空间点阵与倒易点阵
倒易点阵重点
bc bc a* V a bc
ca ca b* V bca ab a b c* V c ab
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系
点阵矢量 r * ha * kb * lc * 倒易点阵基本平移矢量：a *, b *, c *
P1S P1 / 源自r* P1SP2 /
•
S0 /
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
材料现代研究方法讲义
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示 衍射条件与衍射方向
反射球（衍射球，厄 瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球 心，以入射线波长的倒 数为半径的球。 产生衍射的条件：若以入 射线与反射球的交点为原 点，形成倒易点阵，只要 倒易点落在反射球面上， 对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向。
衍射矢量方程及厄瓦尔德图解
材料现代研究方法讲义
衍射矢量方程
s s0 (HKL) 衍射矢量
s s 0 2 S sin 2sin 1 s s0 d HKL
s s0 r
* HKL
r * H a * Kb * Lc *
材料现代研究方法讲义
r * ha * kb * lc *
以 a *, b *, c * 为新的三个基矢， 引入另一个点阵，显然该点阵 ca 中的点阵矢量 r * ha * kb * lc * b* V 的方向就是晶面(hkl)的法线方 ab 向，该矢量指向的点阵点指数 c* V 即为hkl。 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面
XRD(2-晶体学基础)(1)
1．倒易点阵的定义？ 2．倒易点阵的重要性质？
34
<100>等效晶向
16
（三）晶面和晶面间距 1、晶面
➢ 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互平行、 等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。
➢ 这些相互平行的平面称为晶体的晶面 ➢ 同一布拉菲格子中可以存在位相不同的的晶面
17
（hkl）：表示一组相互平行的晶面， 称为晶面指数或米勒指数。
（hkl）是平面在三个坐标轴上截距倒数的互质比。 晶格中一组晶面不仅平行，并且等距；
一组晶面必包含了所有格点而无遗漏。
同一个格子，两组不同的晶面
18
例
以晶胞参数a,b,c为三个对应晶轴的度量单位，晶面ABC在 坐标轴上的截距分别为2、3、6； 其倒数为1/2、 1/3 、 1/6，
h:k:l = 1/2 :1/3 : 1/6
=3:2:1
故: 该晶面的晶面指数 （hkl）为(321)。
带轴。
凡属于[uvw]晶带的晶面，其面指数（hkl）必符合关系：
hu+kv+lw=0
晶带定律
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二、倒易点阵（倒点阵）
倒点阵可以直观地解释衍射图的成因， 它是虚拟的、抽象的教学工具。
晶体学中的正点阵（空间点阵），通过某种联系，将其 抽象出另外一套结点的集合，得到倒点阵。
➢ 晶体点阵中的一个晶面（hkl），在倒点阵中将用 一个点Phkl表示。该点与其对应的晶面有倒易关系。
E、当晶面指数中某个位置上的指数为0时， 表示该晶面与对应的晶轴平行。 如（100）(001）。
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2、晶面间距dhkl
晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离。 通常用dhkl 或简写为d来表示。
倒易空间与真是空间[精华]
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倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hk l），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐh kl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhk l=k/dh kl式中k 为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的H KL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距d HKL的倒数倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hk l），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐh kl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhk l=k/dh kl式中k 为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的H KL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距d HKL的倒数布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。
所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。
其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。
固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。
在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
