初一数学方法和思想专题

初中数学思想和解题方法专题

一、学习指引

1．知识要点：

数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程思想 2．方法指引：

（1）数形结合法：

数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．

（2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分讨论应逐级进行．

（3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．（4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函数思想．

二、分类突破

（一）数形结合

1．最小的正整数是_____最大的负整数是 ______绝对值最小的数是 ______ 2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________

3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________

4、设把连接起来”号用“且b b a a b a b a --<<<>,,,.0,0。

点拨：借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确 5、化简三个数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图1，化简

a c c a

b b a --++-+

变式1、化简b a c b c a --+++

变式2、化简c a a c c b b a +--++--

点拨：从图形中获取有用信息是解决此类题的关键 6、线段AB,延长AB 到C ，使BC=

1

3

AB ，D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。 7、已知，线段AB=6cm ，在直线AB 上截取线段BC=4cm ，若M ，N 分别是AB ，BC 中点

（1）求M ，N 两点间的距离。

（2）AB=a cm ，BC=b cm ，其他条件不变，此时MN 是多少？ （3）由（1），（2），你发现什么规律？

8、平面内，若45AOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，则AOB ∠= ； 点拨：正确画出图形是突破此类题的关键 二、分类讨论法

1、解绝对值方程 |x +5|+2=5

2、 已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.

3、已知的值，求的绝对值为互为倒数，互为相反数，且

、s mn b

a

s n m ab b a ++≠3,,0

变式、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的平方是4，求2009

2008

2)()()(cd b a x cd b a x -+++++-的值。

4、已知a 为有理数且a

0，则+

a

a 2=________

变式1、、已知a 、b 均为不等于0的有理数，则代数式

ab

ab

b b a

a +

+

的值为 ； 变式2、求代数式

a a

b b ab ab

++2的值为___________

变式3、若c

c

b b a a ab

c 32,

0++≠的所有可能值是__________ 点拨：合理分类是解决这类题的关键

5、 解关于x 的方程(2)1a x b -=-．

6、如果A 、B 、C 在同一条直线上，线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ） A 、8 cm B 、4 cm C 、8cm 或4cm D 、无法确定

变式1：如果在同一条直线上顺次截取A 、B 、C ，线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）

变式2、线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ） A 、8 cm B 、4 cm C 、8cm 或4cm D 、无法确定

7、已知A 、B 、C 三点共线，线段AB =60，M 为其中点，线段BC =28，N 为其中点，求MN 的长。(2)如果设AB=a ，BC=b ，表示出MN 的长

（三）整体代入法

1、()1998

1....3121)(19991....211()19981....211)(19991....3121++++++-+++++

变式1、已知代数式x ＋2y 的值是3，则代数式2x ＋4y ＋1的值是 （ ） 变式2、．当代数式235x x ++的值为7时，代数式2392x x +-的值是_______． 变式3、已知,5,222=+=+xy y xy x 则222y xy x ++的值为（ ）