《高等数学》空间向量与空间解析几何

C(2， 4， 7)， 求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可 知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
点坐标
空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、 z之间建立起一一对应的关系.
这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为 点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P (x,y,z).
z C
z xO
P (x,y,z)
y
By
x
A
两点间距离
任取空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),
1
4i 6 j 2k
2
14
向量积的性质
（ 1 ） a a 0
（ 2 ） 两 a ， b ， 个 则 a / b /a 向 b 0 量
向量积的运算律
对于 a ， b 任 ， c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 反交 a b b 换 a 律
ayk by
坐标法
设 a a x ， a y ， a z， b b x ， b y ， b z，则：
a b a b y y a b z z ， a b x x a b z z ， a b x x a b y y
例题
已 知 AB 的 C顶点 A(1分 ， 2， 3)， 别 B(3， 4 是 ， 5)，
向量积模的几何意义 以a， b为邻边的平等 面四 积边 . 形的
右手系规则图示
a
b
ab
注： 0 ，
是 a 到 b 的角
向量积的运算方法
分解式法
设 a axiay jazk， bbxiby jbzk， 则：
i abax
bx
j ay by
k
az bz
ay by
az iax bz bx
az jax bz bx
设O为一根杠杆L的支点，力F作用于这
杠杆上点P, F与OP的夹角为,力F对支
点O的力矩是一向量M,它的模为
M OQ F OP F sin
O Q
பைடு நூலகம்
P
F L
向量积
定 义 给定两 a 和 个 b ,a 和 向 b 的 向 量量 (或积 外 )仍积 是一 向记 量a 作 ,b ,其大a 小 b 为 a b si n(a ， b ),其 方向规 a 和 定 b 都为 垂 且 与 a 直 ,b ,a ,b 构成右手
想一想 如果四 A边 BC 中 形 D A， Ba2b， BC 4ab， CD 5a3b， 那A 么BC 是D什么样的四
已知 a 向 3 ， 1 ， 量 2， b 1 ， 2， 1 ,试求下
1 a b 2 2a b b 3 2a b 2a b
7.3 平面与直线
平面和直线是几何学中最基本的研究 对象,是一些向量空间和几何空间中 某些对象的最基本原型,同时它们也 是几何分析中“以直代曲”的最基本 元素.本章中要求掌握平面和直线的 代数表达形式以及点、线、面间的位 置关系.
dOM x2y2z2
练习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或 矢量);向量的大小称为向量的模.
(方向未做规定)
记作 e
向量的三种关系
相等向量 模长相等,方向相同的两个向量.
记作 ab
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在a 空间中任意平移.
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
aa a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
记作
a//b
注 零向量与任何向量都平行.
2 结 a 合 b a b 律
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
向量的混合积
设a
ax，ay，az
，bbx，by，bz
，ccx，cy，cz
,
则它们的混合积为：
ax ay az
abcbx by bz cx cy cz
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
例题
设 a 2 ， b 3 ， (a ， b )， 求 (a b )(a b )
与 (a b )(a b ).
3
解：( a b ) ( a b ) a a b b a 2 b 2 5
因为 ababco s(a，b)23cos 3
所以 (ab)(ab)aa2abbb 3
a22abb222233219
向量夹角余弦公式
两个非零 a， 向 b夹量角的余弦公式为： co s(a，b)aabb
axbxayby azbz
ax2ay2az2 bx2by2bz2
7.2.2 向量的向量积
引例
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a角位的坐向分标量解系式i、 O；xa j y、 z 中ka ，.x ， 则取a 称与y ， Oa xa 轴za 、x 称i O 为ya 轴向y、 j量 O的a zz 轴坐k
标式.
向量线性运算规律
分解式
a b a x b x i a y b y j a z b z k
为 WFScos ,其中 为F 与S 的夹角.
F
M2
S
M1
Fcos
定义 两量个a非与零b向的量夹角a与,记b作, 它(a 们， 的b 夹)角. 称为向
b
注 ( a ， ： b ) 0 ，
a
特 (别a ， 地b ， ) (0 a或，b时),称2a时与,称ba平与行b或垂共直线；；记记作作：：aa //bb
平行向量又可称作共线向量. a
图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
ABBCAC
图示 D
A
C ABADAC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
ABACCB
B
C
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
ABADDB
B
数乘运算
一个向量 a与一个实数 的乘积. 记作 a
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有 aaa0成立,则称向量 a0为原向量 a同方向的
单位向量.
定理
向量
a与向量
b平行(或共线)的充要条件是：
存在不全为零的实数和 ,使得a b 0 .
例题
已求知：2 a a e 3 1 b 2 c e 2 . 3 e 3 ， b 2 e 1 3 e 2 e 3 ， c 1 e 2 3 e 3 ， 3
数量积的性质
（ 1） aaa2
（ 2 ） 两个 a ， b ， 则 非 a b a 零 b 0 向量
数量积的运算律
对于 a ， b 任 ， c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 交a 换 b b a 律
2 结 a 合 b a b 律
它们之间的距离为d = |M1M2|.
过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z
于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
z1 M1
（△M1QM2 是直角三角形）
P
M 1P2PQ 2Q2 M 2
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P2PM 2 2Q2 M 2 x2
针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依
次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
练习
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1）
2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 指出下列各点的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）
标式来表示向量M1M2 与 2M1M2 .
2.已知 OA 4,1,5与OB 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M1M2,则力F 所做的功
x
O M1 P
( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
M2
Q y1
y2 y
M 2 (Q )
两点间距离公式：
d M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,b,c,表示
或用黑体字母,,,表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB (或 a ， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量 模长为零的向量. (方向是任意的)
记作 0
单位向量
模长为1的向量.
7.3.1 平面的方程
平面的法向量 定 义 在空间中通 M0且 过与 一非 定n零 垂 点向 直量
定义 任数意量两,记个作向a量ba,,即ba 的b 数 量a 积(b 或c 内积 o ( )a 是 ， 一s b 个).
数量积的运算方法
定义法
a b a b c o (a ， s b )
坐标法
设 a a x ， ay ， a z， b b x ， b y ， b z，则 aba xb xayb ya zb z
a ( a x ) i ( a y ) j ( a z ) k (为常数)
坐标式
a b a x b x ， a y b y ， a z b z
a a x ， a y ， a z (为常数)
练习
1.已知两点M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),试用坐
解： 2 a 3 b c
2 e 1 2 e 2 3 e 3 3 2 e 1 3 e 2 e 3 1 e 2 3 e 3 3
2 e 1 6 e 1 4 e 2 9 e 2 1 e 2 6 e 3 3 3 e 3 3 e 3