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概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
倒易点阵介绍
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
第六章 空间点阵
3
4 正点阵空间的位矢 R uvw u a v b w c 长度表示为 a u u 2 R uvw R uvw R uvw u , v , w b a b c v u , v , w G v w w c 5 h1 k 1l1 与 h 2 k 2 l 2 两平面夹角为两倒易矢 rh1 k 1 l1 * 与 rh 2 k 2 l 2 * 间
7
实际晶体中出现几率大
的是 Miller 指数小的晶面。
定义 2：一族晶面中离原点最 近的平面点阵在轴 a ， b ， c 上的 1 1 1 截距分别为 a ， b ， c 的 ， , ，整数数组即为该晶面 的 Miller 指数。 h k l 定义 3：设一族点阵平面分别 将基矢 a ， b ， c 分为 h 段 , k 段 , l 段，则 该晶面的 Miller 指数为 hkl 。
a x a y a z a x a y a z ax ay az ax ay az 2 v a b c a b c bx by bz bx b y bz bx b y bz bx b y bz c c c c c c cx cy cz cx cy cz x y z x y z a a a b a c 2 1 b a b b b c det G 同理 v * det G * det G c a c b c c
Fourier
( x ua , y vb , z wc ) F hkl e
hkl
hkl
潘金生材料科学基础(修订版)知识点笔记课后答案
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
材料现代研究方法(10倒易点阵)
b a
a
b
γ-Fe, fcc
Cu3Au, simple cubic
材料现代研究方法讲义
点阵常数
为了表示晶胞的形状和大小， 为了表示晶胞的形状和大小，可将晶胞画在 空间坐标上，坐标轴(又称晶轴) 空间坐标上，坐标轴(又称晶轴)分别与晶胞 的三个棱边重合， 的三个棱边重合，坐标的原点为晶胞的一个 顶点， 顶点，晶胞的棱边长以 a,b,c 表示，棱间夹角 表示， α,β,γ表示 表示。 以α,β,γ表示。棱边 和棱间夹角α, 长a,b,c 和棱间夹角α, β,γ共六个参数称为 β,γ共六个参数称为 点阵常数。 点阵常数。
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 3、粉末法：试样有极多的小晶粒组成的多晶体
空间点阵中的(hkl)面在倒易点阵中用一个结点表示 面在倒易点阵中用一个结点表示 空间点阵中的
晶面与倒易结点的关系
空间点阵
倒易点阵
材料现代研究方法讲义
坐标原点到hkl倒易点的距离等于正点阵 的(hkl)面的面间距的倒数，
uu r 1 r *HKL = d HKL
简单立方的倒易点阵： 体心立方的倒易点阵： 面心立方的倒易点阵： （考虑结构因数之后的倒易点阵） 实空间：平面－－－倒易空间： 实空间：平面－－－倒易空间：线 －－－倒易空间
二维问题一维化处理
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系 r r r 正点阵基本平移矢量： a , b , c
uur uu uu r r 倒易点阵基本平移矢量： a *, b *, c *
rr r rr r rr r 晶胞体积 V = a b × c = b c × a = c a × b r r r r uur b × c r uur r uu r uu r r b×c a*= = r r r a a* = b b* = c c* =1 V a ⋅b × c r r r r r uu r uu r uur r r uu c × a r c×a a b* = b c* = c a* = 0 b* = =r r r
倒易点阵与正格空间
倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系:真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl 表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl 点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质:１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数倒易点阵将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。
倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。
倒易点阵的空间称为倒易空间。
倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL 晶面的面间距dHKL的倒数布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。
所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。
其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。
固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。
在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。
倒易点阵
H1K1L1
(H1K1L1) (H2K2L2)
H2K2L2
已知同一晶带俩晶面指数求晶带轴指数：
• 已知：[uvw]晶带中任意两个晶面指数(H1K1L1)和 (H2K2L2)，由晶带轴定理得：
•
H1u+K1v+L1w=0
•
H2u+K2v+L2w=0
