等差等比数列讲义解析

6.50 [解析] ∵数列{an}为等比数列,且 a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2… a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=ln e50=50.
7.4 [解析] 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),因为 a5-a1=15,a4-a2=6,所以
(2)设等差数列{an}的公差为 d,因为Snn=a1+12(n-1)d,所以数列
Sn n
也成等差数列,由S2013-S2011=2 得
2013 2011
该数列的公差为
1,因此S2017=S1+(2017-1)×1=-1,故
2017 1
S2017=-2017.
(3)由等差数列的性质知,S672,S1344-S672,S2016-S1344 成等差数列,则 2(S1344-S672)=S672+S2016-S1344,即 2×(12-2)=2+S2016-12,解得 S2016=30.
等差数列及其前 n 项和解析
1.an-an-1=d
a+b 2
an=a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d(n,m∈N*)
n(a1+an) 2
na1+n(n2-1)d
2.ap+aq 2ak 等差 3.dn+a1-d 一次函数 孤立 递增 递减 常数列
dn2+
2
a1-
d 2
n
二次函数
孤立
大
小
对点演练
(1)B
(2)D
[解析]
(1)设等差数列 an
的公差为
d,∵
S6 S9
= =
2643,,∴
6a1
+
6×5 2
d
=
24,
9a1
+
9×8 2
d
=
63,
解得
a1 =− d = 2,
1,则
a4=a1+3d=-1+3×2=5.
(2)设等差数列{an}的公差为 d,由 a6=3a4,得 a1+5d=3 (a1+3d),则 a1=-2d,又 S10=λa4,所以
等比数列及其前 n 项和解析
1. an =q
an-1
an=a1qn-1
an=amqn-m(n,m∈N*)
na1
a1(1-qn) 1−q
a1-anq 1−q
2.apaq 等比 qm 对点演练
a1q = 2, 1.2 [解析] 由条件知 a1q3-a1q2 = 4,可得 q=2.
q > 1,
2.18
[解析]
(1)D (2)B [解析] (1)方法一:由 d=-2,S3=21,得 3a1+3d=3a1+3× -2 =21,解得 a1=9,所以通项公
式为
an=9+(n-1)·(-2)=11-2n,则由
an = 11 − 2n ≥ 0, an+1 = 11 − 2 n + 1
≤ 0,解得92≤n≤121,所以当 n=5 时,Sn
a1q4-a1=15①,a1q3-a1q=6②,且
q≠1,① ②得(q2q+·(1q)2(-q12)-1)=165,即
2q2-5q+2=0,解得
q=2
或
q=1.当
2
q=2
时,a1=1;当 q=12时,a1=-16(舍去).所以 a3=1×22=4.
【课堂考点探究】
例 1 [思路点拨] (1)将已知条件中的两个等式转化为关于首项 a1与公比 q 的方程进行求解;(2) 由已知等式 a2016+a2017=0 求出公比 q,然后再根据 a3=3 求出首项 a1,最后利用前 n 项和公式求 S101.
a1-d2
n
对应的图像开口向上,其对称轴为
n=18+36=27,所以当
2
n=27
时,Sn
取得最小值,
故选 B.
变式题 (1)D (2)B [解析] (1)设等差数列 an 的公差为 d,因为 a1<0,aa11++54dd=181,所以
a1=-233d,d>0,所以
Sn=na1+n
n-1 2
d=d
1n2-49n
1.-3
[解析]
设等差数列
an
的公差为 d,则由条件得
a1 + 2(a1
4d = 9, + 2d)=(a1
+
d)+6,解得
d = 3, a1 =− 3.
2.-21 [解析] ∵在等差数列 an 中,a2=-1,a6=-5,∴S7=72(a1+a7)=72(a2+a6)=72×(-6)=-21.
3.24 [解析] 由等差数列的性质可知 S4,S8-S4,S12-S8 成等差数列,所以 2×(12-4)=4+(S12-12), 解得 S12=24.
