最小生成树概念回顾习题七讲解最小生成树的生成算法习题(1)正面
最小生成树及算法
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
B. 破圈法
算法2 步骤如下： (1) 从图G中任选一棵树T1. (2) 加上一条弦e1，T1+e1中 生成一个圈. 去掉此圈中最大权边，得到新树T2, 以T2代T1,重复(2)再检查剩余的弦，直到全部弦 检查完毕为止.
例 n个城市,各城市之间的距离如下表(距离为 ∞，表示两个城市之间没有直接到达的线路)。 从一个城市出发走遍各个城市,如何选择最优的 旅行路线.
性质 任何一棵树至少有两片树叶。 证明 设树T=(V,E),结点数为v，因T是连通的，因 此，树中每个结点vi,有deg(vi)1,且 deg(vi)=2(v-1)=2v-2. 若T中结点度数都大于2，则 deg(vi) 2v,矛盾。 若T中只有一个结点度数为1，则 deg(vi) 2(v-1)+1=2v-1 矛盾。
4 3
v5 3 v6
3.5 生成树的计数
1、一些概念 • • ① 设 G 是一个连通图。 T , T 分别是 G 的两个生成树，如果 E (T ) E (T ) ，则认为 T , T 是 G 的两个不同的生成树。 G 的 不同的生成树个数用 (G) 表示。 如：
v1 v3 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2
证明:⑴⑵ 当 n=2时, e=1, 显然 e=n-1. 假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G无圈、连 通，则至少有一条边(u,v),deg(u)=1，删去u，得到 连通无圈的图G1, G1的边数e1,结点数n1满足： e1=n1-1= k-2 将u,边(u,v)加到 G1中，得到T,且 e=n-1.
( K3 ) 3。 则：
② G-e: 从G中去掉边e后所得的图。
最小生成树问题[4页]
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最小生成树问题题目：假设某电力公司计划在七个村庄之间假设电线，各村庄之间的距离如下图所示:试求出使电线总长度最小的架线方案。
（要求：从村庄1开始铺设，历经每个村庄，且不重复铺设。
）1、Prim算法%function MST_Prim()%问题：最小生成树(Minimum Spanning Tree)%算法：Primclc, clear;%% 做连接图a = zeros(7);a(1,2)=3; a(1,3)=4; a(1,4)=7;a(2,3)=3; a(2,4)=2; a(2,5)=4;a(3,5)=5; a(3,6)=7;a(4,5)=2; a(4,7)=6;a(5,6)=1; a(5,7)=4;a(6,7)=2;%% Prim算法（思考）a=a+a';a(a==0)=inf;result=[];p=1;tb=2:length(a);while length(result)~=length(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=min(temp);[jb,kb]=find(a(p,tb)==d);j=p(jb(1));k=tb(kb(1));result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(tb==k)=[];endWt=sum(result(3,:));disp(['最短架设电线总长度：', int2str(Wt)]);%% 画最小树axis equal; %画最小生成树hold onn=7;[x,y]=cylinder(1,n); %画出顶点，均匀画圆xm=min(x(1,:));ym=min(y(1,:));xx=max(x(1,:));yy=max(y(1,:));axis([xm-abs(xm)*0.15,xx+abs(xx)*0.15,ym-abs(ym)*0.15,yy+abs(yy)*0.15]); plot(x(1,:),y(1,:),'ko');for i=1:ntemp=['v',int2str(i)];text(x(1,i),y(1,i),temp);endfor i=1:k-n+1 %画出不在树内的边plot(x(1,data(1:2,i)),y(1,data(1:2,i)),'b');endfor i=1:n-1 %画出树内的边plot(x(1,result(1:2,i)),y(1,result(1:2,i)),'r');endtext(-0.35,-1.2,['最小生成树的权为','',num2str(Wt)]);title('红色连线为最小生成树');axis off;hold off;2、Krustal算法%<span style="font-size:14px;">function MST_Krustal()%问题：最小生成树(Minimum Spanning Tree)%算法：Krustalclc, clear;%% 做连接图a = zeros(7);a(1,2)=3; a(1,3)=4; a(1,4)=7;a(2,3)=3; a(2,4)=2; a(2,5)=4;a(3,5)=5; a(3,6)=7;a(4,5)=2; a(4,7)=6;a(5,6)=1; a(5,7)=4;a(6,7)=2;%% Kruskal算法[i,j,b]=find(a);data=[i';j';b']; k=max(size(data)); %data三行k列，k为所有联通边的数量index=data(1:2,:); %取出所有边的起点和终点n=max(size(a));result=[];while length(result)<n-1temp=min(data(3,:));flag=find(data(3,:)==temp);flag=flag(1);v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);if index(1,flag)~=index(2,flag)result=[result,data(:,flag)];endindex(index==v2)=v1; %此处是算法精髓，把树上串联边的顶点改成同一个数字，避免出现环。
1.6最小生成树及其算法
如果生成树T *的权 w(T * ) 是 G 的所有生成树的权中最 小者，则称 T * 是 G 的最小生成树，简称为最小树，即
w(T * ) min{w(T )}，式中取遍 G 的所有生成树T .
