③用留数定理计算积分()

∞
∑ b) 求级数和 nz n ， z < 1 的所有值。 n =1
∫∞ x2
②计算
dx −∞ 1 + x4
∫ ③计算
∞ 0
x2
x dx +4
18．04 近期考试 #2
18.04 考试#2
2000 年 11 月 3 日 星期五
要求：合闭课本，禁止使用计算器，并将 1，2，3 题的答案分别写在三张答题纸上。
18．04 以往考试 #2
18.04 考试#2
1997 年 4 月 4 日 星期五
要求：合闭课本，禁止使用计算器，并将 1，2，3 题的答案分别写在三张答题纸上。
① (a)写出柯西积分公式和它的约束条件。
(b)限定它在以 z0 为圆心，a为半径的一个圆。
( ) (c)因此，证明 f (z0 ) ≤ max f z0 + aeiθ 。
并且留数为 Re s
=
d dz
⎡z⎤
⎢ ⎣
(z
−
2)2
⎥ ⎦
z
=
1
=
20 ， 27
2
∫ 因此答案是
2π 0
dθ
(5 − 4cosθ )2
=
2πi ⋅ 20 4i 27
= 10π 27
。
1 2
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
e ix 2
+
⎜⎜⎝⎛
e ix 2
⎟⎟⎠⎞ 2
⎤ + K⎥ +
⎥⎦
1 2
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
e −ix 2 2
+
⎜⎜⎝⎛
e
−ix
2
⎟⎟⎠⎞ 2
⎤ + K⎥
⎥⎦
，
它们化简为
1 2
⎡ ⎢1 ⎣
−
e ix 2
⎤ −1 ⎥ ⎦
+
1 2
⎡ ⎢1 ⎣
−
e −ix 2
⎤ −1 ⎥ ⎦
=
1 2 − eix
的附近，
tan z = 1 ⋅ sin z ⋅ z − π / 2 。 其 中 ， sin z ⋅ z − π / 2 在 当 z → π 时 有 值 有 ：
z−π /2
cos z
cos z
2
1⋅ 1 = −1 。 −1
因此，以逆时针方向围绕着那一点，用中央与周边所差（CIF）或者留数定理均可类似地
计算出 2πi ⋅ (− 1) 。
另一方面，在点 z2
=
−π 2
附近，有 tan z
=
z
1 +π
/2
⋅ s源自文库n
z⋅
z+π /2 cos z
，
其中
sin
z
⋅
z
+π cos
/ z
2
，同理可得也是
→
−1⋅
1 +1
=
−1，
因此，那两个留数的值均为-1，而不是互为相反数，
∫ 答案为 tan zdz = −4πi 。 z =2
∫ ①计算积分 tan zdz ，其中 C 是沿逆时针方向，围绕圆 z = 2 一周。 C
②(a)
在 z=5 处，把 (z
z
− 5)2
展开成洛朗级数。
(b)求上面函数，在 z=0 展开的泰勒级数的前三个非零项。 (c)求上面函数，以 z=0 展开的洛朗级数的前三个非零项，要求在大的区间内有效。
∫ ③用留数定理，计算积分
⎝ 2 ⎠ 1 ⋅ ⎜⎛ 1 − 2⎟⎞ 6
2
4 ⎝2 ⎠
因此得到答案 Ι = − 2 π i ⎜⎛ − 25 + 6 ⎟⎞ = 5 π 。 8 i ⎝ 6 2 ⎠ 12
考试#2 的解答
2000 年 11 月 3 日 星期五
( ) ①(a)因为 1 1+ε
=
1−
ε
+
ε
2
−
ε
3
+ K ，那么 1
+
1 z + z4
∞ −∞
dx x2 +1 x2 + a2
，其中a为任意非 1 实数。如果要得到满
分的话，还需要确认你算出来的 Ι(a)，在 a → 1时正确。特别指出，可以再次运用留数定
理计算二阶极点，或者通过用积分计算中的一个技巧 x = tan β 来检查。
18.04 考试#2
2003 年 10 月 24 日 星期五
近似等于
