第二章第四节隐函数和参数方程求导

tan
dy dx
y(t) x(t)
v2 gt v1
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讨论
已知xj(t), yy(t) 如何求y对x的二阶导数y?
例9. 设
求
d2 dx
y
2
.
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
例10. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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例12. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
d2 y d x2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
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例11．计算由摆线的参数方程
xy
a(t sin t) a(1 cos t)
所确定
的函数yf(x)的二阶导数
解
dy dx
y(t) x(t)
[a(1cost)] [a(t sint)]
1) x4
严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论
但结果都是一样的
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二、由参数方程所确定的函数的导数
设
y
与
x
的函数关系是由参数方程
xy
j (t) y (t)
确定的
设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成
复合函数yy[j-1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导 则
x y
v1t v2t
1 2
gt 2
求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向
解 先求速度的大小
速度的水平分量与铅直分量分别为
x (t)=v1 y(t)=v2-gt 于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
v [x(t)]2 [y(t)]2 v12 (v2 gt)2 再求速度的方向
设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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例例44．求由方程
x
y
1 2
sin
y
0
所确定的隐函数
y
的二阶导数
解 方程两边对x求导 得
1 dy 1 cosy dy 0 dx 2 dx
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(ey)(xy)(e)(0) 解方程两边分别对x求导数得
即
eyyy+xy0
5y4y2y121x60
从而
y y xey
(xe y0)
由此得 y 121x6 5y4 2
因为当x0时 从原方程得
y0 所以
y|x0
1 21x6 5y4 2
|x0
1 2
例3. 求椭圆
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在点
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处的切线方程.
(bsin t) (acost)
bcost a sin t
b a
cott
所求切线的斜率为 dy dx
t 4
b a
切点的坐标为
x0
acos
4
a
2 2
y0
bsin
4
b
2 2
切线方程为 yb
2 b (xa 2a
2 2
)
即 bxay 2 ab 0
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例8
抛射体运动轨迹的参数方程为
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例例66 求函数 y (x1)(x2) 的导数 (x 3)(x 4)
解 先在两边取对数 得
ln
y
1 2
[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]
上式两边对x求导 得
1 y 1 ( 1 1 1 1 ) y 2 x1 x2 x3 x4
于是 说明
y
y 2
(
1 x1
1 x2
1 x3
y
x
于是
y y(cosxln xsin x 1) xsinx(cosxln x sin x)
x
x
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.
yx sin xe sin x·ln x
y esinxlnx(sin xln x) xsinx(cosxln x sin x) x
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dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
y (t) j(t)
dt
dy
即
dy dx
y (t) j(t)
或
dy dx
dt dx
dt
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若 xj(t)和 yy(t)都可导
则
dy dx
y (t) j(t)
例7
求椭圆xy
acost bsint
在相应于t
4
点处的切线方程
解解
dy dx
于是
dy dx
2
2 cos
y
上式两边再对x求导 得
d2y
2sin
y dy dx
4sin y
dx2 (2cos y)2 (2cos y)3
对数求导法
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此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求
导法求出y的导数
设yf(x) 两边取对数 得
ln yln f(x)
两边对x 求导 得
a sin t a(1cost)
sin t 1cost
cot
t 2
(t2n
n
为整数)
d 2y d (dy) d (cot t ) dt dx2 dx dx dt 2 dx
1 2sin 2
t
1 a(1cost)
1 a(1cost)2
2
(t2np n为整数)
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三、相关变化率
为两可导函数
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程
中把隐函数的导数解出.
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例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70
确定的隐函数y的导数
所确定的隐函数yf(x)在
解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
1 y [ln f (x)] y
y f(x)[ln f(x)]
对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多
因子之积和商的导数
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例5 求yx sin x (x>0)的导数
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解法一 两边取对数 得
ln ysin xln x 上式两边对x 求导 得
1 y cosxln xsin x 1
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§2.4隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x