T
介绍最小树的两种算法： Kruskal算法（或避圈法）和破圈法.
A. Kruskal算法（或避圈法）
b)广探法 例用广探法求出下图10的一棵生成树 步骤如下： i) 在点集V中任取一点u, 给u以标号0. ii) 令所有标号i的点集为 Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点 是否均已标号. 对所有未标 号之点均标以i+1,记下这些 边. iii) 对标号i+1的点重复步 步骤ii)，直到全部点得到 标号为止.
步 骤
u
L( b)
L( c)
L( d)
L( e)
L(f)
L( g)
e
V
T0
C(T 0)
1 2 3 4
a b e c
4 － － －
15 9 5 －
32 25
7 7 － －
28 28 28 (a, b) (a, e)
{a} {a, b} {a, b, e}
{(a, b)} {(a, b), (a, e)} {(a, b), (a, e), (c, e)}
(5)T T {e k }, k，t t 1, k k 1, 转（ ） 3
例5.3 用Kruskal算法求下图的最小生成树。
解：将图的边按照权值从小到大进行排列,列 出下表
边 (a, b) (c, e) (a, e) (b, c) (d, g) (a, c)
3) 当第2)步不能继续执行时，则停止. 定理5.3 由Kruskal算法构作的任何生成树都是 最小树。
最小生成树问题(共7张PPT)
个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3
最小生成树的算法
最小生成树的算法王洁引言：求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。
下面将介绍几种最小生成树的算法。
一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法1 理论根据1.1 约化原则给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ⊆ E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树．（1） 基本回路将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。
基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路．（2） 基本割集设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。
基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝．（3） 等长变换设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ∉ H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, 'e }也是一棵生成树。
当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
离散数学最小生成树例题
离散数学最小生成树例题（实用版）目录1.最小生成树的概念和性质2.最小生成树的算法原理3.最小生成树的算法举例4.最小生成树的应用实例正文一、最小生成树的概念和性质最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是指在一个加权连通图中，选择一些边，使得所有节点都能被联通，并且边代价之和最小。
最小生成树具有以下性质：1.树中的边是最短的边：在生成树中，任意两个节点之间的边都是最短的边，即不存在比这条边更短的边能连接这两个节点。
2.树是没有圈的：最小生成树显然不应该有圈，因为如果有圈，可以通过删除圈中的一条边来形成一个更小的生成树。
二、最小生成树的算法原理求解最小生成树的经典算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。
这里我们以 Prim 算法为例介绍最小生成树的算法原理。
Prim 算法的基本思想是从一个初始节点开始，不断地寻找与当前生成树距离最近的节点，将其加入到生成树中，直到所有节点都加入到生成树中为止。
在寻找距离最近的节点时，我们需要使用贪心策略，即每次都选择距离最近的节点。
为了判断一个节点是否已经加入了生成树，我们可以使用并查集数据结构。
三、最小生成树的算法举例这里我们以一个简单的例子来说明 Prim 算法的求解过程。
假设有一个图，共有 4 个节点，5 条边，边的权值分别为 1, 2, 3, 4, 5。
我们选择节点 1 作为初始节点，按照 Prim 算法的步骤，可以得到最小生成树的权值为 9，生成树如下所示：```1 --2 --3 -- 4```四、最小生成树的应用实例最小生成树在实际应用中有很多实例，如网络路由、数据压缩、图像处理等。
这里我们以网络路由为例，介绍最小生成树的应用。
在网络中，为了提高传输效率，我们需要在网络中建立一条最短路径。
通过求解最小生成树，我们可以得到网络中的最短路径，从而为数据包的传输提供指导。
在求解最小生成树时，我们可以将网络中的节点看作是图的顶点，边看作是图的边，边的权值看作是节点之间的距离。
7.2.3 最小生成树问题
12 E 38
25 C 17
25 C
25 C
D
