中考复习：函数及其图象
【中考一轮复习】二次函数的图象与性质课件(1)
当堂训练---二次函数的图象的变换
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛物
线y=0.5x2-2x,其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面
积为( B )
A.2
B.4
C.8
D.16
2.将抛物线y=0.5x2-6x+21向左平移2个
单位后,得到抛物线的解析式为( D )
A.y=0.5(x-8)2+5 B.y=0.5(x-4)2+5
人教版中考数学第一轮总复习
第三单元 函数及其图象
•§3.6 二次函数图象与性质(2)
目录
01 二次函数的图象的变换
02 二次函数与一元二次方程
03 二次函数图象的最值问题
考点聚焦---二次函数的图象的变换
二次函数图 平 移 ①先求出原抛物线的顶点；
象的平移
规
律
②后求出变换后的抛物线的顶点； ③写出变换的抛物线的解析式。
【例1】将抛物线y=x2+2x-3,化成顶点式为_y_=_(_x_+_1_)_2_-_4__; (1)该抛物线是由y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个___单__位__平移得到的；
(2)写出该抛物线关于x轴,y轴,原点和(1,1)对称的抛物线解析式: 关于 x 轴对称：_y_=_-_x_2_-_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4___。 关于 y 轴对称：_y_=__x_2_-_2_x_-_3___；_y_=__(_x_-_1_)_2_-_4___。 关于 x=2 对称：_y_=_x_2_-_1_0_x_+_2_1__；_y_=_(_x_-_5_)_2_-_4____。 关于原 点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3___；_y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4___。 关于(1,1)对称：_y_=_-_x_2_+_6_x_-_9___；_y_=_-_(_x_-_3_)_2_+_6___。
中考数学考点专题复习课件反比例函数的图象和性质
解：(1)过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，∵点 D 的坐标为(4，3)，∴OF
＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点 A 坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8
＝32，∴k＝32 (2)将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y＝3x2(x＞0)的
图象 D′点处，过点 D′做 x 轴的垂线，垂足为 F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3，∴ 点 D′的纵坐标为 3，∵点 D′在 y＝3x2的图象上，∴3＝3x2，解得：x＝332，即 OF′＝332，∴FF′＝332－4＝230，∴菱形 ABCD 平移的距离为230
3．(2015·苏州)若点 A(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，则代数式 ab
－4 的值为( B)
A．0 B．－2 C．2 D．－6
4．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数 y＝－xa与 y＝ax＋1(a≠0)
的图象可能是( B )
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2015·青岛)如图，正比例函数 y1＝k1x 的图象与反 比例函数 y2＝kx2的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当
①ACMN ＝||kk12||； ②阴影部分面积是12(k1＋k2)； ③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
其中正确的是①__④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
(3)(2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8，1)，B(0，－3)， 反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象经过点 A，动直线 x＝t(0＜t＜8)与反比例函数 的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N.
初三数学总复习函数及其图象相关定理
初三数学总复习教案 函数及其图象相关定理1. 一一对应：① 数轴上的点与实数一一对应。
② 坐标平面上的与有序实数对一一对应。
2．特殊位置的点的坐标特征：① 横坐标上的点⇔纵坐标为零。
② 纵坐标上的点⇔横坐标为零。
③ 平行于x 轴的直线上的点⇔纵坐标相等。
④ 平行于y 轴的直线上的点⇔横坐标相等。
⑤ 第一、三象限角平分线上的点⇔横、纵坐标相等[设A 点的坐标为（x,y ）有x=y].⑥ 第二、四象限角平分线上的点⇔横、纵坐标互为相反数[设A 点的坐标为（x,y ）有x= - y].2. 每一象限内点的坐标特征：设A （x,y ）有① 第一象限内的点⇔x ＞0,y ＞0. ② 第二象限内的点⇔x ＜0,y ＞0. ③ 第三象限内的点⇔x ＜0, y ＜0. ④ 第四象限内的点⇔x ＞0, y ＜0. 3. 设平面上点A （x A ,y A ）,点B （x B ,y B ）：① AB 在x 轴上或平行于x 轴⇔AB=｜x A - x B ｜。
② AB 在y 轴上或平行于y 轴⇔AB=｜y A - y B ｜。
③ 点A 到原点的距离⇔OA=22A A y x +。
④ 平面上任意两点AB 的距离⇔AB=22)()(B A B A y y x x -+-。
4. 对称的点的坐标特征：① 点P （a,b ）关于x 轴的对称点的坐标P 1（a,-b ）。
即：点P 、P 1关于x 轴对称⇔横坐标相同、纵坐标互为相反数。
② 点P （a,b ）关于y 轴的对称点的坐标P 2（-a,b ）。
即：点P 、P 2关于x 轴对称⇔纵坐标相同、横坐标互为相反数。
③ 点P （a,b ）关于原点对称的点的坐标P 3（-a,-b ）。
即：点P 、P 3关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数。
5. 函数：设在一个变化过程中有两个变量x 、y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它相对应，则y 叫做x 的函数。
其中x 是自变量。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
第十八章 《函数及其图像》复习资料(知识结构)(自编)
第十八章 《函数及其图象》复习资料知识结构一、函数及其图象 （一）变量与函数1.在某一变化过程中，可以取 的量，叫做变量。
取值 ，我们称之为常量。
如：圆的面积S 随半径r 的变化而变化，S 与r 是变量，π是常量。
2.表示函数的方法通常有三种：① ，② ，③ 。
（二）图形与坐标1.在平面上两条 、 且 的数轴，建立一个平面直角坐标系。
2.点的坐标（x ，y ）中，x 代表横坐标，y 代表纵坐标。
3.各象限内点的坐标符号：（如下图）4.对称两点的坐标特征（如下图）5. x 轴上点坐标表示为（x ， ），y 轴上点坐标表示为（ ，y ）6. 点P （x ，y ）到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。
7.x 轴上两点（a ，0），（b ，0）之间的距离是 或 ，y 轴上两点（0，m ），（0,n ）之间的距离是 或8.函数图象的作图方法：① ，② ，③ 。
例1：已知点P （m -1,3），（1）若点P 在第二象限，则m 的取值范围是 ， （2）当m=1时，点P 在 ，（3）当m=2时，点P 关于x 轴对称的点p 1的坐标是 ，关于y 轴对称的同为正同为负一负一正一正一负点p 2的坐标是 ，关于原点对称的点p 3的坐标是 .。
（三）函数自变量的取值范围：关键是使函数解析式有意义。
（1）当函数的解析式是整式时，自变量取 ； （2）当函数的解析式是分式时，自变量取 ； （3）当函数的解析式是偶次根式时，自变量取使 ； （4）当函数的解析式是奇次根式时，自变量取 ； （5）实际问题中，自变量的取值范围要根据实际情况而定； 注意：需要多种情况综合考虑时，注意不要遗漏。
例2：求下列函数自变量的取值范围：（1）y x =-26；（2） （3）y x =-6；（4）二、一次函数1.一次函数的概念：函数（，为常数，）叫做的一次函数。
（1）作为一次函数自变量的最高次数是1，且其系数，这两个条件缺一不可。
（2）正比例函数 （为常数，且），正比例函数是特殊的 ，2.一次函数的图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是 。
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
知识必备03 函数及其图像(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备03 函数及其图像（公式、定理、结论图表）考点一、平面直角坐标系点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.典例1：（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 （﹣2023，2022） ．【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案为：（﹣2023，2022）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．考点二、函数及其图象由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，典例2：（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）A．1B．2C．4D．6【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置．需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.典例3：（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 m （用含有m的代数式表示）；②当0＜m＜时，S与m的关系式为 m2 ；③当S＝时，m的值为 或15﹣2 ．【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，∴，解得．∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，令y＝0，则x＝12，∴A（12，0），∴OA＝12，OB＝9，∴AB＝15；如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，∴∠OAB＝∠FCC′，∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，∴△CFC′∽△AOB，∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，∵CC′＝m，∴CF＝m，C′F＝m，∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），∵C（8，3），∴直线OC的解析式为：y＝x，∴E（8﹣m，3﹣m）.∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．故答案为：m．②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），解得m＝，∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；法二、∵C′D′∥BO，∴△CC′E∽△CBO，∴＝（）2，即＝，∴S＝m2．故答案为：m2．③法一、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∴M（m，m），∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）＝﹣m2+m﹣12，令﹣m2+m﹣12＝；整理得，3m2﹣30m+70＝0，解得m＝或m＝＞5（舍）；当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m≤15时，如图4，此时A′B＝15﹣m，∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，∴S△A′CM＝6﹣＝，∵S△AOC＝18，∵A′D′∥OA，∴△A′CM∽△ACO，∴＝，∴CA′＝，∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，当5≤m＜10时，如图3，S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；当10≤m≤15时，如图4，∵A′D′∥x轴，∴△A′BK∽△ABO，∵S＝，S△ABO＝54，∴＝，解得BA′＝2，∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．故答案为：或15﹣2．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．考点四、反比例函数反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN=.∴.典例4：（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．典例5:（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．①求k、b的值；②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴设点A的坐标为（m，），∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，由①知，A（2，4），C（0，2），∴D（2，0），E（4，2），设直线DE的解析式为y＝ax+n，∴，∴，∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴P（0，﹣2）．故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．考点五、二次函数1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.4、抛物线的对称变换①关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.②关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是.③关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是.④关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．⑤关于点对称关于点对称后，得到的解析式是.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．典例6:（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点六、函数的应用分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.典例7：（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C（2，﹣3）（答案不唯一） ；（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣1＜x＜5 ；（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），由S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q （m，m2﹣4m+1），由S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．【解答】解：（1）C（2，﹣3），故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；（2）∵y＝x2﹣4x+1，∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，故答案为：﹣1＜x＜5；（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，∴m＝6；（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），∴S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，解得t＝6+2或t＝6﹣2，∴t＜4，∴t＝6﹣2，∴Q（6﹣2，9）；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，解得m＝2+2或m＝﹣2，∵m≥4，∴m＝2+2，∴Q（2+2，9）；综上所述：Q点坐标为（6﹣2，9）或（2+2，9）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．。
中考数学函数及其图象复习教案
中考数学函数及其图象复习教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2O y x-1-2-3-3-2-1231132（＋，－）（＋，＋）?（－，－）（－，＋）⎪⎩⎪⎨⎧) b - , a - () b , a - ()b - , a (第三篇 函数及其图象专题九 平面直角坐标系一、考点扫描 一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征。
4. 点P （a ，b ）关于 对称点的坐标5、两点之间的距离6、线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A则2,2210210y y y x x x +=+=二、函数的概念1、概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法（3）图象法 二、考点训练1、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2、点P （－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）（A ）（－1，3） （B ）（1，3） （C ）（3，－1）（D ）（1，－3）3、（2005年重庆市）点A （m-4，1-2m ）在第三象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m>12B ．m<4C ．12<m<4 D ．m>44、（2006年怀化市）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．”5、菱形边长为6，一个内角为120°，它的对角线与两坐标轴重合，则菱形四个顶点的坐标分别是6、（2006年南京市）在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标是（ ）A ．（3，7）B ．（5，3）C ．（7，3）D ．（8，2）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧原点轴轴y x 21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，22122121222111)()()()()3(y y x x P P y x P y x P -+-＝，，，，(第6题) (第7题)7、（2006年长春市）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，•若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（a，-b） B．（b，a） C．（-b，a） D．（-a，b）8、（2006年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y•表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，•那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）三、例题剖析1、（06年益阳）在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别为A（-•2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．2、（2006年绍兴市）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…P2006的位置，则P2006的横坐标X2006=_______．3、（2006年茂名市）如图，在平面直角坐标系XOY中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），将直角梯形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A、B、C分别落在A′、B′、C′处．请你解答下列问题：（1）在如图直角坐标系XOY中画出旋转后的梯形O′A′B′C′．（2）求点A旋转到A′所经过的弧形路线长．4、（2006年烟台市）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A•与坐标系中原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图1），•再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B的坐标为______，点C•的坐标为_______．四、综合应用1、2006年常州市）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，3），并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD•都是等腰三角形，请写出P点的坐标．34专题十 一次函数及反比例函数其应用一、考点扫描 1、一次函数(1)、一次函数及其图象如果y=kx+b （k ，b 是常数，k ≠0），那么，y 叫做x 的一次函数。
