年兰州一中实验班招生数学试题
甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题
一、单选题二、多选题1. 某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（ ）A．B．C．D．2. 已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（ ）A ．2B ．1C．D．3. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．4.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（ ）A．B．C．D．5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，其图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A．B．C．D．6. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．7.若函数在R 上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．9.为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）A．的最大值为B ．的最大值为C．的轨迹是D ．的轨迹是10.已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）A ．存在切点使得为直角B ．直线过定点C ．的取值范围是D ．面积的取值范围是11. 已知平面向量，是两个夹角为的单位向量，且与垂直，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则与方向相同的单位向量是B．若，则在上的投影向量是C ．若，则与方向相同的单位向量是甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题三、填空题四、解答题D ．若，则与的夹角的余弦值为12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（ ）A ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高13. 椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是______．14. 在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为______．15. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．16. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ，求X 的分布列及；(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．17.在中，．(1)若，求；(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积条件①：；条件②：18.如图，在梯形中，，，，，．（1）求的长；（2）求的值．19.设内角所对边分别为，已知，．(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，且，求的面积．20.已知函数，其中．(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．21. 如图，在三棱柱中，平面平面，，.(1)求证：；(2)若，，，求点C到平面的距离.。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二上学期10月期中考试数学试卷(PDF版)
兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)2.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.2B.3C.823D.8333.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A.x2 9＋y216＝1 B.x23＋y24＝1 C.x218＋y232＝1 D.x24＋y236＝14.等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()A．160B．180C．200D．2205.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶36．已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2023条弦的长度组成一个等差数列{a n}，最短弦长为a1，最长弦长为a2023，则其公差为()A.1 2022B.11011C.31011D.15057.设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN |的最小值、最大值分别为()A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,128.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0.则椭圆离心率e 的取值范围为()，22D.22，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省兰州市兰州第一中学《等差数列》单元测试题 百度文库
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．302．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．03．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．144．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -B ．nC ．21n -D ．2n5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161C ．141D ．1519．题目文件丢失！10．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 11．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6412．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．53B ．2C ．8D ．1313．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．10015．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．616．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．917．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<18．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <20．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．16二、多选题21．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6522．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 24．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值25．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥27．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+29．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列B ．数列{}n na 是递增数列C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 2．A 【分析】 转化条件为122527n n a an n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 3．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩， 所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=， 故选：B. 5．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B9．无10．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 11．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 12．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 14．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 15．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 16．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 17．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 18．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈，22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 19．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 20．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C二、多选题21．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 22．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 23．AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 24．ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 25．AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD. 26．BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 27．BCD 【分析】 根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 28．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期开学阶段检测数学试题(解析版)
兰州一中2024-2025-1学期阶段检测试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数z 满足2i1z =-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先计算得出z ，再求其共轭复数即可.【详解】由题知212i iz -==-，所以12z i =+，则12i z =-，对应的点为()1,2-，位于第四象限.故选：D ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点()200020,a a 在直线20x y +-=上，则2019S =（）A.2019B.2020C.4038D.4040【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的性质求解，根据20002012019a a a a +=+可求答案.【详解】因为点()200020,a a 在直线20x y +-=上，所以2000202a a +=；因为等差数列{}n a 满足20002012019a a a a +=+，所以120192019201920192a a S +=⨯=.故选：A.3.如图，l αβ= ，,A B α∈，C β∈，且C l ∉，直线AB l M ⋂=，过,,A B C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（）A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M【答案】D 【解析】【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项.【详解】∵直线AB l M ⋂=，过,,A B C 三点的平面记作γ，MC βγ∴= ∴γ与β的交线必通过点C 和点M ，故选：D ．4.若函数2ππ()2sin 2146f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论不正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为π2B.函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.函数()f x 图象关于π12x =-对称 D.函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】A 【解析】【分析】先根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，然后根据三角函数的性质进行判断.【详解】根据二倍角公式和诱导公式，2ππ2sin 1cos 2sin 242x x x ⎛⎫⎛⎫--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是π13π()2sin 2sin 22sin 26223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A 选项，根据三角函数周期公式，2ππ2T ==，A 选项错误；B 选项，令πππ22π,2π,322x k k k ⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得π5ππ,π,1212x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，0k =时可得()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 选项正确；C 选项，令ππ2π,32x k k -=+∈Z ，解得π5π,212k x k =+∈Z ，1k =-时可得()f x 图象关于π12x =-对称，C 选项正确；D 选项，π2π,3x k k -=∈Z ，解得ππ,26k x k =+∈Z ，为对称中心的横坐标，令ππ2π263k x =+=，解得1k =，故()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确.