(a) 连通网，U={A} cost={(A, B)34,(A, C)46, (A, D)∞,(A, E)∞,(A, F)19} 34 A 46 C 17 (d) U={A, F, C, D} cost={(A, B)34, (F, E)26} 19 B 26 12 E 38 A
34 19
B
12
B E 38 C D
12 E A
B
12 E
A
26 F 25
17 D
A
F
46
25
F 17 17 12 E F 25 17 A 19 F 25 C 17 D (e) B 12 26 E
C
C
D (c)
(a)
B A 19
(b) 12
E A 19
B
F
17 C (d) (f) D C
D
Kruskal方法构造最小生成树的过程
在算法7.2中，如果操作“在E'中选取最短边 (u, v)”用顺序查找，则算法7.2的时间性能是
O(n2)，如果采用堆排序的方法将集合E'中的边
建立堆，则选取最短边的操作可以是O(log2n)，
对于两个顶点是否连通以及是否会产生分枝，可
以用并查集的操作将其时间性能提高到O(n)，此
时算法7.2的时间性能为O(nlog2n)。
算法7.5——Kruskal算法
1. 初始化：U=V； TE={ }； 2. 循环直到T中的连通分量个数为1 2.1 在E中寻找最短边(u，v); 2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量，则 2.2.1 将边(u，v)并入TE； 2.2.2 将这两个连通分量合为一个； 2.3 E=E-{(u，v)}；
最小生成树问题（——模板习题与总结）
最⼩⽣成树问题（——模板习题与总结） ⾸先，图论中的最⼩⽣成树问题就是给出⼀个⼤⼩为n*m邻接矩阵或者n个顶点m条边（包含每条边路径花费）的数据，让我们计算使得这n个顶点直接或间接联通所需要的最⼩花费。
其次，所给的数据分为稀疏图和稠密图，对于⼀个图，理论上n个顶点可以有n*(n-1)条边，如果该图中存在的边数m远⼩于n*（n-1），可以称之为稀疏图，如果该图中存在的边数m接近n*（n-1），可以称之为稠密图。
接下来，先总结⼀下prim算法。
我们将图中所有的顶点分为两类：树顶点（已被选⼊⽣成树的顶点）和⾮树顶点（还未被选⼊⽣成树的顶点）。
⾸先选择任意⼀个顶点加⼊⽣成树。
接下来要找出⼀条边添加到⽣成树，这需要枚举每⼀个树顶点到每⼀个⾮树顶点所有的边，然后找到最短边加⼊到⽣成树。
按照此⽅法重复n-1次，直到将所有顶点都加⼊到⽣成树中。
prim算法模板题： AC代码：1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3int e[1100][1100],book[1100],dis[1100]; // 顶点数n<=10004const int inf=99999999;5int main()6 {7int n,i,j,k,c,sum,min;8while(scanf("%d",&n) != EOF)9 {10for(i=1;i<=n;i++)11for(j=1;j<=n;j++)12 scanf("%d",&e[i][j]);13for(i=1;i<=n;i++)14 dis[i]=e[1][i];1516 memset(book,0,sizeof(book));17 book[1]=1;18 c=1;19 sum=0;20while(c < n)21 {22 min=inf;23for(j=0,i=1;i<=n;i++)24 {25if(!book[i] && dis[i] < min) //注意是且的关系,该点没有被访问过⽽且距离⽣成树最近26 {27 min=dis[i];28 j=i;29 }30 }31 book[j]=1; //标记该点被访问过32 c++; //计加⼊的顶点数33 sum += dis[j]; //累计花费34for(k=1;k<=n;k++) //更新⽣成树到各各⾮树顶点的距离35 {36if(!book[k] && dis[k] > e[j][k])37 dis[k]=e[j][k];38 }39 }40 printf("%d\n",sum);41 }42return0;43 }View Code 上述算法的时间复杂度是O（N*N），适⽤于顶点数较少的稠密图（因为顶点数太多，⼀是开不了那么⼤的数组，⼆是容易超时）。
最小生成树算法详解
最小生成树算法详解最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个经典问题，它是指在一个加权连通图中找出一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。
在解决实际问题中，最小生成树算法被广泛应用于网络规划、电力传输、城市道路建设等领域。
本文将详细介绍最小生成树算法的原理及常见的两种算法：Prim算法和Kruskal算法。
一、最小生成树算法原理最小生成树算法的核心思想是贪心算法。
其基本原理是从图的某个顶点开始，逐步选取当前顶点对应的边中权值最小的边，并确保选取的边不会构成环，直到所有顶点都被连接为止。
具体实现最小生成树算法的方法有多种，两种常见的算法是Prim 算法和Kruskal算法。
二、Prim算法Prim算法是一种基于顶点的贪心算法。
它从任意一个顶点开始，逐渐扩展生成树的规模，直到生成整个最小生成树。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合和一个空的顶点集合，将任意一个顶点加入到顶点集合中。
