概率统计学课件-中心极限定理

n np
近似
~ N(0,1)
np(1 - p)
而 ŋn近似服从N (np, np(1-p)).
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5
例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对 100名患者进行这种手术，以X记手术成功的人数. (1)求P(84≤X ≤95); (2)求P(X≥90).
解: (1)由题意知X~B(100,9),
解： 由X1,, X100相互独立，且X i ~ U (0,20), 得
E( X i )
10,
D(Xi )
(20 0)2 12
100 3
100
E(
i 1
Xi)
1000 ,
100
D(
i 1
Xi)
100 2 3
100
, (
i 1
Xi)
100 3
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由独立同分布的中心极限定理，
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4
定理.[棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理]
若随机变量 ŋn 服从参数为n, p的二项分布，则
则对于任何实数x，有
lim
n
P
n np
np(1 - p)
x
1
x t2
e 2 dt (x).
2π
定理表明，当n充分大时，二项分布的随机变量ŋn 的标准化变量近似服从标准正态分布，即
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2. 已知 X ~ N (1, 32 ), Y ~ N (0,16), 且X ,Y独立,
设Z X Y , 则Z服从（ ）分布.
32
A. N(1,2); B. N(1 , 2); C. N (1 , 5);
3
3
D. N(1, 5)
分析：因为X, Y相互独立，根据正态分布的性质
0.994 0.9931 0.927
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而p1 P(X 4); p2 P(Y 5), 则( ).
A.对任何实数，都有p1 p2 B.对任何实数，都有p1 p2 C. 只对的个别值，才有p1 p2 D. 对任何实数，都有p1 p2.
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分析： 由 X ~ N (, 42 ), Y ~ N (, 52 )
Z X Y 服从正态分布, 且
3
2 E(Z)
1
E(X )
1
E(Y )
wk.baidu.com
1 1
1
0
1.
3
2
32 3
D(Z ) 1 D(X ) 1 D(Y ) 1 9 1 16 5.
故选C.
9
4
94
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3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：
X ~ N (, 42 ), Y ~ N (, 52 )
p1
P( X
4)
P(
X
4
1)
(1)
p2
P(Y
5)
P(Y
5
1)
1
P(Y
5
1)
1 (1)
而 (1) 1 (1), 即 p1 p2 故选B.
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4. 设X1,, X100相互独立，且Xi ~ U (0,20), i 1,,100,
100
令X Xi , 求P( X 1100 ). (查表( 3) 0.9582 ) (2+2) i 1
解：(2)设能对N位顾客服务，按题意需要确定最大的N，使
N
P( X i 60) 0.95
N
i 1
N
E( X i ) N 1.5, D( X i ) N 1 N
i 1
N
i 1
P(
N i 1
Xi
60 )
P(
i1
Xi
N 1.5 N
60 N 1.5) N
( 60
N 1.5) N
0.95
即 60 N 1.5 1.645, 1.5N 1.645 N 60 0, N 33.6
E (X)=n p=100×0.9=90，D (X)=n p(1-p)=100×0.9×0.1=9，
P(84 X 95) P(84 90 X 90 95 90)
3
3
3
P(2 X 90 1.67) 3
(1.67) (2) (1.67) (2) 1 0.9525 0.97721 0.9297
10
例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间
(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.