中考数学复习专项知识总结—一次函数(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—一次函数（中考必备）知识要点1、定义定义1：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
定义2：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的图象及其性质正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。
y=kx经过象限升降趋势增减性k＞0三、一从左向右上升y随着x的增大而增大k＜0二、四从左向右下降y随着x的增大而减小一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。
当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x 的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。
y=kx+b经过象限升降趋势增减性k＞0，b＞0三、二、一从左向右上升y随着x的增大而增大k＞0，b＜0三、四、一k＜0，b＞0二、一、四从左向右下降y随着x的增大而减小k＜0，b＜0二、三、四3、待定系数法定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)一次函数的图象直线l4、一次函数与方程(组)及不等式(组)方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。
找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。
对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
5、函数与实际问题(适用于一次函数、二次函数、反比例函数)在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系；第2步：设自变量。
根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；第3步：列函数。
中考复习(五)函数及其图象
重点难点重点：1．基本概念：①平面直角坐标系：点的坐标，象限②函数、定义、表示方法、解析法、列表法、图象法、自变量、因变量、值域、定义域 ③基本函数：一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数2．性质：①一次函数 ②正比例函数 ③二次函数 ④反比例函数3．公式：①坐标平面内两点间的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=，其中),(111y x P ，),(222y x P②两点中点坐标公式：221x x x +=，221y y y +=，其中P （x ，y ）为),(111y x P ，),(222y x P 的中点4．函数图象：五点法作二次函数图象5．待定系数法难点：1．函数的定义2．用待定系数法求正比例、反比例、一次函数和二次函数的解析式。
[讲一讲]例1：已知：等腰三角形的周长为20cm（1）写出底边长y （cm ）与腰长x （cm ）的函数关系式。
（2）求自变量x 的取值范围 （3）作出函数的图象分析：由等腰三角形周长=底边长+2腰长的关系可列出x 与y 的函数关系式，又因为三角形两边之和应大于第三边，则x 的取值范围可定，再作出函数图象。
解：（1）∵y+2x=0 ∴y=20-2x（2）∵2x>y 即2x>20-2x ∴x>5∵x-x<y∴y>0即20-2x>0 ∴x<10 ∴5<x<10 （例2：已知一次函数b x k y +=11交x 轴于点A （-4，0），交正比例函数x k y 22=的图象于点)23,1(-B ，求一次函数1y 和正比例函数2y 的解析式。
分析：由题意可知，A 、B 两点均在1y 上，B 点在2y 上，将点的坐标代入1y 、2y ，则可求出1k 、2k ，b解：把A （-4，0），)23,1(-B 代入b x k y +=11∵⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=b k b k 112340 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==2211b k ∴2211+=x y把x=-1，23=y 代入x k y 22=∴223k -=∴232-=k∴x y 232-=例3：已知二次函数的对称轴方程是x+3=0，图象过（-1，0）且求y 轴交于点)25,0(-（1）写出解析表达式（2）函数有最大或最小值吗？如果有其值是多少？ （3）当x 是何值时，此函数的值为零？（4）当x 为何值时，此函数的值随x 增大而增大？分析：可以先设二次函数解析式为c bx ax y ++=2，由三个已知条件可以确定函数解析式，再根据解析式求最值，函数值，确定增减性。
中考数学复习课件(全国通用版)：第三单元 函数及其图象(123张PPT)【学霸笔记、状元学案、名师教案】
第11课时┃ 考点聚焦
考点3 图形变换引起点的坐标的变化
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或 向左)平移a个单位长度，可以得到对应点 点的平移 ________( (x＋a，y) 或( x－a，y) ；将点(x，y)向上 ________) (或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 (x，y＋b) 或（ ________ (________) x， y － b） 图形的 平移 图形的平移只改变图形的位置(图形上所 有点的坐标都要发生相应的变化)，不改 变图形的大小和形状
第11课时┃ 考点聚焦
考点6
函数的表示方法
表示方法
(1)列表法
(2)图象法
(3)解析法
使用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适 当的方法，解决问题时，常常综合应 用这三种方法来深入研究函数的性质
第11课时┃ 考点聚焦 考点7 函数图象的概念及画法
一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量 的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那 概念 么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象 画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线 步骤
点到两坐标轴 的距离 点到原点的距离
第11课时┃ 考点聚焦
(1)x 轴上两点 P1(x1，0)与 P2(x2，0)的距离 P1P2 ＝|x1－x2|； 坐标轴 (2)y 轴上两点 Q1(0，y1)与 Q2(0，y2)的距离 Q1Q2 上两点 ＝|y1－y2|； 间距离 (3)x 轴上一点 P(x，0)与 y 轴上一点 Q(0，y)的 距离 PQ＝ x2＋y2
对应关 坐标平面内的点与有序实数对是 ________ 一一 对 系 应的 (1)各象限内点的坐标的特征 点 P(x, y)在第一象限 ⇔____________ ； x>0 y>0 x<0 y>0 ； 点 P(x, y)在第二象限 ⇔____________ 平面内 点 P(x, y)在第三象限 ⇔____________ x<0 y<0 ； 点 P(x， 点 P(x, y)在第四象限 ⇔____________ x>0 y<0 y)的 (2)坐标轴上点的坐标的特征 坐标的 点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________ y＝0，x为任意实数； 特征 点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________ x＝0，y为任意实数； 点 P(x, y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔x、y 同 时为零，即点 P 的坐标为(0, 0)； 坐标轴上的点 不属于任何象限
(中考数学复习)第12讲-一次函数及其图象-课件-解析
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(2)由题意，得xy＝2 000，
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－x2＋130x－4 000＝0， 解得x1＝50，x2＝80＞70(舍去)． 答：该机器的生产数量为50台． (3)设每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间的函数关系式为z＝ ka＋b，由函数图象，得
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浙派名师中考 6．如图12－3所示，直线y＝kx＋b经过点A(－1，－2)和点B(－
2，0)，直线y＝2x过点A，则不等式2x<kx＋b<0的解集为 __－__2_＜__x_＜__－__1___．
图12－3
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B．x＞0
C．x＜2
D．x＞2
图12－2
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5．(2013·泰安)把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y ＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是 ( C ) A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4 解析：把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后可得：y＝－x ＋3＋m，求出直线y＝－x＋3＋m与直线y＝2x＋4的交点， 再由此点在第一象限可得出m的取值范围．解得m＞1.
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题组三 函数、方程、不等式的结合 【例4】 (2012·乐山)已知一次函数y＝ax＋b的图象过第一、
数学中考一轮复习专题13一次函数的图象及其性质课件
知识点2：一次函数的图象及其性质
典型例题
【例2】（3分）（202X•赤峰11/26）点P（a，b）在函数y =4x+3的图象上，则代数式
8a -2b +1的值等于（ ）
A．5
B．-5
C．7
D．-6
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求
代数式8a -2b +1的值．
地市以探究性问题的情 的近似解.