故选：A5.已知一组正数1234,,,x x x x 的方差为()2222212341164S x x x x =+++-，则数据12343,3,3,3x x x x ++++的平均数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】根据方差的计算公式可得到数据1234,,,x x x x 的平均数x ，再根据平均数的计算公式即可得到数据12343,3,3,3x x x x ++++的平均数．【详解】由方差的计算公式可得()222222222112123411164n S x x x x x x x x n ⎡⎤=++⋯+-=+++-⎣⎦，可得平均数12x =，对于数据12343,3,3,x x x x ++++有2235x =+=．故选：C ．6.已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A 表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B 表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C 表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D 表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（）A.A 与C 相互独立B.A 与B 是互斥事件C.C 与D 是对立事件D.B 与D 相互独立【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义判断即可.【详解】由题意可得基本事件总数为4416⨯=，设()()()(){}3,2,3,3,3,4,3,5A =，()()()()()()()(){}=1,2,2,2,3,2,4,2,1,4,2,4,3,4,4,4B ，()()(){}=2,5,3,4,4,3C ，()()()()()()()(){}=1,3,1,5,3,3,3,5,2,2,2,4,4,2,4,4D ，由题意可得A 与B 可以同时发生，故不是互斥事件，故B 错误；易知C 与D 不同时发生，即C 与D 为互斥事件，但不是对立事件，比如当()2,3发生时C 与D 均不发生，故C 错误.又()()()()()()113111,,,,,42162164P A P B P C P D P AC P BD ======，则()()()PAC P A P C ≠，()()()P BD P B P D =，从而A 与C 不相互独立，B 与D 相互独立，故A 错误，D 正确.故选：D7.在侧棱长为的正三棱锥S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为（）A. B.4C.6D.10【答案】C 【解析】【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接AG 交SB 、SC 于点E 、F ，则侧面展开图中线段AG 的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得.【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF 的周长最小，连接AG 交SB 、SC 于点E 、F ，则侧面展开图中线段AG 的长度即为截面的最小周长，因为侧棱长为的正三棱锥S ABC -，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，所以120ASG ∠= ，由余弦定理可得2222cos120AG SA SG SA SG =+-⋅((2212362⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭，6AG ∴=，所以截面的最小周长为6.故选：C.8.已知12,e e 是单位向量，且12,e e 的夹角为θ，若121()2e te t +≥∈R ，则θ的取值范围为（）A.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】由向量模与夹角的公式得1sin 2θ≥，进而结合向量的夹角范围求解即可.【详解】因为12,e e 是单位向量，且12,e e的夹角为θ，所以1211cos cos e e θθ⋅=⨯⨯=，又1212e te +≥，所以22222222121122122cos 1(cos )sin sin 4e te e te e t e t t t θθθθ+=+⋅+=+⋅+=++≥≥，又[0,π]θ∈，所以1sin 2θ≥，所以π5π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：C.二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题错误的是（）A.若//,//m αβα，则//m βB.若//,m n m α⊂，则n 平行于α内的无数条直线C.若,m m n α⊥⊥，则//n αD.若,m αβα⊥⊥，则//m β【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面位置关系、判定定理及性质即可判断.【详解】对于A ，因为//,//m αβα，所以m β⊂或//m β，故A 错误；对于B ，因为//,m n m α⊂，所以//n α或n ⊂α，所以n 平行于α内的无数条直线，故B 正确；对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ⊂α或//n α，故C 错误；对于D ，若,m αβα⊥⊥，则m β⊂或//m β，故D 错误.故选：ACD.10.下列说法正确的有（）A.在ABC V 中，sin sin sin +=+a b cA B CB.在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则a b =C.若222a b c +<，则ABC V 一定是钝角三角形D.若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC V 有两个【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理边角化即可求解；对于B,根据诱导公式及三角形的性质即可求解；对于C ，利用余弦定理的推理即可求解；对于D ，利用余弦定理即可求解.【详解】对于A ，由正弦定理，得2sin 2sin 2sin 2,2sin sin sin sin sin sin a R A b c R B R CR R A A B C B C++====++,所以sin sin sin +=+a b cA B C，故A 正确；对于B ，在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，而()(),0,π,0,π,A B A B ∈+∈则22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，故a b =或222a b c +=，故B 错误；对于C ，若222a b c +<，则222cos 02a b c C ab+-=<，而0πC <<,所以C 为钝角，即ABC V 为钝角三角形，故C 正确；对于D ，由余弦定理得b ==,有唯一解,故D 错误.故选：AC11.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB ，AFD △和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则下列结论中正确的是（）A.PA EF⊥B.三棱锥P AEF -外接球的表面积为18πC.三棱锥M AEF -的体积为43D.过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的最小值为π【答案】ACD 【解析】【详解】根据线面垂直可判断A ；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B ；求得三棱锥P AEF -外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C ；将三棱锥P AEF -补成长方体，确定最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D.【分析】对于A ：由题意知,,,,AP PE AP PF PE PF P PE PF ⊥⊥=⊂ 平面PEF ，所以AP ⊥平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，所以PA EF ⊥，故A 正确；对于B ：因为,,PA PE PF 两两垂直，故三棱锥P AEF -的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径4222R ==，故外接球表面积24π24πS R ==，故B 错误；对于C ：4,2,PA PE PF PE PF ===⊥，因为M 为BE 的中点，所以111114224222323M AEF P AEF A PEF V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；对于D ：将三棱锥P AEF -补成如图所示长方体，4,2PA PE PF ===，设长方体外接球球心为O ，即为三棱锥P AEF -的外接球球心过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，OM ==此时截面圆半径为1,r ===此时截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的最小值为π，故D 正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，则它的通项公式n a =______．【答案】3,122,2n n n =⎧⎨+≥⎩．【解析】【分析】由n a 与n S 的关系，化简可得所求通项公式．【详解】由231n S n n =+-，可得1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()22131131122n n n a S S n n n n n -=-=+-----+=+．此时，当1,n =143,a =≠综上，可得3,122,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．故答案为：3,122,2n n n =⎧⎨+≥⎩．13.已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为23π3，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．【答案】2【解析】【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条件列方程求母线长.【详解】设圆台的母线长为l ，高为h ，则()22221h l +-=，因为圆台上、下底面的半径分别为1和2，所以圆台的侧面积()1π123πS l l =+=，轴截面面积()22432S h h +=⨯=，由已知3π23π33l h =，化简得32h l =，所以22314l l +=解得2l =．故答案为：2.14.如图，在△ABC 中，8,10,6AB BC AC ===，DB ⊥平面ABC ，且////AE FC BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．【答案】96【解析】【分析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使8AA BB CC '=='='，再由柱体的体积公式计算即可得出答案.【详解】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使8AA BB CC '=='='，所以V 几何体＝12V 三棱柱112489622ABC S AA =⋅⋅=⨯⨯=' .故答案为：96.四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC ∆的面积，且2223()4S a b c =--．（I ）求角A 的大小；（II ）若a =b c >，D 为BC 的中点，且AD =，求sin C 的值．【答案】（I ）23A π=；（II ）2114．【解析】【分析】（I ）利用正余弦定理及面积公式，代入对应公式得1sin (2)24bc A bccosA =-，解得tan A =，23A π=（II ）D 为BC 的中点，利用向量222222cos 4312AB AC AD b c bc A b c bc +=⇒++=⨯⇒+-=，再根据余弦定理得22222cos 2828b c bc A b c bc +-=⇒++=，解得4b =，2c =，最后根据正弦定理可得解.32·sin 212sin 14c A C a ===【详解】（I ）由已知得22213sin ()24bc A a b c =--，∴sin A =即sin A A =.∴tan A =.又∵(0,)A π∈，23A π=，（II ）由cos cos ADB ADC ∠=-∠得：2222222·2·AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-=-，又∵D 为BC 的中点，∴BD DC ==AD =，∴2220AB AC +=，即2220b c +=.又∵222821cos 232b c bc π+-==-，∴8bc =.又∵b c >，∴4b =，2c =，∴32·sin 2sin 14c A C a ===.16.黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求x 的值；（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[)[)50,60,60,70的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.【答案】（1）0.03x =（2）83.33（3）815【解析】【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；（2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；（3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.【小问1详解】由图知：()100.0050.010.0150.041x ⨯++++=，可得0.03x =.