空间所有相互平行(方向一致)的晶向， 其晶面指数相同，称之为晶向组。
• 将晶体中方位不同但基元排列状况相同 的所有晶向组合称为一个晶向族，用 <uvw>表示。如立方晶系的<100>族包 含6个晶向组：
<100>=[100]+[010]+[001]+[100]+[010]
+[001]
• (2) 晶面指数：找出待标识晶面在三条坐 标轴上的截距并取其倒数，将它们化为互 质的整数并加圆括号(若某截距为负，则在 相应指数上加“-”)，如(h k l)。(h k l)表示 的也不是一个晶面，而是空间所有相互平 行(方向一致)的一组晶面，称之为晶面组。
• OA•r*HKL=dHKLr*HKL= • (a/H+1/K+1/L)•(Ha*+Kb*+Lc*)=1,
• 即： r*HKL=1/dHKL • dHKL=1/r*HKL
(1-48)
r*HKL的两个说明： • ⑴ 一个阵点指数为HKL的倒易点对应正
点阵中一组(HKL)面，(HKL)的方位与晶 面间距由该倒易点相应的r*HKL决定；同样， 正点阵中每一(HKL)对应一个倒易点，该 倒易点在倒易点阵中的坐标(可称为阵点 指数)即为HKL。
倒易点阵介绍综述
(2) 波长连续， 使Ewald球的数 量增加，即球壁 增厚（Laue法）
S / 1/
A
S 0 /
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随机分 布的晶体 数量 ， 相当于围绕O点转动倒易
S / 1/ hkl
晶格，使每个倒易点均
形成一个 球 （倒易 球 ）。 （粉晶法的基础）
OA pa qb rc
ha k b l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由：
2
( S S0 )
可见，只有当φ =2π n时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
OA 2 (ha* k b* l c* ) ( pa qb r c) 2 (hp kq lr )
5
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0 同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1. 2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
O
观地看出那些面网的衍射状
况。
X射线晶体学重点(国科大)
X射线晶体学复习要点（一）晶体和空间点阵¾什么是晶体？¾晶体相关的基本概念：1.单晶：构成固体的原子作周期性有规则排列的固体。
2.多晶：由细微小单晶无规排列的固体。
3.非晶：至少在微米尺度内作周期性排列称为长程有序。
原子作长程无序排列的固体称为非晶态。
¾单晶体的几个概念：1.晶棱2.晶带3.晶面夹角守恒定律（2）点阵和结构基元1912年Lave等首次用X射线衍射测定晶体结构，标志现代晶体学的创立。
晶体内部原子、分子结构的基本单元，在三维空间作周期性重复排列，可用一种数学抽象——点阵来研究它。
若晶体内部结构的基本单元可抽象为一个，则整个晶体可用一个三维点阵来表示。
点阵是一组无限的点，点阵中每个点都具有完全相同的周围环境。
在平移的对称操作下,（连结点阵中任意两点的矢量,按此矢量平移）,所有点都能复原,满足以上条件的一组点称为点阵。
晶系•分子（或原子）在三维空间中周期性排列就形成晶体。
周期排列的重复单元就是结构基元。
能够填满整个三维空间的排列单元首先必须是一个平行六面体。
•晶胞参数：表示一个平行六面体需要6个参数：三个轴的长度a, b, c 和三个轴的夹角α, β, γ。
•根据晶胞的点群对称性，把晶体分为七大晶系；考虑到晶胞这中平行六面体的微观对称性，得到一共有14种不同的平行六面体，就是14种布拉菲点阵。
能够填满三维空间的平行六面体，按照对称性分成7种晶系。
4种点阵类型按照点阵类型分：1.简单（P）2.底心（C）3.体心（I）4.面心（F）如何表示晶体中的原子？)表示出1个晶胞里面的原子即可，其他原子就是该晶胞在空间重复排列。
)晶胞的大小和形状，由晶胞参数a,b, c, α, β, γ确定；)晶胞内部各个原子的坐标位置，由原子坐标参数（x,y,z）规定。
)结构测定就是确定以上的各个参数。
cn b n a n R n r r r r 321++=任意一个阵点位置都可以表示为位矢：任意一个原子位置都可以表示为位矢：c z b y a x R R j j j n j nr r r r r +++=•晶列：布拉菲格点可以看成分布在平行等距的直线系上，这些直线系称为晶列。
潘金生材料科学基础(修订版)知识点笔记课后答案
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
晶体简介及倒易点阵
a×b c = V
(仅当正交晶系)
1 1 1 a = ,b = ,c = a b c
倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中,从 倒易原点到任一倒易点P的 矢量称倒易矢量ghkl g*
hkl
= ha + kb + lc
可以证明:
1. g*矢量的长度等于其
对应晶面间距的倒数 g* hkl = n/dhkl
小结:晶系与点阵常数的关系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c 夹角 α=β=γ= 900 α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ≠ 900 α≠β≠γ≠ 900 晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO45H2O
000,1/2 1/2 1/2
◆面心点阵 F
除8个顶点外,每 个面心上有一个 阵点,每个阵胞 上有阵点: 4个 其坐标分别为: 000, 1/2 1/2 0, 1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2
空间点阵和晶体结构的关系
空间点阵+结构基元=晶体结构
虽然空间点阵只有14种,但晶体结构的 种类是无限的.