( ) ( ) ( ) 1 − z + z 4 + z + z 4 2 − z + z 4 3 + K = 1 − z + z 2 − z 3 + 0 ⋅ z 4 + K
(b) 当然，泰勒级数收敛定理确保这个级数收敛，所有 z 小于从复数到分母1+ z + z4最
近零点的距离的成立，因为，这是题目中 f (z)能有一个奇点的唯一方法。但是，从三
处有一个二阶极点（另外一个 z=2 时的
2
简单极点，它位于单位圆之外，对这个积分没有影响）。
( ) ⎡
⎤
由d dz
⎢ z2
⎢
⎢ ⎢⎣
z2
−
+1 5z 2
2⎥
⎥，
+
1
⎥ ⎥⎦
z
=
0
⎜⎛ 1 + 1⎟⎞2
算出那些相应的留数为 Re s⎜⎛ 1 ⎟⎞ = ⎝ 4 ⎠ = − 25 和 Re s(0) = + 5 。
要求：合闭课本，禁止使用计算器，并将 1，2，3 题的答案分别写在三张答题纸上。
5
( ) ∑ ①把 S θ = eikθ 表示成两个正弦之比。 k =−5 e 提示：使用 ±iθ / 2 将简化计算。
②定义 C 为以 z=0,1,1+i 和 i 四点为顶点的单位正方形。按逆时针方向绕一周，求积分
∫ exp z dz 的值。（ z 表示 z 的共轭复数）
∫ sin z
③定义椭圆 4x 2 + y 2 = 9 为曲线 E，求积分 Ε z 2 + 4 dz 。
18.04 考试#2
1991 年 4 月 3 日 星期三
要求：合闭课本，禁止使用计算器，并将 1，2，3 题的答案分别写在三张答题纸上。
①判断下列说法是否绝对正确或有错误。
(a)如果函数 f 和 g 在点 z0 处有一个极点，那么函数 f + g 在点 z0 处也有一个极 点。 (b)如果函数 f 在点 z0 处有一个本性奇点，函数 g 在点 z0 处有一个极点，那么函数 f + g
(e)如果函数 f 在点 z0 处有一个 m 阶零点，函数 g 在点 z0 处有一个 n 阶极点，其中 n ≤ m ， 那么它们乘积 f ⋅ g 在点 z0 处有一个可去奇点。
（注意，要有简要地说明，适当的举一、两个反例可以表现出答题者很聪明！）。
∫∞ dx
②求实数积分 −∞ x 4 + x 2 + 1 的值。
=
1 ⎜⎛1 + 5 + z⎝ z
25 z2
+
K⎟⎞ 2 ⎠
=
1 + 10 z z2
+
75 z3
+
K
补充说明：算出这三个答案的各自得分为 2+4+4=10。
③除了一些明显看出的分母变化，还有分子中的 sin 2 θ 被 cos 2 θ 替换掉外，这道精心挑选
的题目，重复了我们课本上第 253 页有解答的例 1。 和那里一样，同理：
e iz
( ) ③a)求出 z 2 + 1 2 在点 z=i 处的留数。
∫ ( ) ∞
b)求
cos x
dx 的值。
−∞ x2 + 1 2
18.04 考试#2
1987 年 11 月 6 日 星期五
要求：合闭课本，禁止使用计算器，并将 1，2，3 题的答案分别写在三张答题纸上。
∑ ①a) 求级数和
∞ ⎜⎛ 1 + i ⎟⎞ n n=1 ⎝ 3 ⎠
2π cos2 θ dθ 0 5 − 4cosθ
考试#2 的解答
1999 年 4 月 2 日 星期五
①函数 tan z = sin z 除了在一些点，如 z = ± π 外，在整个定义域内都解析，这是因为分母
cos z
2
cos
z在这些点上的值为
0。有两个奇点位于圆
z
= 2 里面。在奇点 z1
= +π 2
+ 20 + K
。
现在你已经或应该知道
∫ ∫ 2π e6ixdx= 2π e4ixdx=L= 0，
0
0
所以，剩下一个很简单的答案 20 / 64 ，
∫ 最后结果 2π cos6 xdx = 5π 。
0
8
(b)我们求和1
+
1 2
⋅
cos
x
+
1 4