势考查.
思维导图
知识点1：一次函数的概念
知识点梳理
1. 一次函数的概念： 一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数． 结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可以是任意实数． 2. 正比例函数的概念： 特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x 的正比例函数． 结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项为0． 3. 一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊情势．
关于x，y的二元一次方程组
kk12xx
b1 b2
y y
的解是直线y=k1x+b1和y=k2x+b2的交点坐标．
3. 一元一次不等式：
关于x的一元一次不等式kx+b＞0（＜0）的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，
x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围．
知识点3：一次函数与方程（组）、一元一次不等式
知识点2：一次函数的图象及其性质
典型例题
【例4】（3分）（202X•安徽7/23）已知一次函数y=kx+3的图象经过点A，且y随x的增
大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
第10课时 一次函数的图象及其性质 课件 2025年中考数学一轮总复习
么过原点O且将△AOB的面积平分的直
线l2的解析式为（ D ）
D
A. y＝ x
B. y＝x
C. y＝ x
D. y＝2x
（2）如图2，已知一条直线经过点A
（0，2），点B（1，0），将这条直线
向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.
若DB＝DC，则直线CD的函数解析式
y＝ x－
考点三 一次函数与方程（组）、不
等式
例3 （1）（2024·广东）已知不等式
kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y
＝kx＋b的图象大致是（ B ）
B
A B C D
一、
二、三
一、
三
一、
三、四Βιβλιοθήκη 一、 二、四
二、
四
二、
三、
四
增大
减小
（1）k的符号决定直线的增减性；
的大小决定直线的倾斜程度，即 越
大，直线与x轴相交的锐角的度数越大
（直线越 ）； 越小，直线与x
轴相交的锐角的度数越小（直线越 ）.（2）b（称为截距）表示直线y＝kx＋
图象
关系
一次函数y＝kx＋b的图象可由正
比例函数y＝kx的图象平移得到.
当b＞0时，向上平移b个单位长
度；当b＜0时，向下平移 个单
位长度
（0，b）
（－ ，0）
知识点2 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的
图象与性质
函
数
y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜
0
b＞0
b＝0
为 ；
函数及其图像复习知识点归纳(初二)
一、知识点：〈一〉 平面直角坐标系1、 各象限内点的坐标特征2、 坐标轴上的点不属于任何一个象限例：（太原）在平面直角坐标系中，点P )2,1(a a -+在第四象限，求a 的取值范围。
3、 平面直角坐标系中点的坐标的对称（中考常考）思路：关于x 轴对称点的坐标有什么特征？关于y 轴对称点的坐标有什么特征？关于原点对称点的坐标有什么特征？例：点P )4,3(-关于原点对称的点的坐标是 ；此对称点到原点的距离是 。
例：在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线所在直线的函数关系式是 ；第二、四象限角平分线所在直线的函数关系式是 。
4、 图形的平移与坐标的变化（近几年的中考有上升趋势）〈二〉 正比例函数、一次函数1、 定义一次函数：)0(≠+=k b kx y 正比例函数：)0(≠=k kx y图象：一条直线（故一次函数)0(≠+=k b kx y 也叫直线)0(≠+=k b kx y ）2、图象的性质：（由系数k 与b 决定）k ：决定图象上升（或下降）的趋势〈即y 随x 的变化情况〉b ：决定图象与y 轴的交点位置（纵截距）3、一次函数：)0(≠+=k b kx y 的几种大致图象（共6种）例：函数b kx y +=的图象大致如右，则（ ）A 0,0>>b kB 0,0<>b kC 0,0><b kD 0,0<<b k例：请写出一个一次函数，使它的图象不经过第一象限，该表达式可以是 。
（满足条件k<0, b<0即可）4、一次函数表达式的确定方法：待定系数法 依据：两点确定一条直线例：已知一次函数的图象经过A )3,1(),3,2(B --两点。
（1）求这个一次函数的表达式； （2）试判断点P )1,1(-是否在这个一次函数的图象上？y x o（在求系数k 与b 时，可用简便方法）5、 一次函数图象性质的运用〈三〉 反比例函数1、 定义及表达式：xk y = k xy = 1-=kx y )0(≠k 学会灵活运用上面三种表达式例：已知反比例函数的图象经过点（2，3），则这个反比例函数的表达式是 。
中考第二轮复习：函数及其图象测试(含答案)
第三章 《函数及其图象》自我测试[时间：90分钟 分值：100分]一、选择题(每小题3分，满分30分) 1．(2011·衡阳)函数y ＝x ＋3x －1中自变量x 的取值范围是( )A ．x ≥－3B ．x ≥－3且x ≠1C ．x ≠1D ．x ≠－3且x ≠1 2．(2011·芜湖)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， 则反比例函数y ＝ax 与一次函数y ＝bx ＋c 在同一坐标系中的大致图象是( )A B C D3．(2011·广州)下列函数中，当x >0时，y 值随x 值增大而减小的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x4．(2011·东营)如图，直线l 和双曲线y ＝kx (k >0)交于A 、B 两点，P是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则( ) A. S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1>S 2>S 3 C ．S 1＝S 2>S 3 D ．S 1＝S 2<S 35．(2011·黄石)设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )A ．1<α<β<2B ．1<α<2 <βC ．α<1<β<2D ．α<1且β>26．(2011·桂林)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．y ＝－(x ＋1)2＋2B ．y ＝－(x －1)2＋4C ．y ＝－(x －1)2＋2D ．y ＝－(x ＋1)2＋47．(2011·泰州)某公司计划新建一个容积V (m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S (m 2)与其深度h (m)之间的函数关系式为S ＝Vh(h ≠0)，这个函数的图象大致是( )A B C D8．(2011·菏泽)如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A. a ＋b ＝－1 B ．a －b ＝－1 C ．b <2a D ．ac <0(第8题) (第9题) (第10题)9．(2010·常州)如图，一次函数y ＝－12x ＋2的图象上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为a (0<a <4且a ≠2)，过点A 、B 分别作x 的垂线，垂足为C 、D ，△AOC 、△BOD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1、S 2的大小关系是( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1<S 2 D ．无法确定10．(2011·宜宾)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )A B C D 二、填空题(每小题3分，满分30分)11．(2011·广州)已知反比例函数y ＝kx的图象经过(1，－2)，则k ＝________.12．(2011·上海)一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而________(填“增大”或“减小”)．13．(2011·黄冈)如图，点A 在双曲线y ＝k x上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k ＝______.(第13题) (第17题) (第18题) 14．(2011·黄冈)已知函数y ＝{ ()x －12－1()x ≤3， ()x －52－1()x ＞3，则使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________．15．