2. 从顶点集合中选择一个顶点，将其加入到生成树集合中。
3. 以生成树集合中的顶点为起点，寻找与之相邻的顶点中权值最小的边，并将该边与对应的顶点加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到生成树中包含所有顶点。
Prim算法是一种典型的贪心算法，其时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
三、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。
它首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后从小到大依次选择边，判断选取的边是否与已选取的边构成环，若不构成环，则将该边加入到最小生成树中。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合。
2. 将图中的所有边按照权值进行排序。
3. 依次选择权值最小的边，判断其两个顶点是否属于同一个连通分量，若不属于，则将该边加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到最小生成树中包含所有顶点。
Kruskal算法通过并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通分量，从而避免形成环。
最小生成树(最小支撑树)
(a)
图11-12
(b)
(c)
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条 以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。 如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。 最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
v2 3 1 4 v7 3 v6 5 2 8 v5 v3
7
v4
图11-14
v1 10
3
4
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。 “管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
§3 最小生成树问题
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 3 3 1 v3 v2 3 3 v6 v2 v4 v1 3 3 v6 v2 1 v3 v4
v1
10
7 3 4 v7 2 4 5 v5 v3 8
v4
v1
7 3 4 v7 2
4 5 v5 v3 7 8
v6
v2 v1 3 3 v6 v2 v1 3 3 v6
最小生成树
对于图G=(V,E)的每一条e∈E, 赋予相应的权数 f(e),得到一个网络图，记为N＝（V,E,F）,
设T＝（为T的权，N中权数最小的 生成树称为N的最小生成树。 许多实际问题，如在若干个城市之间建造铁路网、 输电网或通信网等，都可归纳为寻求连通赋权图 的最小生成树问题。 下面介绍两种求最小生成树的方法：
例1 求下图所示的最小生成树。
v2 e1 v1 e2 e6 v4 e 7 v3
v5
解：按各边的权的不减次序为：
e1 e 2 e3 e7 e6 e 4 e5 e8
所以，首先取 e1 , e2 ,尔后再取 e7 和 e6 , 则构成最小生成树 .
二、破圈法 破圈法就是在图中任取一个圈，从圈中去 掉权最大的边，将这个圈破掉。重复这个 过程，直到图中没有圈为止，保留下的边 组成的图即为最小生成树。 例2 同例1。 解：在圈v2v2v3中，去掉权最大的边e2或e3； 在圈v2v3v4中，去掉权最大的边e4； 在圈v3v4v5中，去掉权最大的边e5； 在圈中v2v3v5，去掉权最大的边e8；
在剩下的图中，已没有圈，于是得到最小生成树， 如下图：
v2 e1 v1 e2 e6 v4 v3 e7
v5
例3 求下图的最小生成树。
C1 1 B1 3 5 A 4 B2 6 5 8 7 6 C4 C3 3 3 4 D3 8 3 C2 8 D2 4 E A
4 3 B2 C4 4 D3 C3 3
B 2 A 3 5 J 2 2 H 5 G 1 F 2 1 S 3 1 4 C 3 4 1 4 E
5
D 2
A 2
B
1
C D 1 2 E
1 S 2 H
最小生成树算法
最⼩⽣成树算法最⼩⽣成树介绍：修路问题本质就是最⼩⽣成树问题，先介绍⼀下最⼩⽣成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称MST。
1）给定⼀个带权的⽆向连通图，如何选择⼀颗⽣成树，使树上所有边上权的总和为最⼩，这叫最⼩⽣成树。