【小问2详解】由()()100.0050.010.0150.30.4100.0050.010.0150.030.6⨯++=<<⨯+++=，所以40%分位数在区间80,90内，令其为m ，则()0.30.03800.4m +⨯-=，解得108083.333m =+≈.所以满意度评分的40%分位数为83.33.【小问3详解】因为评分在[)[)50,60,60,70的频率分别为0.05,0.1，则在50,60中抽取0.05620.050.1⨯=+人，设为,a b ；在60,70中抽取0.1640.050.1⨯=+人，设为,,,C D E F ；从这6人中随机抽取2人，则有：{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,a b a C a D a E a F b C b D b E b F ，{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,C D C E C F D E D F E F ，共有15个基本事件，设选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人为事件A ，则有{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a C a D a E a F b C b D b E b F ，共有8个基本事件，所以()815P A =.17.已知数列{}n a 满足132,8a a ==，且()112,2n n n a a a n n -++=+∈≥N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于m +∀∈N ，将数列{}n a 中落在区间()23,3m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）31n a n =-（2）21133m m m b --=-【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）通过解不等式进行求解即可.【小问1详解】当2n ≥时，{}11,n n n n n a a a a a +--=-∴为等差数列，设公差为d .()3162,3,23131n a a d d a n n -==∴=∴=+-=- .【小问2详解】由（1）得23313m m n <-<，121113333m m n --∴+<<+，131m n -∴=+，132m -+，133m -+，…，213m -，21133m m m b --∴=-.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为正方形，面11AA C C 为菱形，160CAA ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11ABB A .（1）求证：1AC ⊥平面11CA B ；（2）求二面角1C BB A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）277【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.（2）过C 作1CH AA ⊥于H ，过H 作1HK BB ⊥于K ，连接CK ，利用线面垂直的性质定理得出CKH ∠为二面角1C BB A --的平面角，在Rt CHK △中直接求解即可.【小问1详解】由菱形11AA C C 可得11AC A C ⊥，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，平面11AA C C 平面111ABB A AA =，又正方形11ABB A 中111A B AA ⊥，11A B ⊥平面11AA C C ，又1AC ⊂平面11AA C C，111A B AC ⊥，1111= A B A C A ，111,A B A C ⊂平面11CA B，1AC ⊥平面11CA B .【小问2详解】过C 作1CH AA ⊥于H ，则CH ⊥平面11ABB A .过H 作1HK BB ⊥于K ，连接CK ，因1BB ⊂平面11ABB A ，则1CH BB ⊥，又,CH HK ⊂平面CHK ，CH HK H = ，故1BB ⊥平面CHK ，又CK ⊂平面CHK ，所以1BB CK ⊥，故CKH ∠为二面角1C BB A --的平面角，在Rt CHK △中，设AC a =，1AA AB a ==，160CAA ∠=︒，2CH =，HK AB a ==，72CK ==，27cos 772CKH ∴∠=.即二面角1C BB A --的余弦值为7.19.已知数列{}n a 具有性质A ：()i j a a i j ∀≤,，都k a ∃，使得k i j a a a =.（1）分别判断以下两个数列是否满足性质A ，并说明理由；（ⅰ）有穷数列{}n a ：21(1,2,3)n a n n =-=；（ⅱ）无穷数列{}n b ：12(1,2,3,)n n b n -== ；（2）若有穷数列{}n a 满足性质A ，且各项互不相等，求项数n 的最大值.【答案】（1）（ⅰ）有穷数列{}n a 不满足性质A ，理由见详解；（ⅱ）无穷数列{}n b 满足性质A ，理由见详解（2）3【解析】【分析】（1）（ⅰ）（ⅱ）根据性质A 的定义直接分析判断即可；（2）先取有穷数列{}:1,0,1n a -，检验可知有穷数列{}n a 满足性质A ，再利用反证法证明其不不存在其他项，即可得结果.【小问1详解】（ⅰ）有穷数列{}n a ：21(1,2,3)n a n n =-=，则1231,3,5a a a ===，例如取2,3i j ==，不存在k a ，使得2315k a a a ==，所以有穷数列{}n a 不满足性质A ；（ⅱ）无穷数列{}n b ：12(1,2,3,)n n b n -== ，对任意*,,i j i j ≤∈N ，则()111122222i j i j i j i j a a +----+-=⋅==，可知*1i j +-∈N ，则存在1k i j =+-，使得k i j a a a =，所以无穷数列{}n b 满足性质A .【小问2详解】因为有穷数列{}n a 各项互不相等，若b ∈R 满足题意，可知2b 是数列{}n a 中的项，取2b b =，解得0b =或1b =，即0,1可能符合题意，若1b =，则()211-=，即1-也可能符合题意，对于有穷数列{}:1,0,1n a -，检验可知有穷数列{}n a 满足性质A ，假设有穷数列{}n a 还有其他项41,0,1a a =≠-，满足性质A ，取4i j ==，则存在1k ，使得12241,0,1,k a a a a ==≠-；取14,i j k ==，则存在2k ，使得213241,0,1,,k k a a a a a a ==≠-；⋅⋅⋅；依此类推，可得到1n n k a a -=，此时数列{}n a 不是有穷数列，与题干相矛盾，即假设不成立，可知数列{}n a 不存在其他项，所以项数n 的最大值为3.。
高一数学实验班入学试卷(含答案)
A ．B ．C ．D ．高一数学实验班入学测试试卷姓名：计分：一、选择题（每题5分，共50分）1.设方程032=++ax x 的解集合为A ，若A ∈1，则a 的值为（ ） A. 4- B. 1 C. 3 D. 2-2.设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（ ） A ．1 B ．1-C ．2 D.2-3.},14|{},,12|{Z n n x x B Z n n x x A ∈±==∈+==，则下列关系式成立的是（ ）A ．B A = B ．A B ⊂C ．A B ⊃D ．AB φ=4.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( )A.{}2,3B.{}1,4,5C.{}4,5D.{}1,55.函数1122---=x x y 的定义域是 （ ）A.}11|{≤≤-x xB.}11|{≥-≤x x x 或C.}10|{≤≤x xD.}1,1{-6.下列函数中值域是),0(∞+的是（ ）A.1032+-=x x y B.()012>+=x x y C.12++=x x yD.21xy =7. 下列表示同一函数的是（ ）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B.xx x g x x f 2)(,)(==C.0)(,1)(x x g x f ==D.(),()f x x g x ==8.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）9. 函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞10. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[7,3]--上是（ ） A.增函数且最小值为5- B.增函数且最大值为5-C.减函数且最小值为5-D.减函数且最大值为5-二、填空题（每题5分，共20分）11.设集合},2,1{2x A =，若A ∈3，则=x ；12.若221(1)1x f x x --=+，则=)0(f.13.设A={015|2=+-px x x }，B={}05|2=+-q x x x ，若A B={5}，则A B= .14.函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围 .三、解答题（共30分）15.（满分10分）设A={ 04|2=+x x x }，B={ 01)1(2|22=-+++a x a x x }. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若AB B =，求a 的值。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15- B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD Ð=（ ）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC Ð=Ð，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC Ð=°，∴50BOD AOC Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5 D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a --()55a a a -=-a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1Ð=（ ）A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，∴3601=458°Ð=°，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键．5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，则»=AB （ ）A. 20cmp B. 10cm p C. 5cm p D. 2cmp 【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，∴»902010180AB p p ´==，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c D =-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=´年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B 、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C 、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D 、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M，的N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO Ð=°，则AOC Ð=（ ）A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO Ð=Ð=°，可得23570AOB Ð=´°=°，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC Ð=Ð=°．【详解】解：∵35MNO Ð=°，MO NO =，∴35NMO MNO Ð=Ð=°，∴23570AOB Ð=´°=°，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC Ð=Ð=°，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC Ð=Ð=°，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ===，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．【答案】()()55x y x y +-【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-．故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ^于点E ，若70C Ð=°，则BAE Ð=______°．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，由AB CD ∥，可得40ABE BDC Ð=Ð=°，结合AE BD ^，可得904050BAE Ð=°-°=°．【详解】解：∵BD CD =，70C Ð=°，∴70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC Ð=Ð=°，∵AE BD ^，∴904050BAE Ð=°-°=°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9∴OA =3OD ==即a =，3b =∴3b a -=故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．【答案】23x y-【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+ìï+í>-ïî．【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x ->+ìïí+>-ïî①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ^轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+； （2）142BC =．