(2011·黄石)若一次函数y ＝kx ＋1的图象与反比例函数y ＝1x 的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是________．16．(2011·潍坊)一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2,1)点；②当x >0时，y随x 的增大而减小．这个函数解析式为____________________(写出一个即可)． 17．(2011·内江)在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上．若点B 1的坐标为(1,1)，点B 2的坐标为(3,2)，则点A n 的坐标为____________．18．(2011·衢州)在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (k >0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为_______________．19．(2011·广安)如图所示，直线OP 经过点P (4, 4 3)，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3……S n 则S n 关于n 的函数关系式是________．(第19题) (第20题) 20．(2010·兰州)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__________米．三、解答题(21～22题各6分，23题8分，24～25题各10分)21．(2011·菏泽)已知一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx ，其中一次函数y ＝x ＋2的图象经过点P (k,5)．(1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．22．(2011·日照)某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x 台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y (元)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？23．(2011·扬州)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y(厘米)与注水时间x(分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)图2中折线ABC表示______槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示________槽中的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”、或“乙”)，点B的纵坐标表示的实际意义是______________________________________________________；(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？(3)若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积；(4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米(壁厚不计)，求甲槽底面积(直接写结果)．24．(2011·温州)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4,0)，点B 的坐标为(0，b)(b>0). P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y 轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连结PP′、P′A、P′C.设点P的横坐标为a.(1)当b＝3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(－1，m)，求m的值；(2)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D.当P′D∶DC＝1∶3时，求a的值；(3)是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由．25．(2011·安徽)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0).(1)求证h1＝h3;(2)设正方形ABCD的面积为S，求证S＝(h2＋h3)2＋h12；(3)若32h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．参考答案一、选择题(每小题3分，满分30分) 1．(2011·衡阳)函数y ＝x ＋3x －1中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥－3 B ．x ≥－3且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≠－3且x ≠1 答案 B解析 由x ＋3≥0且x －1≠0，得x ≥－3且x ≠1.2．(2011·芜湖)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝ax 与一次函数y＝bx ＋c 在同一坐标系中的大致图象是( )A B C D答案 D解析 由抛物线的位置，得a <0，b <0，c ＝0，所以双曲线y ＝ax 分布在第二、四象限，直线y ＝bx ＋c 过原点，且经过第二、四象限．3．(2011·广州)下列函数中，当x >0时，y 值随x 值增大而减小的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x答案 D解析 y ＝1x分布第一、三象限，当x >0时，y 随x 的增大而减小．4．(2011·东营)如图，直线l 和双曲线y ＝kx (k >0)交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则( ) A. S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1>S 2>S 3 C ．S 1＝S 2>S 3 D ．S 1＝S 2<S 3 答案 D解析 S 1＝S △AOC ＝12k ，S 2＝S △BOD ＝12k ，S 3＝S △POE >12k .所以S 1＝S 2<S 3.5．(2011·黄石)设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )A ．1<α<β<2B ．1<α<2 <βC ．α<1<β<2D ．α<1且β>2 答案 D解析 当y ＝(x －1)(x －2)时，抛物线与x 轴交点的横坐标为1,2，抛物线与直线y ＝m (m >0)交点的横坐标为α，β，可知α<1，β>2.6．(2011·桂林)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．y ＝－(x ＋1)2＋2B ．y ＝－(x －1)2＋4C ．y ＝－(x －1)2＋2D ．y ＝－(x ＋1)2＋4 答案 B解析 抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的顶点为(－1,2)，与y 轴交于点(0,3)，开口向上；旋转后其顶点为(1,4)，开口向下. 所以y ＝－(x －1)2＋4.7．(2011·泰州)某公司计划新建一个容积V (m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S (m 2)与其深度h (m)之间的函数关系式为S ＝Vh(h ≠0)，这个函数的图象大致是( )答案 C解析 S ＝Vh(h ≠0)，S 是h 的反比例函数，当h >0时，图象仅在第一象限．8．(2011·菏泽)如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A. a ＋b ＝－1 B ．a －b ＝－1 C ．b <2a D ．ac <0 答案 B解析 由OA ＝OC ＝1，得A (－1,0)，C (0,1)，所以{ a －b ＋c ＝0， c ＝1，则a －b ＝－1.9．(2010·常州)如图，一次函数y ＝－12x ＋2的图象上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为a (0<a <4且a ≠2)，过点A 、B 分别作x 的垂线，垂足为C 、D ，△AOC 、△BOD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1、S 2的大小关系是( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1<S 2 D ．无法确定 答案 A解析 当x ＝2时，y ＝－12x ＋2＝1，A (2,1)，S 1＝S △AOC ＝12×2×1＝1；当x ＝a 时，y ＝－12x ＋2＝－12a ＋2，B (a ，－12a ＋2)，S 2＝S △BOD ＝12×a ×⎝⎛⎭⎫－12a ＋2＝－14a 2＋a ＝－14(a －2)2＋1，当a ＝2时，S 2有最大值1，当a ≠2时，S 2<1.