2）N个顶点，⼀定有N-1条边3）包含全部顶点4）N-1条边都在图中5）求最⼩⽣成树的算法主要是Prim算法和Kruskal算法Prim算法应⽤场景---修路问题正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最⼩，从⽽保证总⾥程数最⼩Prim算法介绍：1）Prim算法求最⼩⽣成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有（n-1）条边包含所有n个顶点的连通⼦图，也就是所谓的极⼩连通⼦图2）Prim算法如下：（1）设G = （V，E）是连通⽹，T = （U，D）是最⼩⽣成树，V，U是顶点集合，E、D是边的集合（2）若从顶点u开始构造最⼩⽣成树，则从集合V中取出顶点u放⼊集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1（3）若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最⼩的边，但不能构成回路，将顶点vj加⼊集合U中，将边（ui，vj）加⼊集合D中，标记visited[vj] = 1（4）重复步骤2），直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边给个例题理解⼀下：1问题描述232015年，全中国实现了户户通电。
作为⼀名电⼒建设者，⼩明正在帮助⼀带⼀路上的国家通电。
4 这⼀次，⼩明要帮助 n 个村庄通电，其中 1号村庄正好可以建⽴⼀个发电站，所发的电⾜够所有村庄使⽤。
5 现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，⼩明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。
6 ⼩明测量了所有村庄的位置（坐标）和⾼度，如果要连接两个村庄，⼩明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上⾼度差的平⽅，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) ⾼ 7 sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。
最小生成树概念回顾习题七讲解最小生成树的生成算法习题(1)正面
• Prim算法
– 短接法 – 特点：加入可加入的边
• 逐步删减边，使之满足条件
– 破圈法 – 特点：删除可删除的边
习题（1）
• 习题集P160习题6.19“避圈法MST”
– 应是“破圈法”
• 求证要点
– 是|V|-1条边的连通图（显而易见） – 权重和是最小的（证明的重点）
• 证明思路
– 正面构造法 – 反证法
• 因此该生成树权重和已是最小
1
参考证明
2008-4-28
典型错误
• 反证法假设和求证不一致
– 要证明的论点不清晰
• 推理不严密
习题（2）
• 唯一最小支撑树
– 设计一个程序，判断给定无向连通图G是否存 在唯一一棵最小支撑树。允许直接调用Prim或 Kruskal的最小支撑树算法。函数原型为:
• bool uniqueMST(Graph &G)
反证法
• 假设该生成树权重和不是最小 • 则可以用删除的边中的任何一条K来代替生成树中
的某一边S
– 若K>S，不能使总权重减小 – 若K<=S
• 若选择K不能使图连通，显然不能够成最小生成树。 • 若K同样能够使图连通
– 则根据上面的算法，在开始选择的时候就会把比K大的扔掉而选择 K，因此只可能是K==S。所以选择K仍然不能使得总权值减小。
思考题（2）
• 设计一个程序，输入一个图（有向图或者 是无向图）G=(V,E)以及一对顶点Vi,Vj属于 V,输出的结果如果从Vi到Vj存在一条简单路 径，那么就输出从Vi到Vj的所有路径；如果 不存在，则输出空。
3
2008-4归
– 沿顶点的每一条边深入，遇到终点，则输出路 径返回，否则直接返回。
最小生成树算法
最小生成树算法及应用
[举例] 举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进 下面的图（ 表示一个5个城市的地图， ）、（C 是对图（ 行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20 33， 20和 行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比 后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19 19。 后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。
最小生成树算法及应用
2、用Kruskal算法求最小生成树的思想如下： Kruskal算法求最小生成树的思想如下： 算法求最小生成树的思想如下 设最小生成树为T= T=（ TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G ），设置边的集合TE的初始状态为空集 设最小生成树为T=（V，TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G中的 边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T 边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T不形 成回路，则把它并入TE TE中 保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路， 成回路，则把它并入TE中，保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路， 则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n 条边为止。最后的T即为最小生成树。 TE中包含 则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n-1条边为止。最后的T即为最小生成树。