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-´=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-´-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；小问2详解】解：∵1OD =，【∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C æöç÷èø，，∴()114422BC =--=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB Ð的平分线．请写出OE 平分AOB Ð的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE V 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB Ð的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB Ð的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE V V ≌，可得AOE BOE Ð=Ð，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN V V ≌，可得AOC BOC Ð=Ð，可得OC 是AOB Ð的角平分线；（3）先作BAC Ð的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE V V ≌，∴AOE BOE Ð=Ð，∴OE 是AOB Ð的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN V V ≌，∴AOC BOC Ð=Ð，∴OC 是AOB Ð的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC Ð=°、53BAD Ð=°，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ^．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62°»，cos380.79°»，tan 380.78°»，sin 530.80°»，cos530.60°»，tan 53 1.33°»）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC Ð=°，∴()tan 380.781814.04m BC AB =°»´=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD Ð=°，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =°»´=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y =，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ì-=ïï=íï++=ïî，解得1210a b c =-ìï=íï=î，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；【小问2详解】解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析 （2）EG =【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC Ð=Ð=Ð=°，1302OCF DCF OCD Ð=Ð=Ð=°，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO Ð=Ð=Ð=°，∴EOD △是等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】【解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF Ð=°，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF V 中，9030GDF ODC Ð=°-Ð=°，∴tan 302GF DF =°==，∴EG EF GF =-=．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x £<；C ． 1520x £<；D ． 2025x £<；E ． 2530x £<；F ． 30x £）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x £<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y £< 6.87.6y £<7.68.4y £<8.49.2y £<9.2y£人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m =-----=；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y £<这一组，∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；的学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；故答案为：②③【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540´=（人）．【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径， BCBD =，DE AC ^于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F Ð=Ð，连接BD ．（1）求证：BF 是O e 的切线；（2）判断DGB V 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）DGB V 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，根据已知得出F BAC Ð=Ð，根据DEAC ^得出90AEG Ð=°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG Ð=Ð=°，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC =，则ABD ABC Ð=Ð，证明EF BC ∥，得出AGE ABC Ð=Ð，等量代换得出FGB ABD Ð=Ð，即可得出结论；（3）根据FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，∵2BOD F Ð=Ð，∴F BAC Ð=Ð，∵DEAC ^，∴90AEG Ð=°，∵AGE FGB Ð=Ð∴90FBG AEG Ð=Ð=°，即AB BF ^，又AB 是O e 的直径，∴BF 是O e 的切线；【小问2详解】∵ BCBD =，AB 是O e 的直径，∴ AD AC =，BC AC ^，∴ABD ABC Ð=Ð，∵DEAC ^，BC AC ^，∵EF BC ∥，∴AGE ABC Ð=Ð，又AGE FGB Ð=Ð，∴FGB ABD Ð=Ð，∴DGB V 是等腰三角形，【小问3详解】∵FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，T æççè两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ^轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC 点P 是ABC V 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -££或35b ££【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF ^于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO Ð=°，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，得出1,2C a a æöç÷èø，根据=OC（3）由正方形的边长为1，即可求出P 到EF ，从而可得P 既在正方形的边上，也在到EF的直线上，当1b £时，EF 向上平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值；当1b >时，EF 向下平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值，即可求出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF ^于点Q ，∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时，∴2PQ =，∵()1,0G -，T æççè，∴1OG TO ==，，∵tan TGO Ð==，∴30TGO Ð=°，∴24GP PQ ==，∴()3,0P ；【小问2详解】解：当P 到x 轴距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，∵ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，∴BD DC =12a =，∴1,2C a a æöç÷èø，∵=OC ∴22152a a æö+=ç÷èø，解得：2a =或2-（舍去），∴等边三角形ABC 的边长为2；【小问3详解】解：由题意知，正方形ABCD 的边长为1，所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为=即正方形ABCD 上始终存在点P ，P 到EF.则EF 向上或者向下平移2个单位长度得到直线1l ∵1l 与EF，的∴P 既在1l 上，又在正方形ABCD 的边上，∴1l 与正方形ABCD 有交点.当1b £时，1l 为2y x b =-++，当1l 过A 时，012b =-++，即1b =-,当1l 过C 时，122b =-++，即1b =;∴11b -££；当1b >时，1l 为2y x b =-+-，当1l 过A 时，012b =-+-，即3b =,当1l 过C 时，122b =-+-，即5b =;∴35b ££；综上，当11b -££或35b ££时，正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，GD DF ^，AG DG ^，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ^交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；【解析】【分析】（1）证明ADG CDF V V ≌，可得AD CD =，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，证明ADG CDF V V ≌，DG DF =，AG CF =，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF =，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC Ð=Ð=°，AC AB=，45BAC Ð=°，AHE CBE V V ∽，可得AE HE CE BE=，再证明HEB AEC V V ∽，可得HBE MCA Ð=Ð，证明AHB AMC V V ∽，可得HB AB MC AC ==【详解】解：（1）∵GD DF ^，DF CE ^，AG DG ^，∴90G DFC Ð=Ð=°，90ADG ADF Ð+Ð=°，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF Ð=°=Ð+Ð，∴ADG CDF Ð=Ð，∵AG CF =，∴ADG CDF V V ≌，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ^，AH CE ⊥，GD DF ^，∴90DFH H GDF Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，∵正方形ABCD ，∴AD CD =，∴ADG CDF V V ≌，∴DG DF =，AG CF =，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC Ð=Ð=°，ACAB =，45BAC Ð=°，∵AEH CEB Ð=Ð，∴AHE CBE V V ∽，∴AE HECE BE =，∵BEH AEC Ð=Ð，∴HEB AEC V V ∽，∴HBE MCA Ð=Ð，∵,AH CE AH HM ^=，∴45HAM BAC Ð=°=Ð，∴HAE MAC Ð=Ð，∴AHB AMC V V ∽，∴HB AB MC AC ==。
甘肃省兰州市第一中学等差数列单元测试题含答案 百度文库