(1) 求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率；
(2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至
多能对几位顾客服务。
解：(1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,…,100
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问题：在n次独立重复试验（即n重伯努利试验)中 ，p为一次试验中事件A发生的概率，记ŋn 为n次 试验中事件A发生的次数， 则ŋn ~B(n, p)
P( n )
P(n k)
Cnk pk qnk
k
k
试验次数n较大时，计算相当困难，有没有近似计
算的方法？
回顾泊松定理： 当n充分大, p很小 (p<0.1),
客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布
是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
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且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布N n, n 2
i 1
n
Xi n 近似
i 1
~ N(0,1)
n
另一种形式：
X
近似
~
N(0,1)
/ n
近似
或 X ~ N(, 2 / n)
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由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量 的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个 相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的 和近似服从正态分布。
由题意X1, X 2 ,, X100相互独立且服从同一分布，且
E( X i ) 1.5, D( Xi ) 1, ( i 1,2,,100 )
100
100
E( X i ) 100 1.5 150, D( X i ) 100 1 100
i 1
100
i 1
100
P( i 1
Xi
120 )
n
Yn*
i 1
Xi n n
的分布函数
Fn (x) 满足如下极限式
lim n
Fn (x)
lim
n
P
n i 1
Xi
n
n
x
x
1
t2
e 2 dt (x)
2
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定理的应用：对于独立的随机变量序列 Xn ，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
(1) 写出X的概率分布； (2) 利用德莫佛-拉普拉斯定理, 求被盗索赔户不 少于14户，且不多于30户的概率的近似值. 解：(1) 由题设知 X ~ B(100,0.2) 于是X的概率分布为
P( X k ) C1k00 (0.2)k (0.8)100k , (k 0,1,2,,100 )
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四、熟悉正态分布的性质 1 (线性性). 若 X ~ N (, 2 ), 则
Y a bX ~ N(a b, b2 2 ).
2
(可加性).
设X
~
N
(x
,
2 x
),
Y
~
N
(
y
,
2 y
),
且X、Y相互独立,
则X
Y
~
N(x
y
,
2 x
2 y
).
3(线性组合性).设 X1, X 2 ,, X n相互独立，且
P(X 1100) 1 P(X 1100)
1
P(
X
1000 100
11001001000)
3
3
1
P(
X
1000 100
3)
3
1 ( 3) 0.0418.
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5. 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户 中被盗索赔用户占20%，以X表示在随机调查的 100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.
独立同分布于B(1,p)的随机变量X1，X2，…，Xn，其和
X1+X2+…+Xn近似服从正态分布。 启示： X1，X2，…，Xn只是独立同分布的随机变量， 是否有类似结论？
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独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立, 服从同一分
布，且有的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
N
N 33
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内容小结
一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图 像及性质； 二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化， 会利用标准正态分布表，求正态分布的概率； 三、掌握正态分布的数字特征；
1. 期望 E( X ) ; 2. 方差 D( X ) 2.
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(2) 由 E(X)= np =20, D(X)= np(1-p) =16.
由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有
P(14 X 30) P(14 20 X 20 30 20 )
16
16
16
P(1.5 X 20 2.5) 16
(2.5) (1.5)
(2.5) (1.5) 1
即 λ=np比较适中时，
P( n )
Cnk pk qnk
k
k e , 其中 np
k k!
看上去简单一点，但仍然是一串很长和式，有没有近
似计算的方法？
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分别取n=6,20,50,100, p=0.3 的二项分布图
当n越来越大时，二项分布的概率值渐进为正 态曲线，标准化以后即为标准正态分布曲线。 即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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设ŋn~B(n,p), ŋn表示n次试验中事件A出现的次数， ŋn可以分解为一系列随机变量之和
n
n Xi i 1
其中Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即
其中X i
1, 0,
在第i 次试验中A 出现； 在第i 次试验中A 不出现. (i
1,2,, n)
根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，
P(
i 1
X i 150 10
120 150) 10
(3) 1 (3) 0.0013
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例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以 分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1. (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多 能对几位顾客服务。
正态分 布——中心极限定理
基本内容： 一、正态分布的定义 二、正态分布的数字特征 三、正态分布性质 四、中心极限定理
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正态分布是最重要的概率分布(原因)：
(1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, 例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等 大量随机现象可以用正态分布描述. (2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从 正态分布.(中心极限定理) (3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等) 是由正态分布推导得到的.
15
备用题
1. 已知连续随机变量X的概率密度函数为 f (x) 1 ex2 2x1
则X的数学期望为______; X的方差为______.
分析：经过整理得
f (x)
( x1)2
1
2( 1 )2
e2
2 1
2
由此可见X ~ N (1, ( 1 )2 ), 故E(X)=1, D(X)=1/2.
2
Xi
~
N
(i
,
2 i
),
i 1,2,, n,
则
n
n
n
ci Xi ~ N ( cii ,
ci2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
五、了解中心极限定理, 并会用相关定理近似计算
有关随机事件的概率．
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作业
习题四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18
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