最小生成树算法及应用
1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： Prim算法求最小生成树的思想如下： 算法求最小生成树的思想如下 设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE TE， TE的初始状态均为空集 的初始状态均为空集； ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； 选定图中的一个顶点K 开始生成最小生成树， 加入到集合S ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； 重复下列操作，直到选取了n 条边： ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 选取一条权值最小的边（ ），其中X∈S， (Y∈S)； 其中X∈S 将顶点Y加入集合S 加入集合TE TE； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） 。 得到最小生成树T =（ TE）
最小生成树例题详解
最小生成树例题详解最小生成树(Minimum Spanning Tree,简称 MST)是一种图论中的算法,用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
下面是一个常见的最小生成树例题:给定一个由五只兔子和它们的家组成的奴隶图,如下图所示:```1 2 3 4 5/ / /6 7 8 9 10 11/ / /2 4 6 8 10 12```要求找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
首先,我们需要遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数等于该节点到其他节点的距离。
我们可以用度数最小的节点来代替这个节点。
接下来,我们需要计算每个节点到根节点的度数。
如果某个节点到根节点的度数大于等于它的度数,那么它就不是最小生成树的一部分,我们需要继续寻找。
最后,我们需要计算每个节点的边权值之和。
我们可以用度数最小的节点来代替这个节点,然后遍历该节点的邻居节点,计算它们的边权值之和。
以下是Python代码实现:```pythondef Minimum Spanning Tree(graph):# 遍历整个图,将每个节点的度数表示出来,度数最小为0for node in graph:度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到最小生成树root = node = Nonefor node in graph.nodes():if root is None:if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreakelse:# 度数最小的节点来代替该节点if not any(edge[node] for edge in graph.get_edges(node)): root = nodebreak# 计算该节点到根节点的度数度数 = [float(edge[node]) for edge ingraph.get_edges(node)]if度数[0] <= 0:return None# 找到连接到该节点的所有边neighbors = [node for edge in graph.get_edges(node) if edge[1] >= 0]# 计算该节点的边权值之和neighbors_sum = sum(度数)# 找到边权值之和最小的节点if neighbors_sum < neighbors_sum.min():root = nodebreakreturn root```在此算法中,我们使用了邻接表(neighbors table)来维护每个节点的邻居节点。
16-L.04 最小生成树
离散数学基础•单元内容提示−最小生成树问题−Prim 算法−Kruskal 算法•定义. 网络图的子图的权值−对无向网络 (G, w )，w 是一个非负实函数。
G =(V, E) 的一个子图 G’=(V’, E’) 的权值定义为()()e E w G w e ∈=∑''•定义. 最小生成树−无向连通网络 (G, w ) 的生成树 T 称为是网络的一棵最小生成树，如果在 G 的所有生成树中，w (T) 最小。
•Kruskal 算法1. (G, w ) 为无向网络，n =|V|。
(1)排序：将 E 中所有边按权值按非递减次序构成排列 L ；(2)T ← ∅；// T 由其含有的边标记(3)While L ≠ ∅ and |T|<n ‐1(4)Begin (5)e = getfirst (L)；L=L ‐{e }；(6)if T ∪{e } 中不存在回路 then T=T ∪{e }；(7)End输出： |T|<n ‐1 时 G 不连通，否则输出 T 。
•例： Kruskal 算法1。
2017-11-20边排序：ab, fe, bc, bf, af, ce, cd, de•例： Kruskal 算法1。