cos2x
+
K
e ix
同样，可以通过把 分解为两个简单的几何和式
∫ (a)积分 2π cos 6 xdx 0
∑∞ cos(nx)
(b)求和
n=0
2n
∫2π
dθ
③用留数定理来，计算
0
(5 − 4cosθ )2
18.04 考试#2
1999 年 4 月 2 日 星期五
要求：合闭课本，禁止使用计算器，并将 1，2，3 题的答案分别写在三张答题纸上。 重申：这次没有证明题！
+
1 2 − e −ix
，
这意味着题目的解为
∑=
4 5
− −
2 4
cos cos
x x
K
=2
（当 x=0 时）
= 4 （当 x = π 时）
5
2
= 2 （当 x = π 时）。
3
③一般通过利用 z = eiθ 和 dz = ieiθ dθ = izdθ ，
dz
∫ ∫ ∫ 积分有
2π 0
dθ
(5 − 4cosθ )2
( ) Ι = 2π cos2θ ⋅dθ =
⎜⎛ z + 1⎟⎞2 / 4 ⎝ z ⎠ ⋅ dz = − 1
z2 +1 2
dz
∫ ∫ ∫ 0 5− 4cosθ z =15−2⎜⎛ z + 1⎟⎞ iz 8i z2 +⎜⎛ z − 1 ⎟⎞(z − 2)
⎝ z⎠
⎝ 2⎠
z =0 函数在点 z = 1 处有一个简单极点，在点
(d) 完成最大模定理的证明。
( ) ②(a)
在区间 0 <
z
<
2 内，求函数
f (z) =
z3
ez z2 + 4
洛朗展开式的前四个非零项。
∫ ( ) (b)利用这个有价值的信息，去计算或估计积分 f z dz 的值，其中它的路径是围绕单
位圆 z = 1一周，沿逆时针方向。
∫ ( )( ) ③用留数定理计算积分 I (a) =
z
②(a)有 (z −5)2
=
5+ (z −5) (z −5)2
=
5
(z −5)2
+
1 z − 5 ，答案就出来了。
(b)
L=
z
⎜⎛ ⋅⎜
1
⎟⎞ 2 ⎟
25
⎜⎜⎝1 −
z 5
⎟⎟⎠
=
z 5
⎜⎜⎝⎛1
+
z 5
+
z2 25
+
L⎟⎟⎠⎞
=
z + 2z2 5 125
+ 3z2 +L 625
(c)
K=
1 ⋅ ⎜⎛1 − 5 ⎟⎞−2 z ⎝ z⎠
在点 z0 处有一个本性奇点。
( ) ( ) (c)如果 f z 在点 z=0 处有一个 m 阶极点，那么 f z 2 在点 z=0 处会有一个 2m 阶的极
点。
(d)如果函数 f 在点 z0 处有一个极点，函数 g 在点 z0 处有一个本质性的奇点， 那么乘积 f ⋅ g 在点 z0 处有一个极点。
=
iz
= 1⋅
⎜⎛5 − 2z − 2 ⎟⎞2 4i
zdz ⎜⎛ z 2 − 5 z +1⎟⎞2 ，
⎝
z⎠
⎝ 2⎠
当然 积分以围绕单位圆 z = 1来计算。
这里 f (z ) =
⎜⎛ z 2 −
z 5 z + 1 ⎟⎞ 2
=
z
(z − 2 )2 ⎜⎛ z − 1 ⎟⎞ 2
⎝
2
⎠
⎝ 2⎠
在圆内点 z = 1 处有一个二阶极点， 2
个复数 1、 z 和 ⎜⎛ z ⎟⎞4 = 16 < 1 中，我们仍然不能使这个级数的和达到 0，是吗？ 3 ⎝ 3 ⎠ 81 3
②(a)通过欧拉公式和 (a + 6)6 的表达式，我们可以得出
( ) ( ) cos6
x=
1 26
⋅
eα
+ e −ix
6
=
1⋅ 64
e 6ix
+ e 4ix
+ 15e 2ix
①(a)求泰勒级数 1 1+ z + z4
= 1 + a1z + a2 z 2
+ a3z3
+ a4z4
+ K中的至少前四个系数
a 1 、 a2 、 a3 、 a4 的值。
(b)如果后面的系数能被推算出来，并且可以运用。讨论一下，为什么我们就
可以确定这个级数在 z = 2 / 3 处收敛。
②运用熟悉的 e ix ，快速巧妙地计算：