倒易点阵(Reciprocal Lattice )
倒易点阵的定义
定义:将晶体学中的空间点阵(正点阵),通 过某种联系,抽象出另一套结点的组合,称倒 易点阵. 在晶体点阵中的一组晶面(hkl),在倒易空 间中将用一个点Phkl表示,该点与晶面有倒易 关系.
如何确定倒易点阵的阵点
材料分析方法 第一章 晶体学基础
A2
B2
A3
0
1/2
1
y
x
◆结论：若仅考虑晶面的空间方位，则A1 ，B1，A2，B2，…与A1，A2，A3，…一样， 均以晶面指数（010）标识 ◆若要考虑二者晶面间距的不同，则分别 用 (020) 和 (010) 标识，此即干涉指数．
z d010 d010/2 B1 A1 A3
A2
B2
0
1/2
1
3.晶体结构与空间点阵 ◆将空间点阵的阵点复原为结构基元，便 得到晶体结构，即： 晶体结构 = 空间点阵 + 结构基元．
NaCl结构
+
面心F点阵
0,0,0 1/2,0,0
=
Na+ Cl结构基元
◆注意：虽然空间点阵只有14种，但由 于结构基元是无穷尽的，因而晶体结构 也是无限的 (同一点阵因结构基元不同 形成多种结构)。
a* a
a* ┴ b, a* ┴ c, b* ┴ a, b* ┴ c, c* ┴ a, c* ┴ b, ∴ a*//(b×c)， a*= K(b×c) b*//(c×a)， b*= K(c×a) c*//(a×b)， c*= K(a×b) 又∵ a*· a = K(b×c)· a=1 而(b×c)· a 为正点阵晶胞体积V ∴ a*· a = KV = 1 ∴ K = 1/V
a
A
o b
y
x
(4) 将倒数按比例化为互质的整数, 并加圆括号: (111)
例2: 求点阵面 MSR的密勒指数
步骤如下:
(1) 建立坐标系 (2)截距 x=1/4, y=2/3, z=1/2 (3)倒数: 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =2 (4)将倒数乘公因子2, 化为最小整数 (5)加圆括号: (834)
倒易点阵介绍
表明某一倒易基矢垂直于 正点阵中和自己异名的二基矢 所成平面
4
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
(S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ
11
Ewald 作图法
❖ Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 ❖ sinθ =λ/2d
g ❖ 令d= λ / hkl （此时比例系数用X射线的波长） ❖ 则sinθ = ghkl /2
❖ 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
hkl S/
1/
A
S0/
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（3）Ewald球不动，增 加随机分布的晶体数量， 相当于围绕O点转动倒易 晶格，使每个倒易点均形 成一个球（倒易球）。 （粉晶法的基础）
hkl S/
1/
A
S0/
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最 大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程差 On Am OA S OA S0
OA (S S0 )
S2 (S-S0) (HKL)
S0
❖ 相应的位向差为 2 2 (S S0 ) OA
OA pa qb rc 其中p、q、r是整数
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没 有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
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正点阵
倒易点阵 图7 bcc的倒易点阵
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图6 倒易矢量与晶面指数关系
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三、倒易点阵
倒易点阵的阵特征： 1.晶体点阵中二维阵点晶面在倒易点阵中对应一个点----倒易点。 2.晶面间距和取向两个参量在倒易点阵=90° α=β=γ=90° α=β=γ=90° α=β=γ≠90°
晶体实例 Cu , NaCl Sn , SnO2 I2 , HgCl2 Bi , Al2O3 Mg , AgI S , KClO3 CuSO4· 5H2O
5
a=b≠c
六方 单斜 三斜
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α=β=90°γ=120°
空间点阵与倒易点阵
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点阵与倒易点阵 汇报人：邓海鹏
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目次
一、空间点阵与晶胞
二、晶向指数和晶面指数
三、倒易点阵
四、倒易点阵的应用——衍射花样分析
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点阵与倒易点阵 汇报人：邓海鹏
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一、空间点阵与晶胞