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．1002．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．144．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝26．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6757．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11128．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24011．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2213．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+14．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202115．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2116．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列23．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为825．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=27．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+29．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 2．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 3．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.{a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=， 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=， 所以62612a =⨯=. 故选：C 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 5．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 6．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A.易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.7．C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 8．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．B 【分析】由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 12．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅， 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=， 所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 13．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 14．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B 15．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 22．ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】 当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC 23．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 24．BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD. 25．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 26．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 28．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212nn n S n +-==故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(PDF版,含解析)
兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 1 页 共 4 页兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A ．B ．C ．y =|x |D ．3．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知，，且，则的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．86．函数的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．7．，对于，，都有成立，求的取值范围（）A ．B ．C ．D ．8．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（）A．B ．C．D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．下列各组函数表示相同函数的是（）A．，B．，C．，D．，10．下列说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为1C．的最大值为3 D．最小值为11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 2 页共 4 页兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 3 页共 4 页12．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（）A．B．C．，D．，不等式的解集为第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数，则 .14．已知，则的解析式为．15．函数在上的值域是 .16．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．兰州一中高一年级期中考试数学试卷 第 4 页 共 4 页18．（12分）已知二次函数的图象过点，.(1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域.19．（12分）已知二次函数，(1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求．20．（12分）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.21．（12分）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.(1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式.22．（12分）已知函数，．(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；(2)当 时，求函数的单调区间； (3)求函数 的最小值．兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 1 页 共 8 页兰州一中2023-2024-1高一期中考试答案1． C【详解】解：因为集合，所以．故选： C. 2．D 【详解】，都是奇函数，排除A ，B.，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D ． 3．C 【详解】由，则，解得且，即函数的定义域为，故选：C. 4．A【详解】对于不等式，可解得或， 所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 5．C 【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C 6．B兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 2 页 共 8 页【详解】由函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B 选项.故选：B. 7．C【详解】因为定义在上的函数满足对，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. 8．A【详解】解： 为定义在上的偶函数，在上为增函数，在上为单调递减， ， ，，即 ，解得：，所以实数 的取值范围为： ．故选：A. 9．CD【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数； 选项C ，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD 10．BC兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 3 页 共 8 页【详解】对于A ，当时，，故选项A 错误； 对于B ，因为，即的最小值为1，故选项B 正确；对于C ，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为3，故选项C 正确；对于D ，因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即不成立，故等号不成立，所以最小值不为，故选项D 错误.故选：BC ． 11．ABD 【详解】由得，故正确； 当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．12．AC【详解】A. 因为，，所以，正确； B.，，所以，错误；C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以； 时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 4 页 共 8 页D. 由C 得 ，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D 错误.故选：AC. 13．9【详解】解：根据题意，故答案为：9 14． 【详解】令，则，∴，故答案为：．15．【详解】解：当时，函数在上是增函数，故当时，函数取得最小值为1， 又，故函数的值域为，故答案为：．16． 【详解】因为，故，所以，当且仅当，即时等号成立，即有，所以，即a 的最小值为，故答案为： 17．（1）递增区间是，，图像见解析（2）兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 5 页 共 8 页【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R 上的偶函数,所以,所以时,,故的解析式为, 由图像可得值域为.18．(1)；(2)【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得，故函数解析式为.（2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而，故函数在上的值域为.19．(1) (2)或.【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，则恒成立，由于的任意性，则； 当时，定义域为，且，所以.兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案 第 6 页 共 8 页（2）因为，当，即时，在上单调递减，所以，解得，满足要求；当，即时， 则，解得或（舍去）；当，即时，在上单调递增，所以，解得，不满足要求；综上，或.20．(1)4米，28800元 (2)【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.21．(1)增函数，证明见解析； (2)【详解】（1）在上为增函数， 证明如下：任取且，则，则.又因为当时，，而，所以，所以，所以在上为增函数.（2）由定义域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可转化为.由在上为增函数可得，解得，则不等式解集为.22．(1)见解析(2)单调递增区间是，单调递减区间是(3)【详解】（1）显然函数的定义域为R，当时，，此时函数为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）因为，所以①当时，时，函数的最小值为，时，函数在上单调递减，，而，所以函数的最小值为．②当时，时，函数的最小值为，时，函数的最小值为，而，所以函数的最小值为．③当时，函数的最小值为．综上所述，．。
2022年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2022年甘肃省兰州市中考数学真题一、选择题1. 的结果是（ ）A. ±2B. 2C. D.【答案】B 【解析】表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】4的算术平方根是2=2，故选B ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，比较基础，正确把握算术平方根的定义是解题的关键．2. 如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）A. 52°B. 45°C. 38°D. 26°【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC =52°，根据垂直定义可得∠ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【详解】解：∵a ∥b ，∴∠1=∠ABC =52°，∵AC ⊥b ，∴∠ACB =90°，∴∠2=90°-∠ABC =38°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．【详解】解：A ．不能沿一条直线折叠完全重合；B ．不能沿一条直线折叠完全重合；C ．不能沿一条直线折叠完全重合；D ．能够沿一条直线折叠完全重合；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．4. 计算：()22x y +=（ ）A. 2244x xy y ++ B. 2224x xy y ++ C. 2242x xy y ++ D. 224x x +【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式展开即可．【详解】解：原式=2244x xy y ++故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5. 如图，ABC V 内接于O e ，CD 是O e 的直径，40ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】C 【解析】【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD ＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD 与∠D 互余，即可求得∠D 的度数，继而求得∠B 的度数．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD ＝90°，∴∠ACD +∠D ＝90°，∵∠ACD ＝40°，∴∠ADC ＝∠B ＝50°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．6. 若一次函数21y x =+的图象经过点()13,y -，()24,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A. 12y y < B. 12y y > C. 12y y ≤ D. 12y y ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y =2x +1中，k =2＞0，∴y 随着x 的增大而增大．∵点（-3，y 1）和（4，y 2）是一次函数y =2x +1图象上的两个点，-3＜4，∴y 1＜y 2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．