,t)和uo(x)为给定的已知函数,p为非负常数，0 < a < 1, d器。为Caputo型分数阶导
第34卷第3期
性和收敛性.杨晓忠等(2015年)W对时间分数阶Black-Scholes方程构造了显-隐和隐-显差分格 式，证明了格式是无条件稳定和收敛的，格式具有较高的计算效率.
有关整数阶偏微分方程的并行差分方法，众所周知，古典显式格式具有理想的并行 性，非常适合于并行计算，但它是条件稳定的，特别在多维问题中，计算的时间步长受 到苛刻的限制.古典隐式和Crank-Nicolson格式一般具有好的稳定性，但不易并行化求解. 受Evans和Abdullah(1983年)构造分组显示方法的启发，张宝琳等(1991年，1994年尸2-1提出 了利用Saul'yev非对称格式构造分段隐式的思想，建立了多种显式-隐式和纯隐式交替并行方法, 取得了稳定性和并行性兼得的研究成果.周毓麟等(2003年)］在不做启示性假定下，研究了拟线 性抛物型方程组初边值问题的一类具有并行本性的差分格式，证明了所构造的具有并行本性差 分格式解的存在惟一性，无条件稳定性，以及格式解收敛到原始拟线性抛物问题的惟一广义解.
数：
c
(
dau(x,t)
1
0 D u("r^ =
厂 du(x,g) dg -
Байду номын сангаас
当f (x,t) = 0时，通过有限正弦变换和Laplace变换，可求得在区域G = {0 < x < L, 0 < t < T }内方程⑴的解析解如下:
Ea [— (p + a2n2ta)] sin(anx)
其中Ea(z)是Mittag-Leffler函数，Ea(z)= 品十“,a = f
对于时间分数阶反应-扩散方程，陈景华(2007年)[7〕给出Caputo分数阶反应-扩散方程的隐式 差分格式，并用能量方法给出该隐式格式的稳定性和收敛性证明.覃平阳和张晓丹(2008年)[8〕对 空间-时间分数阶对流扩散方程提出了一个隐式差分格式，验证了格式的无条件稳定性和收敛
性，其收敛阶为O(t + h). Li和Ding(2014年)[9〕对反应-反常扩散方程进行高阶有限差分求解，得
到Riemann-Liouville分数导数的二阶差分近似，并用傅立叶方法给出了格式的可解性，条件稳定
收稿日期：2018-07-29 修回日期：2019-05-16 *通信作者，E-mail: yxiaozh@ncepu.edu.cn 基金项目：国家自然科学基金(11371135)
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高校应用数学学报
高校应用数学学报 2019, 34(3): 325-338
时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式 的并行计算方法
党旭，杨晓忠*
(华北电力大学数理学院，北京102206)
摘要：分数阶反应-扩散方程有深刻的物理和工程背景，其数值方法的研究具有重要 的科学意义和应用价值.文中提出时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算 方法，构造了 一类交替分段显-隐格式(alternative segment explicit-implicit, ASE-I)和 交替分段隐-显格式(alternative segment implicit-explicit, ASI-E),这类并行差分格式 是基于Saul'yev非对称格式与古典显式差分格式和古典隐式差分格式的有效组合.理 论分析格式解的存在唯一性，无条件稳定性和收敛性.数值试验验证了理论分析，表 明ASE-1格式和ASI-E格式具有理想的计算精度和明显的并行计算性质，证实了这类并 行差分方法求解时间分数阶反应-扩散方程是有效的. 关键词：时间分数阶反应-扩散方程；ASE-I格式；ASI-E格式；无条件稳定性；收敛阶 中图分类号：O241.8 文献标识码：A 文章编号：1000-4424(2019)03-0325-14
对于分数阶偏微分方程，Gong等(2014年严］用MPI并行编程模型对Caputo分数阶反应-扩 散方程的显式差分格式进行了并行化计算，验证了该方法在保证精确性的同时提高了计算效率. Sweilam等(2014年］研究了时间分数阶抛物方程的并行Crank-Nicolson差分格式，采用预条件 共轭梯度法对方程进行了并行求解.Wang等(2016年)【切提出一个Caputo分数阶反应-扩散方程 的隐式差分并行算法，相比较串行格式，并行化后的计算效率得到了显著提升.
针对时间分数阶反应-扩散方程，本文提出一类混合差分格式的并行计算方法，构造了一类 交替分段显-隐(ASE-I)和隐-显(ASI-E)格式，理论分析差分格式解的存在唯一性，无条件稳定性 和收敛性，数值试验验证了理论分析，证明了这类并行差分方法求解时间分数阶反应-扩散方程 的有效性.
§2时间分数阶反应-扩散方程的一类并行差分方法
§1引言
分数阶反应-扩散方程有深刻的物理和工程背景，由于其结构的复杂性，解析解难于求 得I1-2〕，分数阶反应-扩散方程的高效数值模拟已成为一项亟待解决的研究问题I3-4〕.随着多核和 集群技术的快速发展，并行算法已成为提高数值计算效率的主流技术之一，从大数据时代科学工 程计算的迫切需求出发，分数阶反应-扩散方程的有限差分并行计算方法具有重要的科学意义和 应用价值[5-6〕.
於表示f(Xi,tk )的精确解.
方程(1)的时间分数阶导数可离散为如下形式:
u(xi,tk+1) _
党旭等：时间分数阶反应-扩散方程混合差分格式的并行计算方法
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2.2 一类ASE-1并行差分格式
对区域⑵乍直角网格剖分，取正整数M,N,令空间步长h = M,时间步长t = T,则 有％ = ih, i = 0,1, 2, ••- ,M, tk = hr, k = 0,1, 2, ••- , N.用Uf 表示精确解u(xi,tk)的数值解,