•将所有边按照非递减排序后，选边的次序是：选中144，选中184，选中187，选中337（形成森林），选中621，放弃740，选中802，放弃849，放弃867，选中946，放弃1090，放弃1121，选中1235，现在有8条边背选中，算法结束。
结果的最小生成树如下：•Kruskal 算法是一种寻求局部优化的贪心算法，但得到了一个全局最优解。
•定理1.−对无向连通网络 (G, w) 使用 Kruskal 算法1得到的 T 是 G 的一棵最小生成树。
−证明：由下面的引理1和引理2易得到。
•引理1.−对无向连通网络 (G, w) 使用 Kruskal 算法1得到的 T 是 G 的一棵生成树。
图的最小生成树_prim算法
4 最小生成树
①初始化候选边数组edges[]； ② U={v0}； ③for (i=1; i<=n-1; i++) { k=最小候选边的未选的一端； U=U+{k}； 以k修改edges[]； } 注：edges的元素可以设置为{v} 思考：权值最小的边一定在最小生成树中么？ 分析 : prim算法的时间复杂度？
1
12 15
9
9 5 4
2
17
6 9 10 3 4
(1,2)/12 (1,3)/∞
3
{1,6} {1,6,5}
(1,2)/12 (6,3)/17 (6,4)/20 (6,2)/15 (6,4)/20 (1,2)/12 (6,3)/17 (5,4)/4 (6,2)/15 (1,2)/12 (6,3)/17 (6,2)/15 (4,3)/3
2
6 15 17 3 3 6 9 10 4
7
5 4
4 最小生成树
1 12 2 6 15 17 3 3 9 6 9 10 4 9 5 4 2 6 12 15 17 3
1 9
6 9 12 5 4 4 2 6 15 17 3
1 9
6 9
9
10
9
10
5 4 4
3
1
3
1
1 12 9 15 17 3 3 6 9 10 4 9 5 4 2 6
6
4 最小生成树
问题：修建一个连接各个小区与供应站点之间的管道使得造价成本最 低，即构造一颗最小生成树。但是如何求解？ 4.1 prim算法 1. 基本思想 在满足如下条件的过程中选出一条最小的边： 一端已选，另一端未选。 因此，该算法需要给出起点，以作为已选顶点。 2. 实例 1 对右图所示图， 12 9 9 用Prim算法求最小生成树。
最小生成树题目
最小生成树文档========1. 图的表示和基本操作-----------在图论中，图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种结构。
顶点通常用V表示，边用E表示。
一个边连接两个顶点，可以用一个有序对(u, v)表示一条从顶点u到顶点v的边。
无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。
在图的操作中，常见的有添加/删除顶点，添加/删除边，查找顶点等。
在最小生成树算法中，主要涉及到的操作有添加/删除边，查找顶点等。
2. 最小生成树的定义和性质----------------最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指一个连通无向图中，一个连接所有顶点的子图，使得所有边的权值和最小。
最小生成树具有如下性质：* 最小生成树是连通的，即任意两个顶点之间都有路径相连。
* 最小生成树的边数等于V-1，其中V是顶点的数量。
* 最小生成树的权值和等于所有边的权值和。
4. Kruskal算法---------Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 初始化一个空的森林F。
3. 从第一条边开始，遍历所有的边，如果这条边的两个顶点在森林F中不连通，则将这条边加入森林F中，否则忽略这条边。
4. 如果森林F中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
否则，森林F就是最小生成树。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。
该算法具有稳定性和可并行性。
但是由于需要维护森林的数据结构，实际实现起来比较复杂。
5. Prim算法-------Prim算法是一种基于贪婪策略的最小生成树算法。
算法步骤如下：1. 初始化一个空的集合C，用于存储已经访问过的顶点。
2. 从任意一个顶点开始，将其加入集合C中。
3. 对于每一个顶点v，计算它到集合C中所有已经访问过的顶点的最小距离。
将距离最小的边对应的顶点加入集合C中。
4. 如果集合C中的顶点数不等于V，则返回步骤3。
最小生成树模板加例题分析（最小生成树类型汇总）
最⼩⽣成树模板加例题分析（最⼩⽣成树类型汇总）最⼩⽣成树：对于⼀个⽆向连通图的最⼩⽣成树，选取边使得图中每个顶点连通且花费最⼩。
在kruskal算法中，集合A是⼀个森林，加⼊集合A中的安全边总是图中连接两个不同连通分⽀的最⼩权边。
prim算法中，集合A仅形成单颗树，添加⼊集合A的安全边总是连接树与⼀个不在树中的顶点的最⼩权边。
kruskal在图G（v,e）上的运⾏时间取决于不相交集合数据结构是如何实现的，模板中采⽤路径优化的并查集，时间复杂度为O（1）。
然后对时间复杂度有影响的就是对边的排序，其最终时间复杂度O（E lgV）；prim算法适⽤于边多的，反之为kruskal算法。
鉴于kruskal代码的简单易操作，例题解法均为kruskal算法。