7. 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个相等的实数根，则k =（ ）A. -2 B. -1C. 0D. 1【答案】B 【解析】【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，据此可列出关于k 的等量关系式，即可求得k 的值．【详解】∵原方程有两个相等的实数根，∴△＝b 2−4ac ＝4−4×（−k ）＝0，且k ≠0；解得1k =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8. 已知ABC DEF ∽△△，12AB DE =，若2BC =，则EF =（ ）A. 4 B. 6C. 8D. 16【答案】A 【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到AB BCDE EF=，代入求解即可．【详解】解：∵ABC DEF ∽△△，∴12AB BC DE EF ==，即212EF =，解得4EF =．故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是：25．故选：B ．【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法．10. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接OE ，60ABC ∠=︒，BD =，则OE =（ ）A. 4B. C. 2【答案】C 【解析】【分析】根据菱形性质得出AB AD DC BC ===，AC BD ⊥，再由AOD △直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出12OE AD =．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出4=AD ，进而求出2OE =．【详解】ABCD Q Y 是菱形，E 为AD 的中点，AB AD DC BC ∴===，AC BD ⊥．∴AOD △是直角三角形，12OE AD =．60ABC ∠=︒Q，BD =，113022ADO ADC ABC ∴∠=∠=∠=︒，1122OD BD ==⨯=．22214AD AD OD -=Q ，即23124AD =，4AD ∴=，114222OE AD ==⨯=．故选：C．的【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出12OE AD =并求得4=AD ．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．11. 已知二次函数2245y x x =-+，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ）A. 1x < B. 1x > C. 2x < D. 2x >【答案】B 【解析】【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵()22245213y x x x =-+=-+∵开口向上，对称轴为x =1，∴x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（ ）A. 24.25m πB. 23.25m πC. 23m πD. 22.25m π【答案】D 【解析】分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可．【详解】解：S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC=22120120360360OA OB ππ⋅⋅-【=()22120360OA OB π-=()223 1.53π-=2.25π（m 2）故选：D ．【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题13. 因式分解：216a -=___________．【答案】(4)(4)a a +-【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得．【详解】解：原式224a =-，(4)(4)a a =+-，故答案为：(4)(4)a a +-．14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．【答案】()4,1-【解析】【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【详解】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是 ()4,1-．故答案为：()4,1-．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在BC 边上，将CDE △沿DE 翻折得到FDE V ，点F 落在AE 上．若3cm CE =，2AF EF =，则AB =______cm ．【答案】【解析】【分析】由将△CDE 沿DE 翻折得到△FDE ，点F 落在AE 上，可得EF =CE =3cm ，CD =DF ，∠DEC =∠DEF ，由矩形的性质得∠DFE =∠C =90°=∠DFA ，从而得AF =6cm ，AD =AE =9cm ，进而由勾股定理既可以求解。
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．82．函数2228(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若关于x 的不等式24x x m -≥对任意[]0,1x ∈恒成立,则实数m 的取值范围是A ．3m ≤-B ．3m ≥-C ．30m -≤≤D ．3m ≤-或0m ≥4．下列函数中，在区间()0,1上是增函数且是偶函数的是（）A ．y x=B ．3y x=-C ．1y x=D ．24y x =-+5．下列哪一组函数相等（）A ．()f x x =与()2x g x x=B ．()2f x x =与()4g x =C ．()f x x =与()2g x =D ．()2f x x =与()g x =6．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A ．sin 2y x=B ．cos 2y x=C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．函数2sin 1y x =--，713π,π66x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭的值域是（）A ．[]3,1-B ．[]2,1-C ．(]3,1-D ．(]2,1-8．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(),5-∞C ．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题9．（多选题）下列命题中的真命题是（）A ．1R,20x x -∀∈>B ．()2N ,10x x *∀∈->C ．00R,lg 1x x ∃∈<D ．00R,tan 2x x ∃∈=10．下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -11．设函数2()1f x mx mx =--.对于任意[]1,3,()5m f x m ∈<-+恒成立，则实数x 的取值范围不正确的是（）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B．11,,22∞∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D．⎝⎭12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．122a b->B≤C ．22log log 2a b +≥-D ．2212a b +≥三、填空题13．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是______________________.14．一个扇形的面积是21cm ，它的周长是4cm ，则圆心角为弧度．15．设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______________.16．已知函数()2-=x f x ，给出下列命题：①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎝⎭，其中所有正确命题的序号是．四、解答题17．已知集合{}44A x a x a =-<<+，{5B xx =>∣或1}x <-．（1）若1a =，求A B ⋂；（2）若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围．18．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值；(2)若(1)2f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．19．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t (单位：天)的函数，且销售量满足()f t =60, 160,1150, 61100,2t t t N t t t N +≤≤∈⎧⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩，价格满足()200(1100,)g t t t t N =-≤≤∈．（1）求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；（2）若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？20．已知二次函数()f x 的图象经过点(4,4)-，方程()0f x =的解集为{0,2}．(1)求()f x 的解析式；(2)是否存在实数,()m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和[2,2]m n ？若存在，求出, m n 的值；若不存在，说明理由．21．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值.22．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的对称中心的坐标；（3）求函数()f x 在的区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.。
甘肃省兰州市兰州第一中学《等差数列》单元测试题 百度文库
一、等差数列选择题1．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ）A ．7B ．10C ．13D ．162．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72B ．90C ．36D ．453．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米5．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160B ．180C ．200D ．2207．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．358．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．711．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7212．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-13．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．214．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n15．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4B ．6C ．7D ．816．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．617．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5618．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7219．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202120．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．6227二、多选题21．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列23．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54 C ．S 2020＝a 2022－1 D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202226．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <28．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <29．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项30．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 2．B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 4．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 5．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 6．B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=，再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=， 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选：B 7．D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 8．B 【分析】设公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，56S S ≥，得2d ≤-，由前n 项和公式，得728S ≤，同时可得n S 的最大值，2d =-，5n =或6n =时取得，结合递减数列判断D ． 