空间点阵：为了便于分析晶体中质点（原子、分子、离子或原子团等）的排 列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺陷的理想晶体，并将其中的每 个质点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。这些阵点在空间呈周 期性排列，并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的 阵列称为空间点阵。图1为空间点阵的一部分。
图1 空间点阵的一部分
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一、空间点阵与晶胞
晶胞：为了说明点阵的排列规律和特点，可在空间点阵中取出一个具有代表 性的基本单元，称为晶胞。晶胞作三维堆砌就就构成了空间点阵。 选取晶胞原则： 1.在晶体学中常用平行六面体作为晶胞； 2.它们应具有棱与棱之间的最多直角数； 3.还应具有最小的体积。 4.当交角不为直角时，在遵循前三条的前提下，应选择结点间距小的行列作 为平行六面体的棱，且棱间交角接近于直角的平行六面体。
图4 立方晶系的一些重要晶面
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二、晶向指数和晶面指数
晶面指数的特征： 1.所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶 面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。 2.晶面指数中h、k、l是互质的整数。 3.最靠近原点的晶面与X、Y、Z坐标轴的截距为a/h、b/k、c/l。 晶面间距d hkl： 一组平行晶面（hkl）中两个相邻平面间的垂直距离称为晶面间距，用dhkl表 示。它与晶胞参数和晶面指标有关。 正交晶系 立方晶系 六方晶系
图2 选择晶胞
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一、空间点阵与晶胞
点阵常数：平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹角α、β、γ，可决定平行 六面体尺寸和形状，这六个量亦称为点阵常数。按点阵参数可将晶体点阵分 为七个晶系。
表1 七个晶系
晶系 立方 四方 正交 三方
边长 a=b=c a=b≠c a≠b≠c a=b=c
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三、倒易点阵
倒易点阵:是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形， 是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。 倒易空间中的结点称为倒易点。 倒易基矢:是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形， 是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。 倒易空间中的结点称为倒易点。定义倒易基矢：a,b,c向量为正点阵的基矢， a*,b*,c*为倒易点阵基矢。
α=β=90°γ=120° α=γ=90°β=120° α≠β≠γ≠90°
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a=b≠c a≠b≠c a≠b≠c
二、晶向指数和晶面指数
原子列的方向称为晶向。原子构成的平面称为晶面。为了区别不同方位的晶 向和晶面，用晶向指数和晶面指数来表示。 晶向指数的确定： 1.建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵常数为单位 ； 2.在晶向上任两点的坐标(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)； 3.计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4.化成最小、整数比u：v：w ； 5.放在方括号[uvw]中，不加逗号，负号记在上方 。
图3 立方晶系的一些重要的晶向指数
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二、晶向指数和晶面指数
晶面指数的确定： 1.在一组相互平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距， 并用点阵周期a，b，c来度量。假设截距为r，s，t。 2.取截距的倒数 1/r，1/s，1/t。 3.将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他们化为三个简单整数h，k，l， 并用圆括号括起来。使h∶k∶l = 1/r∶1/s∶1/t。则(h k l)就是待标晶面的晶 面指数。
图5 正点阵基矢与倒易基矢关系
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三、倒易点阵
倒易矢量:晶体点阵中的任意一组平面（hkl）在倒易点阵中，可用一个相应 的倒易阵点[hkl]*表示，而从倒易阵点的原点到该倒易阵点的矢量称为倒易 矢量Ghkl 。倒易矢量的Ghkl 的方向即为晶面（hkl）的法线方向，其模则等于 晶面间距dhkl的倒数。
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四、倒易点阵的应用——衍射花样分析
X射线（波）的衍射
X射线（波）的干涉
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四、倒易点阵的应用——衍射花样分析
衍射花样分析举例
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