Kruskal伪代码：（1）对所有的边从⼩到⼤排序（2）while(n>1) do{取权值最⼩的边（u，v）；if（u，v不连通）{将（u，v）加⼊T；n--；}将边（u，v）从集合E中删除；}其中判断两点是否连通可使⽤并查集模板：例题及扩展：（全部做完就可以成为⼊门菜鸟了）基础例题：常⽤套路：n个结点的最⼩⽣成树由n-1条边构成，基础题⼀般会提前连接好⼀些点，将这些点加⼊并查集并计算还需加⼊多少边即可难度：easy题意：构建最⼩⽣成树，会给出⼀些已经连接好的点。
解析：将给出的已连接点提前加⼊并查集，计算还需加⼊多少条边才能构成最⼩⽣成树，然后加边即可。
代码：难度：easy题意：构建最⼩⽣成树，使得⽣成树的最长边减去最短边所得的值最⼩。
解析：对于所有的边从⼩到⼤排序，每次枚举⼀个区间【L,R】，区间长度为n-1，⽐较每次的结果求最⼩值代码：难度：medium题意：给⼀张图和多个⼦⽹，⼦⽹已经连通且花费固定，求把图连通的最⼩花费）解析：运⽤⼦集⽣成枚举⼦⽹，每次将⼦⽹中的点提前加⼊并查集，计算还需加⼊多少条边才能构成最⼩⽣成树，再构建⽣成树，⽐较每⼀次的结果取最⼩值代码：继续学习⼀些概念：（1）切割性质。
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思考题（2）
• 设计一个程序，输入一个图（有向图或者 是无向图）G=(V,E)以及一对顶点Vi,Vj属于 V,输出的结果如果从Vi到Vj存在一条简单路 径，那么就输出从Vi到Vj的所有路径；如果 不存在，则输出空。
3Leabharlann 2008-4-28解答思路
• 深度优先周游 • 带回溯递归
– 沿顶点的每一条边深入，遇到终点，则输出路 径返回，否则直接返回。
– 断集法
• Prim算法
– 短接法 – 特点：加入可加入的边
• 逐步删减边，使之满足条件
– 破圈法 – 特点：删除可删除的边
习题（1）
• 习题集P160习题6.19“避圈法MST”
– 应是“破圈法”
• 求证要点
– 是|V|-1条边的连通图（显而易见） – 权重和是最小的（证明的重点）
• 证明思路
– 正面构造法 – 反证法
反证法
• 假设该生成树权重和不是最小 • 则可以用删除的边中的任何一条K来代替生成树中
的某一边S
– 若K>S，不能使总权重减小 – 若K<=S
• 若选择K不能使图连通，显然不能够成最小生成树。 • 若K同样能够使图连通
– 则根据上面的算法，在开始选择的时候就会把比K大的扔掉而选择 K，因此只可能是K==S。所以选择K仍然不能使得总权值减小。
正面构造法
• 利用定理：
– 设G=<V,E,W>连通，C为G中任一圈，e是C中权最大 的边，则G-{e}中的最小生成树也是G中的最小生成树。
– 参考《集合论与图论定理14.7》
• 本题删除的每一条边都是在G中一个圈中，且保 证了权重最大。
• 本题保证了程序结束时的图G’是自身的一个最小 生成树
– |V|-1条边
• 因此该生成树权重和已是最小
1
参考证明
2008-4-28
典型错误
• 反证法假设和求证不一致
– 要证明的论点不清晰
• 推理不严密
习题（2）
• 唯一最小支撑树
– 设计一个程序，判断给定无向连通图G是否存 在唯一一棵最小支撑树。允许直接调用Prim或 Kruskal的最小支撑树算法。函数原型为:
• bool uniqueMST(Graph &G)
– 从每个顶点开始基于Prim算法
2
2008-4-28
其他算法
• 加入最小生成树以外的边，看构成的环中 是否有权重相同的边
• 基于破圈法和Kruskal算法分别生成最小生 成树，看是否相同
– 基于破圈法和避圈法的逆序性
典型错误
• 基于删边恢复边的方法
– 忘记恢复该边
• 把必要条件当成充分必要条件
– 存在权值相同的边，但不一定不唯一
– 递归前标记当前结点为已访问，当回溯回去后 标记为未访问。
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4
不唯一
算法
• 基于充分必要条件
– 逐一删除最小生成树的某一边，看是否还能生成最小 生成树
– 注意删除边之后要恢复该边
• 基于Prim算法
– 判断待扩展的点是否有不止一个最小权值的边到达
唯一
• 基于Kruskal算法
– 判断待处理的两个相同最小权值边合并等价类后的等
价类是否相同
• 基于穷举法
– 找出所有的最小生成树，看是否多于1个
– 如果图G具有唯一最小支撑树，返回true,否则 返回false.
不唯一性的存在
• 存在权值相同的边（只是一个必要条件） • 基于Prim算法
– 待扩展的点可有不止一个最小权值的边到达
• 基于Kruskal算法
– 待处理的两个相同最小权值边合并等价类后的 等价类相同
• 充分必要条件
– 当前最小生成树中的某边可以被替换
习题七讲解
梁希云 xiyunliang@
2008-4-28
最小生成树概念回顾
• 带权的连通无向图G的最小生成树
– 覆盖所有顶点 – 保证图是连通的 – 所有边的权总和最小
• 性质：
– 连通但无回路 – 有且仅有|V|-1条边
最小生成树的生成算法
• 从无到有逐步构造
– 避圈法
• Kruskal算法
思考题（1）
• 二部图 • 判断一个连通图是否为二部图？
二部图判定算法
• 周游，标记不同类别
– 按广度优先周游整个图，如果当前顶点是在集 合V1中，那么把和他相邻的顶点都放在集合V2 中，如果有一个顶点，他的相邻的顶点已经访 问过，并且和他出现在一个集合中，说明这不 是一个二部图，依次访问所有的顶点，访问过 以后加标记VISITED。