【详解】设公差为d ，由已知110a =，56S S ≥，得5101061015d d ⨯+≥⨯+，所以2d ≤-，A 正确；所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=，B 错误；1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥，解得101n d≤-+，11100n a a nd nd +=+=+≤，解得10n d≥-，所以10101n d d-≤≤-+，当2d =-时，56n ≤≤， 当5n =时，有最大值，此时51010(2)30M =⨯+⨯-=，当6n =时，有最大值，此时61015(2)30M =⨯+⨯-=，C 正确． 又该数列为递减数列，所以20192020a a >，D 正确． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键．等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得．9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 11．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 12．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 13．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=， 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 14．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 15．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 16．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 17．B【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 18．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 19．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B 20．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D二、多选题21．ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可. 22．ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】 当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误； 故选：ABC 23．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 24．AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 25．BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 26．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 27．AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 28．BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型. 29．ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 30．AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.。
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷一、单选题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．83．不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．105．以下函数在R 上是减函数的是（）A ．2y x =-B ．12log y x=C ．1y x=D ．1()2xy =6．2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用1S ，2S 分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A ．B ．C ．D ．8．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（）A ．1665B ．5665C ．865D ．47659．已知当x ∈(1，+∞)时，函数y =x α的图象恒在直线y =x 的下方，则α的取值范围是（）A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1二、多选题10．21x ≤的一个充分不必要条件是（）A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤11．已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是（）A ．a b++B ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C 22≥D ．2aba b>+12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（）A ．0B ．1C ．32D ．313．下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是（）A ．21y x =-+B ．3y x =C ．||1y x =-+D ．y =三、填空题14．不等式2450x x --+≤的解集为．（用区间表示）15．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是______________________.16．定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数op 若函数op 在()0,+¥上为增函数，且()10f =则不等式()0f x x<的解集为．17．若关于x 的不等式2log 0a x x -<在(0,2内恒成立，则a 的取值范围是．四、解答题18．设集合{|25}A x x =-≤≤,{|121}B x m x m =-≤≤+.（1）若A B =∅ ，求m 的范围；（2）若A B A = ，求m 的范围.19．（1）设12tan α=-，求2212sin sin cos cos αααα--的值；（2）已知cos （75°+α）13=，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos （15°﹣α）的值．20．设集合{}2320A xx x =-+=∣，集合(){}22150B x x a x a =+-+-=∣．(1)若{}2A B = ，求实数a 的值；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．21．已知函数()211x f x x -=+.(1)求函数的定义域；(2)试判断函数在()1,∞-+上的单调性；(3)试判断函数在[]3,5x ∈的最大值和最小值.22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数（1）求a 的值（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性（3）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．23．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值；(2)若(1)2f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。
甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知函数，的一个零点是，图象的一条对称轴是直线，下列四个结论：①；②；③；④直线是图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2.若单位向量满足，向量满足，则（ ）.A．B．C．D．3. 直线和圆x 2+y 2–4x +2y –20=0的位置是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相离D ．相切4.若,则等于（ ）A．B．C．D．5. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是A．B．C．D．6. 已知双曲线的一条渐近线为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为A．B．C．D．7. 已知单位向量，满足，则与的夹角是（ ）A．B．C．D．8.已知平面非零向量满足，则的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．169. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，则（）A ．存在，使得B ．存在，使得平面C ．当时，取最小值D ．当时，存在，使得甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题 (2)甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知复数､，以下四个说法中正确的是（ ）A．B．若，则C．D ．若是方程的虚根，则､互为共轭复数11.已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）A ．平均数不变B ．中位数不变C ．极差变小D ．方差变小12. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交且所截最短弦长为D ．直线与圆可以相切13. 已知，则___________.14. 已知菱形的边长为,,则等于________.15. 若不等式对恒成立，则实数a 的取值范围为_________．16. 如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．（1）求 与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.17. 甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1，2，3，4，5，6的6个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否则乙赢．（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．18. 已知函数，且．(1)求实数a 的取值范围；(2)已知，证明：．19. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，(1)求的值.(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.20.如图，在三棱锥中，，，.(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点.（1）求证：MN//平面PAB；（2）求证：BC⊥PC.。
兰州一中2023初一分班考试数学真题
兰州一中2023初一分班考试数学真题一、选择题1. 某班有35个学生，其中有15个男生。
下列哪个比例最接近男生人数与总人数的比例？A) 1:2B) 2:3C) 3:5D) 4:72. 在一次考试中，小明得了85分，小红得了90分，小张得了95分。
他们的平均分是多少？A) 90分B) 91分C) 93分D) 94分3. 下列哪个角度最小？A) 45°B) 60°C) 75°D) 90°4. 一个矩形的长是12cm，宽是8cm。
这个矩形的面积是多少平方厘米？A) 64平方厘米B) 76平方厘米C) 96平方厘米D) 120平方厘米5. 用一个球形的糖果盒去装一个立方体的铅笔盒，哪个形状更为合适？A) 球形糖果盒B) 立方体铅笔盒C) 两者一样合适二、填空题1. 345 ÷ 15 = ______2. 42 × 7 = ______3. (18 + 5) × 2 - 10 = ______4. 雅典的时差比兰州早6小时，如果现在兰州的时间是下午4点，那么雅典的时间是______。
5. 请计算：13² + 7² = ______三、解答题1. 甲、乙两个人一起修筑一座墙，甲每天工作6个小时，乙每天工作5个小时。
如果他们分别单独完成这座墙所需的时间相等，求乙完成整座墙所需的天数。
2. 一个矩形花坛的长是20m，宽是15m，现在需要在这个花坛的周围栽上一圈花，每株花占地面积0.5m²。
请计算，总共需要多少株花？3. 求一个整数，它除以3余2，除以5余3，除以7余4。
四、解答题（证明题）已知：∠ABC = 90°，AD ⊥ BC，AE ⊥ AC证明：AB² = BD × BC五、应用题小明购买了一本价值120元的书籍，商店推出了8折的优惠活动。
同时，小明使用了一张面值10元的代金券。
甘肃省兰州一中2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
甘肃省兰州一中2025届高三六校第一次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎝⎭2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 3．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>5．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元7．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=8．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．329．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．7210．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）A ．10110B ．9110C ．11111D ．1221112．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省兰州一中复数单元测验试卷 百度文库