所以S 1>S 2.10．(2011·宜宾)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )A B C D答案 B解析 当点P 在AD 上时，S △APD ＝0；当点P 在DC 上时，S △APD ＝12×4×(x －4)＝2x －8；当点P 在CB 上时，S △APD ＝12×4×4＝8；当点P 在BA 上时，S △APD ＝12×4×(16－x )＝－2x ＋32.故选B.二、填空题(每小题3分，满分30分)11．(2011·广州)已知反比例函数y ＝kx的图象经过(1，－2)，则k ＝________.答案 －2解析 点(1，－2)在双曲线y ＝kx上，有k ＝1×(－2)＝－2.12．(2011·上海)一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而________(填“增大”或“减小”)． 答案 增大解析 一次出数y ＝3x －2，k ＝3>0，可知y 随x 的增大而增大．13．(2011·黄冈)如图，点A 在双曲线y ＝k x上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k ＝______.答案 －4解析 设A (x ，y )．S △AOB ＝12OA ·AB ＝12·|x |·|y |＝12x ·(－y )＝－12xy ＝2.所以xy ＝－4，即k ＝－4.14．(2011·黄冈)已知函数y ＝{ ()x －12－1()x ≤3， ()x －52－1()x ＞3，则使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________． 答案 3解析 如图，画函数图象．当y ＝3时，对应的x 值恰好有三个，∴k ＝3.15．(2011·黄石)若一次函数y ＝kx ＋1的图象与反比例函数y ＝1x 的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是________． 答案 k <－14解析 直线y ＝kx ＋1与双曲线y ＝1x 没有公共点，则方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1， y ＝1x 无实根，kx ＋1＝1x ，kx 2＋x －1＝0，得{ k ≠0， 1＋4k <0，解之，得⎩⎨⎧k ≠0， k <－14，所以k <－14. 16．(2011·潍坊)一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2,1)点；②当x >0时，y随x 的增大而减小．这个函数解析式为____________________(写出一个即可)． 答案 如：y ＝2x，y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋5等，写出一个即可17．(2011·内江)在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上．若点B 1的坐标为(1,1)，点B 2的坐标为(3,2)，则点A n 的坐标为____________．答案 (2n －1－1,2n －1)解析 可求得A 1(0,1)，A 2(1,2)，A 3(3,4)，A 4(7,8)，…，其横坐标0,1,3,7…的规律为2n－1－1，纵坐标1,2,4,8…的规律为2n －1，所以点A n 的坐标为(2n －1－1,2n －1)．18．(2011·衢州)在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (k >0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为_______________．答案 (8，32)解析 在Rt △AOB 中，AO ＝10.sin ∠AOB ＝AB AO ＝35，则AB ＝6，OB ＝8.又点C 是AC 中点，得C (4,3)，k ＝4×3＝12，y ＝12x .当x ＝8时，y ＝128＝32.∴D 坐标为⎝⎛⎭⎫8，32. 19．(2011·广安)如图所示，直线OP 经过点P (4, 4 3)，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3……S n 则S n 关于n 的函数关系式是________．答案 (8n －4) 3解析 设直线OP 的解析式为y ＝kx ，由P (4,4 3)，得4 3＝4k ，k ＝3，∴y ＝3x .则S 1＝12×(3－1)×(3＋3 3)＝4 3，S 2＝12×(7－5)×(5 3＋7 3)＝12 3，S 3＝12×(11－9)×(9 3＋11 3)＝20 3，……，所以S n ＝4(2n －1)3＝(8n －4) 3.20．(2010·兰州)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__________米． 答案 0.5解析 如下图，建立平面直角坐标系，可得抛物线y ＝ax 2＋c 经过点(－0.5,1)，(1,2.5)，则⎩⎨⎧14a ＋c ＝1， a ＋c ＝2.5，解之，得{ a ＝2， c ＝0.5，∴y ＝2x 2＋0.5，抛物线顶点坐标为(0,0.5)，距地面的距离为0.5米．三、解答题(21～22题各6分，23题8分，24～25题各10分)21．(2011·菏泽)已知一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx ，其中一次函数y ＝x ＋2的图象经过点P (k,5)．(1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标． 解 (1)因为直线y ＝x ＋2过点P (k,5)， ∴5＝k ＋2，k ＝3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x.(2)解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋2， y ＝3x ，得{ x ＝1， y ＝3，或{ x ＝－3， y ＝－1.故第三象限的交点Q 的坐标为(－3，－1)．22．(2011·日照)某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x 台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y (元)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？解 (1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱(70－x )台， 调配给乙连锁店空调机(40－x )台，电冰箱(x －10)台，则y ＝200x ＋170(70－x )＋160(40－x )＋150(x －10)，即y ＝20x ＋16800.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，70－x ≥0，40－x ≥0，x －10≥0，∴10≤x ≤40.∴y ＝20x ＋16800(10≤x ≤40)．(2)按题意知：y ＝(200－a )x ＋170(70－x )＋160(40－x )＋150(x －10)， 即y ＝(20－a )x ＋16800. ∵200－a ＞170，∴a ＜30.当0＜a ＜20时，y 随x 增大而增大，则x ＝40时，利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a ＝20时，x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同；当20＜a ＜30时，y 随x 增大而减小，x ＝10时，利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台．23．(2011·扬州)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y (厘米)与注水时间x (分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)图2中折线ABC 表示______槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示________槽中的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”、或“乙”)，点B 的纵坐标表示的实际意义是______________________________________________________；(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？(3)若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积；(4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米(壁厚不计)，求甲槽底面积(直接写结果)．解 (1)乙，甲；乙槽内的圆柱形铁块的高度为14厘米．