S11=11×(120+0)=55,S20=10×20+20×(220−1)×(-1)=10,则|a1|+|a2|+…+|a20|=100.
【课堂考点探究】
例 1 [思路点拨] (1)将已知条件转化为关于首项 a1 和公差 d 的方程组,进而求得 a1 和 d,然后 利用等差数列的通项公式求 a4;(2)首先由 a6=3a4确定首项 a1与公差 d 的关系,然后代入 S10=λa4 即可求得λ的值.
2
(2)设等差数列{an}的公差为 d,由 3a3=a6+4 得 3(a2+d)=a2+4d+4,即 d=2a2-4.由 S5<10,得 5(a12+a5)=5(a22+a4)=5(2a22+2d)=5(3a2-4)<10,解得 a2<2,故选 A.
例 2 [思路点拨] (1)首先根据等差数列的性质得到 a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,然后进行
变式题
(1)B
(2)149
24
(3)C
[解析] (1)由题意可得 a3+a5+a7+a9+a11=5a7=45,S3=3a2=-3,则
a7=9,a2=-1,则数列的公差
d=a7-a2=2,故
7−2
a5=a2+3d=5.
(2)因为数列{an}和{bn}均为等差数列,所以ba27++ab2105=ba11++ab2211=
设该数列的公式为 q,则由题意得
a1q5 = 8a1q2,
a1 1−q3 1−q
= 2,
解得
a1
=
2 7
q = 2,
,则
S6=a1
1−q6 1−q
=18.
3.1 [解析] 设插入的 3 个数依次为 a,b,c.则1,a,b,c,4 成等比数列,由等比数列的性质可得
4
b2=ac=1×4=1.又因为 a2=1b>0,则 b=1.所以这 3 个数的积为 abc=1×1=1.
1 an+1
是
首项为 1 =3,公差为 3 的等差数列.
a1+1
(2)由(1)得 1 =3n,所以
an+1
an=31n-1.
变式题 解:(1)∵a1,a2(a1<a2)分别为方程 x2-6x+5=0 的两个根, ∴a1=1,a2=5, ∴等差数列{an}的公差为 4,
∴Sn=n·1+n(n2-1)·4=2n2-n.
4
4
4.±8 [解析] 设 a3 与 a7 的等比中项为 G,因为 a3=4,a7=16,所以 G2=4×16=64,所以 G=±8.
n,a = 1, 5. a(1-an) ,a ≠ 0,a ≠ 1 [解析] 因为 a≠0,an=an,所以{an}是以 a 为首项,a 为公比的等比数列.
1−a
当 a=1 时,Sn=n;当 a≠1 时 Sn=a(11−-aan).
6.
20 9
,
5 2
[解析]
由题意知数列{an}满足
aa190≤>00, ,即
-20+9d -20+8d
> ≤
00,,所以
d d
> ≤
20
9
5,
,即20<d≤5.
9
2
2
7.100 [解析] |a1|+|a2|+…+|a20|=(a1+a2+…+a11)-(a12+a13+…+a20)=S11-(S20-S11)=2S11-S20,而
指数与对数运算;(2)若数列
an
为等差数列,其前 n
项和为 Sn,则
Sn n
成等差数列,利用以上性质
即可求解;(3)由等差数列的性质知,S672,S1344-S672,S2016-S1344 成等差数列,由此建立方程可求解.
(1)B (2)-2017 (3)C [解析] (1)由等差数列的性质知 a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,则 2a1·2a2·…·2a10=2a1 + a2 +…+ a10=25(a5 + a6)=25×4,∴log2(2a1·2a2·…·2a10)=log225×4=20.
取得最大值,故选 D.
方法二:同方法一可求得
a1=9,因为
d=-2,所以
Sn=9n+n
n-1 2
×
-2
=-n2+10n=-(n-5)2+25,则当
n=5
时,Sn 取得最大值,故选 D.
