2016年上海中考二模数学25题图文解析

作 DQ//EG 交 CE 于 Q，那么在等腰三角形 DEQ 中，DQ＝ 5 DE． 8
又因为 GE＝ 4 DE，所以 DQ 5 4 25 ．
5
GE 8 5 32
再由
CD CG
DQ GE
25 32
，得
8
5 3
x
25 32
．解得
x＝
8 3
．
5
图5
图6
例
2016 年上海市虹口区中考模拟第 25 题
及定义域；
（3）是否存在一点 P，使得 EF ＝2 PE ，若存在， 求 AP 的长；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“15 奉贤 25”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，当点 E 与 点 D 重合时，EF//AB，△AEF 是三边比为 5∶5∶6 的等腰三角形．还可以体验到，当∠EAF ＝2∠BAD 时，直角三角形 CEH 的三边比为 3∶4∶5．
5 （2）如图 3，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H． 在 Rt△CDH 中，CD＝5，cos∠CDH＝ 3 ，所以 DH＝3，CH＝4．
5 在 Rt△CEH 中，EH＝ED＋DH＝5－x＋3＝8－x，CH＝4，由勾股定理，得 CE2＝EH2＋CH2＝(8－x)2＋42＝x2－16x＋80．
所以 y＝CE＝ x2 16x 80 ．定义域是 0＜x≤5．
（3）如图 4，如果 EF ＝2 PE ，那么∠EAF＝2∠BAD．
又因为 AM 平分∠EAF，所以∠MAE＝∠BAD．
在 Rt△MAE 中，cos∠MAE＝cos∠BAD＝ 3 ，所以 tan∠MEA＝ 3 ．
5
4
在 Rt△HCE 中，tan∠HEC＝tan∠MEA＝ 3 ，所以 CH 3 ．
所以 HE＝HD－ED＝2－(2－2x)＝2x．
所以 y＝2HE＝4x．
图4
图5
图6
（3）如图 6，延长 BF 交 CA 的延长线于 M．延长 CE 交 BF 于 N．
若 DE 过△ABC 的重心 G，因为 DE//AC，所以 MF AE 1 ． BF BE 2
在 Rt△BFA 中，设 AF＝m，那么 AE＝m，AB＝3m．所以 BF＝ 2 2m ．
4
EH 4
所以 4 3 ．解得 AP＝x＝ 8 ．
8x 4
3
图2
考点伸展
图3
图4
第（2）题和第（3）题也可以这样构造直角三角形：
如图 5，过点 E 作 x 轴的垂线交 CD 的延长线于 G，交 AB 于 N．
在 Rt△DEG 中，DE＝5－x，cos∠EDG＝ 3 ，所以 DG＝ 3 3 x ，EG＝ 4 4 x ．
所以 MF＝ 1 BF＝ 2m ．所以 BM＝ 3 2m ． 2
又因为 EH 1 ， EH AE 1 ，所以 EF＝ED，E 是 FD 的中点． EF 2 ED BE 2
所以 A 是 MC 的中点． 所以 E 是△BMC 的重心，N 是 BM 的中点．所以 CE＝ 2 CN．
3
又因为 CN＝ 1 BM，所以 CE＝ 1 BM＝ 2m ．于是 CE 2m 2 ．
思路点拨
1．第（2）题设法构造以 CE 为斜边的直角三角形，恰当运用 3∶4∶5，可以使得计算 简便．
2．第（3）题先根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，不难推理弧长的比等于所对应 的圆心角的比．进而可以得到直角三角形 CEH 的三边比为 3∶4∶5．
满分wenku.baidu.com答
（1）如图 2，当点 E 与点 D 重合时，EF//AB．所以∠FEA＝∠DAB． 作 AM⊥EF，垂足为 M，那么弦心距 OM 垂直平分线 EF． 在 Rt△AEM 中，AE＝5，cos∠MEA＝ 3 ，所以 EM＝3．所以 EF＝6．
如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，点 D、E 分别在边 BC、AB 上，ED⊥ BC，以 AE 为半径的⊙A 交 DE 的延长线于点 F．
（1）当 D 为 BC 边的中点时（如图 2），求弦 EF 的长；
（2）设 DC ＝x，EF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式（不用写出定义域）； BC
（3）若 DE 过△ABC 的重心，分别联结 BF、AF、CE，当∠AFB＝90°时（如图 3），
求 CE 的值． AB
图1
动感体验
图2
图3
请打开几何画板文件名“16 虹口 25”，拖动点 B 改变直角三角形 ABC 的形状，可以体 验到，EF 的长保持不变．拖动左图中的点 D 运动，可以体验到，y 是 x 的正比例函数．拖 动右图中的点 B 运动，可以体验到，点 E 始终是△BMC 的重心．
例
2015 年上海市奉贤区中考模拟第 25 题
如图 1，在边长为 5 的菱形 ABCD 中，cosA＝ 3 ，点 P 为边 AB 上一点，以 A 为圆心、 5
AP 为半径的⊙A 与边 AD 交于点 E，射线 CE 与⊙A 的另一个交点为 F． （1）当点 E 与点 D 重合时，求 EF 的长； （2）设 AP＝x，CE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式
当 D 为 BC 边的中点时，DE 是△ABC 的中位线，DE＝ 1 AC＝1． 2
在矩形 HACD 中，HD＝AC＝2．所以 EH＝HD－DE＝1．
所以 EF＝2EH＝2．
（2）如图 5，如果 DC ＝x，那么 BD 1 x ．
BC
BC
由 ED//AC，得 ED BD 1 x ．所以 ED＝(1－x)AC＝2(1－x)＝2－2x． AC BC
2
3
AB 3m 3
考点伸展
第（2）题也可以这样思考：
如图
5，由
tan∠AEH＝tan∠BAC，得
5
5
5
在 Rt△ECG 中，CG＝CD＋DG＝ 8 3 x ，由 CE2＝EG2＋CG2，得 5
CE2＝ (4 4 x)2 (8 3 x)2 ＝x2－16x＋80．于是 y＝CE＝ x2 16x 80 ．
5
5
如图 6，如果 EF ＝2 PE ，那么∠EAF＝2∠BAD．此时 ED 平分∠CEG．
思路点拨
1．第（1）题自然而然想到了构造弦心距 AH，为后续问题的解决提供了思路． 2．第（2）题不论用“A 字型”还是“8 字型”，都容易解决． 3．第（3）题如果“补全”直角三角形 BMC，就比较容易观察到点 E 是△BMC 的重心．
满分解答
（1）如图 4，作 AH⊥EF 于 H，那么 EH＝FH．