(2)设线段AB 的解析式为y 1＝kx ＋b ，由过点(0,2)、(4,14)，可求得解析式为y 1＝3x ＋2； 设线段DE 的解析式为y 2＝mx ＋n ，由过点(0,12)、(6,0)，可求得解析式为y 2＝－2x ＋12； 当y 1＝y 2时，3x ＋2＝－2x ＋12，∴x ＝2.∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．(3)∵水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍． 设乙槽底面积与铁块底面积之差为S ，则 (14－2)S ＝2×36×(19－14)，解得S ＝30cm 2. ∴铁块底面积为36－30＝6cm 2. ∴铁块的体积为6×14＝84cm 3. (4)甲槽底面积为60cm 2.∵铁块的体积为112cm 2，∴铁块底面积为112÷14＝8(cm 2)． 设甲槽底面积为s (cm 2)，则注水的速度为12s6＝2s (cm 3/min)．由题意得2s ×6－4 19－14－2s ×414－2＝8，解得s ＝60.∴甲槽底面积为60cm 2.24．(2011·温州)如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－4,0)，点B 的坐标为(0，b )(b >0). P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C .记点P 关于y 轴的对称点为P ′(点P ′不在y 轴上)，连结PP ′、P ′A 、P ′C .设点P 的横坐标为a . (1)当b ＝3时，①求直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是(－1，m )，求m 的值；(2)若点P 在第一象限，记直线AB 与P ′C 的交点为D .当P ′D ∶DC ＝1∶3时，求a 的值； (3)是否同时存在a 、b ，使△P ′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 、b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3， 把x ＝－4，y ＝0代入上式，得－4k ＋3＝0， ∴k ＝34，∴y ＝34x ＋3.②由已知得，点P 的坐标是(1，m )， ∴m ＝34×1＋3，∴m ＝334.(2)∵PP ′∥AC ， ∴△PP ′D ∽△ACD ， ∴P ′D DC ＝P ′P CA ，即2a a ＋4＝13， ∴a ＝45.(3)以下分三种情况讨论． ①当点P 在第一象限时，i)若∠AP ′C ＝90°，P ′A ＝P ′C (如图1)，过点P ′作P ′H ⊥x 轴于点H ， ∴PP ′＝CH ＝AH ＝P ′H ＝12AC ，∴2a ＝12(a ＋4)，∴a ＝43.∵P ′H ＝PC ＝12AC ，△ACP ∽△AOB ，∴OB OA ＝PC AC ＝12，即b 4＝12， ∴b ＝2.ii)若∠P ′AC ＝90°，P ′A ＝CA (如图2)，则PP ′＝AC ，∴2a ＝a ＋4，∴a ＝4.∵P ′A ＝PC ＝AC ，△ACP ∽△AOB ， ∴OB OA ＝PC AC ＝1，即b4＝1，∴b ＝4. iii)若∠P ′CA ＝90°，则点P ′、P 都在第一象限，这与前提条件矛盾， ∴△P ′CA 不可能是以C 为直角顶点的等腰直角三角形．②当点P 在第二象限时，∠P ′CA 为锐角(如图3)，此时△P ′CA 不可能是等腰直角三角形．③当点P 在第三象限时，∠P ′AC 为钝角(如图4)，此时△P ′CA 不可能是等腰直角三角形．∴所有满足条件的a 、b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.25．(2011·安徽)如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3(h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0). (1)求证h 1＝h 3;(2)设正方形ABCD 的面积为S ，求证S ＝(h 2＋h 3)2＋h 12；(3)若32h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况．解 (1)过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CH ⊥l 2分别交l 2、l 3于点H 、G ，利用两角一边对应相等，证△ABE ≌△CDG 即可．(2)易证△ABE ≌△BCH ≌△CDG ≌△DAF ，且两直角边长分别为h 1、h 3＋h 2，四边形EFGH 是边长为h 2的正方形，所以S ＝4×12h 1()h 3＋h 2＋h 22＝2h 1h 3＋2h 1h 2＋h 22＝2h 12＋2h 1h 2＋h 22＝(h 1＋h 2)2＋h 12.(3)由题意，得h 2＝1－32h 1，所以S ＝⎝⎛⎭⎫h 1＋1－32h 12＋h 12＝54h 12－h 1＋1＝54⎝⎛⎭⎫h 1－252＋45.又⎩⎪⎨⎪⎧h 1>0，1－32h 1>0， 解得0＜h 1＜23.∴当0＜h 1＜25时，S 随h 1的增大而减小；当h 1＝25时，S 取得最小值45；当25＜h 1＜23时，S 随h 1的增大而增大．。
中考系列复习之九—函数及其图象
中考系列复习之九———函数及其图象一、中考要求1、理解平面直角坐标系的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于(x轴、y 轴或原点的对称点的坐标.2、会从不同角度确定自变量的取值范围.3、会用待定系数法求函数的解析式.4、明确一次函数（含正比例函数）、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系.5、会用一次函数和二次函数（结合方程、不等式等）解决一些实际问题.二、点击重、难点1、重点是一次函数与二次函数的概念、图象与性质；2、难点是函数的本质意义与多种表示方法之间的联系；三、中考热点分析与预测本部分知识是中考的重点内容，在各种题型中都经常出现，大约占到20%左右的分值比重.预计在20XX年的中考中，函数的地位将会得到进一步的巩固，命题时着重于应用性、综合性，同时呈现出图象、图形、表格等多种信息表达形式.这样命题也是向课程标准靠拢的必然趋势.四、知识要点聚焦（一）平面直角坐标系中，第一象限内点的坐标符号为（+，+），第二象限内点的坐标符号为（-，+），第三象限内点的坐标符号为（-，-），第四象限内点的坐标符号为（+，-），x轴上的点表示为（x， 0），y轴上的点表示为（0，y），坐标轴上的点不属于任何象限；点(m, n)关于x轴的对称点坐标为（m, -n）, 关于y轴的对称点坐标为（-m, n）, 关于原点的对称点坐标为（-m, -n）.（二）一次函数:1、解析式：y=kx+b（k、b是常数，k≠0），当b=0时，它是正比例函数2、图象性质：（1）图象是一条直线.（2）当k>0时，图象一定经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象一定经过第二、四象限，y随x的增大而减小.（3）直线y=kx+b与y轴的交点纵坐标为b.（三）二次函数：1、!解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c(a≠0).（2）顶点式： y=a(x - k)2+h，顶点为（k，h） .（3）两根式： y=a(x – x1)(x – x2)，与x轴两交点分别为（x1,0）、（x2,0）.2 、图象（抛物线）位置与a、b、c的关系（以下结论的逆命题也成立）：（1）a决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.（2）c决定抛物线与y轴交点的位置：当b>0时，图象与y轴交点在y轴的正半轴上；当b<0时，图象与y轴交点在y轴的负半轴上; 当b=0时，图象过原点.（3）b、c共同决定抛物线的对称轴x = b2a的位置：若b、c同号，则对称轴在y轴左侧；若b、c异号，则对称轴在y轴右侧；若b=0，则对称轴是y轴.（4）抛物线的顶点坐标为（- b2a ，4ac - b24a）.（5）△=b2- 4ac决定抛物线与x轴交点情况：当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△<0时，抛物线与x 轴有一个交点；当△=0时，抛物线与x 轴没有交点.（四）反比例函数1、解析式为 y = kx(k ≠0).2、图象性质： （1）图象为双曲线.（2）当k>0时，双曲线的两个分支在第一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支在第二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大.五、 复习方法导引1、平面直角坐标系的建立，使数形结合的数学思想方法成为主线，要熟悉各类函数图象的位置与系数之间的关系，善于把“数”（比如坐标、解析式）与“形”（比如点、图象）有机的结合起来，顺利实现互相转化.2、函数本身就是一种重要的数学思想.应用时首先要找准两个相关的变量，分析它们之间的联系，用含有两个变量的等式表达出来，最终化简变形为解析式的一般形式，利用函数性质解决问题.3、如果把函数中的两个变量视为未知数，把常量视为系数，则一个解析式就是一个方程.所以，方程思想常与函数思想并称.函数图象与x 轴的交点问题，等价于函数值为0时的方程的解的问题；函数图象与y 轴的交点问题，等价于自变量为0时的方程的解的问题，所以常数项就是函数图象与y 轴的交点的纵坐标；两个函数图象的交点问题，等价于两个解析式组成的方程组的解的问题.4、待定系数法是求函数解析式的常用方法.