(2)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a1<0,S18=S36,所以 d>0,所以数列 an 的前 n项和
Sn=d2n2+
a1+a21 2
b1+b21
×21
=S21=7×21+2=149.
×21 T21 21+3 24
2
(3)∵ an 是等差数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列,即 2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),∵Sn=3,S3n=21,∴2(S2n-3)=3+21-S2n,解得 S2n=10,故选 C.
则
S101=3
1− -1 101 1− -1
=3,故选
A.
变式题 (1)C (2)D (3)B [解析] (1)由题意得 10=a2+2a3⇒10=2a1+8a1⇒a1=1,故选 C.
(2)设等比数列{an}的公比为
q,由题意得1q·1q7=2×1q4+3,即
22
2
பைடு நூலகம்
q8-4q4-12=0,解得
q4=6
λ=S10=10a1+102×9d=10×(−2d)+102×9d=25.
a4 a1+3d
-2d+3d
变式题
(1)B
(2)A
[解析]
(1)设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得
a3 a5
= =
a1 a1
+ +
2d 4d
= =
14,,解
得
a1 =− d= 3,
2, 则数列{an}的前
13
项和
S13=13a1+13×212d=91.
(1)B
(2)A
[解析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意有
aa11q++a1aq12q3==150,,解得
q
=
1 2
,
所以
a1 = 8,
a5=a1q4=8×116=12,故选 B.
(2)设等比数列{an}的公比为 q,因为 a2016+a2017=a2016(1+q)=0,所以 q=-1.又因为 a3=3,所以 a1=qa32=3,
或
q4=-2(舍
去),所以 a9=a1q8=12×62=18,故选 D.
(3)设等比数列{an}的公比为 q(q>0),因为 a6-a2=30,a3-a1=3,且 q≠1,所以
a1 a1
qq52--aa11q==33, 0,得
aq1==21, ,所以 S5=11−−225=31,故选 B.
例 2 [思路点拨] (1)利用等比数列的性质求解;(2)利用等比数列的前 n 项和 Sn,第二个 n 项和 S2n-Sn,第三个 n 项和 S3n-S2n,…成等比数列求解.
26
,对应图像的对称轴为 n=49,整数中 8 距对称轴最近,
6
所以当 Sn 取最小值时,n=8,故选 D.
(2)由题意可得a11+a10<0,由
a10
Sn
有最大值,可知
a1>0,公差
d<0,所以
a10>0,a11<0,a10+a11<0,所以
S19=19a10>0,S20=10(a10+a11)<0,则使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19.
4.8 [解析] a3+a6+a10+a13=32,即(a3+a13)+(a6+a10)=32,根据等差数列的性质得 2a8+2a8=32,则 a8=8, 故 m=8.
5.7 或 8 [解析] an=a1+(n-1)d=-28+4(n-1)=4n-32.由 an≤0,得 4n-32≤0,即 n≤8,则 a8=0,当 n<7 时,an<0,所以前 n 项和 Sn 取得最小值时 n=7 或 8.
例 3 [思路点拨] (1)对数列 an 的递推公式进行变换,使其出现 an+1+1 与 an+1 的关系,即可证 明;(2)根据(1)的结论利用等差数列的通项公式求解.
解:(1)证明:因为 an+1+1=3-2aann+-34+1=3aann++14,所以an+11+1=3aann++14=3+an1+1,所以an+11+1-an1+1=3,所以
(2)证明:当 c=-12时,bn =nS+nc=2nn2-12-n=2n,
∴bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,b1=2,
∴{bn}是首项为 2,公差为 2 的等差数列.
例 4 [思路点拨] (1)首先根据条件确定数列的通项公式,然后根据数列各项的符号情况得到 不等式组,进而确定 n 的值,或求出前 n 项和 Sn 的表达式,利用二次函数的性质求解;(2)根据二 次函数图像的对称性来处理数列的最值.