一般分成设（解析式）、列（方程或者方程组）、解（这个方程或者方程组）、代（入所设解析式）四个步骤.5、掌握一些函数的变量数值变化规律，比如在一个表中的两个变量x 、y ，若x 、y 的乘积一定，则这两个变量为反比例函数关系；若x 、y 的比值一定，则这两个变量为正比例函数关系；当x 均匀变化时，y 也均匀变化，则这两个变量为一次函数关系.六、 典型例题剖析（本文所选例题均出自20XX 年全国各地中考题）例1（北京海淀）点P ()-23，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A. ()-23，B. ()23，C. ()23，-D. ()--23，剖析：由对称点的坐标特征，可知选D . 例2（郑州）函数314+++=x x y 的自变量x 的取值范围是 .剖析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x+4≥0x+3≠0x+3≥0,解得x ≥-3.例3 （河南）如图，函数图象①、②、③的表达式应为（ ）． （A ） y ＝－x 25，y ＝x ＋2，y ＝－x4；（B ） y ＝x 25，y ＝－x ＋2，y ＝x 4； （C ） y ＝－x 25，y ＝x －2，y ＝x 4；（D ） y ＝－x 25，y ＝x －2，y ＝－x4；剖析：由图象可知，正比例函数的系数为负数；一次函数的一次项系数为正数，常数项为负数；反比例函数的系数为正数。
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第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
11．下列图象不是函数图象的是( C
)
A
B 图 9－ 2
C
Байду номын сангаас
D
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
考点4
函数图象的应用
函数图象 作函数图 象的一般 步骤 把一个函数的自变量x和函数的值y分别作 为横、纵坐标，描出点，所有这些点所组 成的图象就是函数图象
列表 、 作函数图象的一般步骤为_______ 连线 _______ 描点 和________
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
(2)坐标轴上点的坐标的特征 平面内点 点P(x，y)在x轴上，则y＝0，x为任意数； P(x，y)的 点P(x，y)在y轴上，则x＝0，y为任意数； 坐标的特征 点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上，则x、y 同时为零，即点P的坐标为(0，0)
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
函数的 概念 函数的 表示法 函数自变量 的取值范围
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
7.对于圆的周长公式C＝2π R，下列说法正确的是 ( D ) A．π 、R是变量，2是常量 B．R是变量，π 是常量 C．C是变量，π 、R是常量 D．C、R是变量，2、π 是常量
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
8.下列函数中自变量x的取值范围是x＞1的是( A ) 1 A．y＝ B．y＝ x－1 x－ 1 1 C．y＝ x－ 1 1 D．y＝ 1－ x
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考点3
函数的概念及其表示法
在一个过程中有两个变量x和y，对于x 唯一确定 的 的每一个确定的值，y都有________ 自变量 值与之对应，则x叫做__________ ， y 是_____ x 的函数 ____ 列表法 函数的表示法有____________ 、 图象法 和___________ 解析式法 ________ 使函数有意义的自变量所取的值的范围
[解析] 因为点P(x－2，x＋1)在第二象限，所以x－2＜0，x＋1 ＞0，解得－1＜x＜2.故选D.
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4．点M(a，b)是第四象限中的点，且点M到x轴的距离为 (1，－4) ． 4，到y轴的距离为1，则点M的坐标为________
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考点2
平面直角坐标系中点的对称与平移
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单 (x＋a，y) 或________) (x－a，y) ；将 用坐标表 位长度，可以得到对应点是________( 示平移 点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到点 (x，y＋b) 或________) (x，y－b) ________( 点P(x，y)关于x轴对称的点 关于x轴 规律可归纳 (x，－y) P1的坐标为________ 用坐标 为：谁对称谁 点P(x，y)关于y轴对称的点 表示对 不变，另一个 关于y轴 ( － x ， y ) P2的坐标为________ 称点 变号，原点对 点P(x，y)关于原点对称的点 称都变号 关于原点 ( － x ，－ y ) P3的坐标为________
图 9－ 1 B．(3，1) D．(－2，2)
[解析]由棋子“車”的坐标为(－2，3)，棋子“馬”的坐标为(1，3)， 可知原点为底边正中间的点，x轴是底边，向右为正，y轴是左右正中 间的线，向上为正方向，所以“炮”的坐标为(3，2)．故选A.
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3．在坐标平面内，若点P(x－2，x＋1)在第二象限，则x的取 值范围是( D ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．－1＜x＜2
第9 讲
平面直角坐标系及函数
第10讲 一次函数的图象与性质 第11讲 一次函数的应用 第12讲 反比例函数 第13讲 二次函数的图象与性质 第14讲 二次函数的应用
第9讲
平面直角坐标系及 函数
第9讲┃ 平面直角坐标系及函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平面直角坐标系
对应关系
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 (1)各象限内点的坐标的特征 平面内点 点P(x，y)在第一象限：x______0 ，y______0 ； > > P(x，y)的 点P(x，y)在第二象限：x______0 ，y______0 ； < > 坐标的特征 点P(x，y)在第三象限：x______0 ，y______0 ； < < 点P(x，y)在第四象限：x______0 ，y______0 < >
1．[2012· 宿迁]在平面直角坐标系中，点M(－2，3)在( B A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
)
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2．如图9－1，已知棋子“車”的坐标为(－2，3)，棋子 “馬”的坐标为(1，3)，则棋子“炮”的坐标为( A )
A．(3，2) C．(2，2)
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5.[2012· 沈阳] 在平面直角坐标系中，P(－1，2)关于x轴的 对称点的坐标为( A ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(2，－1) D．(－2，1)
6．在平面直角坐标系中，将点(－2，－3)向上平移3个单位再 (－4,0) ． 向左平移2个单位，则平移后的点的坐标为________
9．在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如 下表，则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的( B ) m 1 2 3 4 v 0.01 2.9 8.03 15.1 A.v＝2m－2 B．v＝m2－1 C．v＝3m－3 D．v＝m＋1
[解析] 当m＝4时，A.v＝2m－2＝6； B．v＝m2－1＝15；C.v＝3m－3＝9；D.v＝m＋1＝5.
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10．小华利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的 数据如下表．那么当输入数据是8时，输出的数据是( C ) 输入 „ 1 2 3 „ 4 5 输出 „ 8 A. 61 1 2 2 5 3 10 8 C. 65 4 17 5 26 „ 8 D. 67
8 B. 63
x [解析] 由表可知：输入x时，输出 2 ， x ＋1 ∴x＝8时，输出 8 8 ＝ .故选C. 82＋1 65