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i + D ．13i + 3．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 5．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．iC iD i 6．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1B C D ．5 7．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-110．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．811．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -13．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5BC ．2D 14．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 15．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为19．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 20．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 22．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =23．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称24．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i 5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 27．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数28．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．B【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解.【详解】，.故选：B.解析：B【分析】 利用复数的除法法则可化简1i z+，即可得解. 【详解】 2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B. 3．B对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.4．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 5．D 【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】所以，故选：D解析：D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 6．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.7．B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B 8．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ．9．B【分析】可得，即得.【详解】由，得a ＝1.故选：B ．解析：B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ． 10．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D11．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.12．D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D13．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 14．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z==，故D正确.故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A错误；，B正确；z的共轭复数为，C错误；z的虚部为，D正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz=-+分子分母同时乘以1i--，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)iz ii i i--===---+-+--，||z∴=A错误；22iz=，B正确；z的共轭复数为1i-+，C错误；z的虚部为1-，D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.21．BC【分析】由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.23．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．24．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-； 因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102zz ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.27．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 28．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模29．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误； 当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
甘肃省兰州重点中学2023年普通高中合格性考试数学模拟试题
兰州一中2023年普通高中合格性考试模拟试卷数学学科本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（本大题共12 小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．已知集合{|21},{2,1,0}A x x B =−<≤=−−，则A B =（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限．已知向量a 与单位向量b 的夹角为2a =，则b 在a 方向上的投影向量为（14a ．12b 12a ．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ D9．已知a ＝log 3 72，b ＝⎝⎛⎭⎫143，c ＝131log 5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ． c >b >a10．长方体 中，12AA AB ==，M 为AB 的中点，1D M MC ⊥，则AD =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(x ∈R )，现给出下列四个结论，其中正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的最大值为2C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 D ．将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin 2xA ．[2,0)(0,2]−B ．(,2][2,)−∞−+∞C ．(,2](0,2]−∞−D ．[2,0)[2,)−+∞二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） ，96，97，则这名党员学习成绩的．已知向量()3,2a =−，()2,b λ=，若()a ab ⊥−，则λ=31x≥−的解集是 ． 2=，则)2sin π22cos 1αα+−的值为 .1111ABCD A B C D −17．对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩. 设函数()3f x x =−+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是 .三、解答题：本大题共3小题，共32分。
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2012年兰州一中实验班招生试题数 学满分1５０分，时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题５分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．相交两圆的公共弦长为6,两圆的半径分别为32和５,则这两圆的圆心距等于（ ） A.2 Ｂ.7 C.2或6 D.1或7 2．如图,在等腰R ｔ△A ＢC 中，∠C =９０o ，AC =6,D 是A Ｃ上一点，若ta ｎ∠DBA ＝51,则A Ｄ的长为( ) A ． 2 B .3 C .2 D ．１ 3.已知n m ,是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a的值等于（ ）A ．－5 Ｂ.5 Ｃ． -9 D .94．如图，已知正方形A ＢCD 的边长为４ ,E 是B Ｃ边上的一个动点，AE ⊥ＥF ， E Ｆ交ＤC 于F , 设ＢＥ=x ，ＦC=y ,则当点Ｅ从点Ｂ运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是（ )．5．若实数ｘ,y 满足224250,x y x y +--+=则32x y y x+- 的值是( ）Ａ．1 B.322+ C ．３-22 Ｄ．3 ＋22 6.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数ac bx y -=与反比例函数x cb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）7.小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示.如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变,那么他从学校回到家需要的时间是( )A.８.６分钟 ﻩＢ.9分钟 C.12分钟 ﻩ D ．1６分钟８.方程x ２+2x －1＝０的根可看成函数y =x +２与函数1y x=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x 3+x －１＝0的实根x 所在范围为（ )A. 102x -<< B ．112x << C ．102x << D.312x <<二、填空题（把答案填在题中的横线上.6小题,每小题6分，共36分)9.某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%.若该书的进价为２１元,则标价为 元．10．已知R ｔΔABC 中,斜边B Ｃ上的高A Ｄ=4,cosB=54,则AC ＝ _＿_____ . 1１.某厂第一季度共生产钢1９０吨,二、三月份共生产钢15０吨，则平均每月的增长率是_＿___＿__.1２.如图，AB 与C Ｄ相交于Ｅ,ＤA ∥EF ∥B Ｃ,且ＡE ：E Ｂ=1:２,△ＡDE 的面积为1,则△AEF 的面积是__＿＿_＿___.y xO y xO y xO y xO 1- 1O xy第6题图１3.如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成两个扇形,同时转动两个转盘,转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是_____＿___＿___.14.将半径为4cｍ的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时,圆柱的底面半径是_______＿___cm．120°121 2答案一、选择题1．Ｄ 2.Ａ 3.C 4．A ５.Ｄ ６.Ｂ 7．C ８．B 二、填空题9. 28 1０． 5 １1. ５０% 12．23 13． 131４． 1 三、解答题（解答时，必须写出必要的解题步骤.6小题,共74分)1５. (本题满分12分）已知关于ｘ的方程014)3(222=--+--k k x k x ．（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围；（2)若这个方程有一个根为1,求k 的值;(3)若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy =的图象上,求满足条件的ｍ的最小值. 解: (１)由题意得△=()[]()1443222--⨯---k k k ≥0化简得 102+-k ≥0，解得k ≤５.…………….４分(2）将１代入方程，整理得2660k k -+=，解这个方程得 13k =，23k = (8)(3）设方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为1x ,2x ，根据题意得12m x x =.又由一元二次方程根与系数的关系得21241x x k k =--,那么()521422--=--=k k k m ,所以,当k =2时m 取得最小值-5……….１２分１６.(本题满分１2分)保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2０11年1 月的利润为２０0万元．设201１年1 月为第1个月,第x 个月的利润为ｙ万元.由于排污超标,该厂决定从2０11年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降，从1月到5月，ｙ与x 成反比例．到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加２0万元(如图)．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?解：⑴①当１≤x ≤５时，设ky x=,把(１，2０0)代入,得200k =，即200y x=；…………….2分 ②当5x =时，40y =,所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-;…………….4分⑵当ｙ=2０0时,２0x -6０=200，x=13,所以治污改造工程顺利完工后经过13-5＝８个月后,该厂利润达到2０0万元;…………….8分 ⑶对于200y x=，当y =1０0时,x =2；对于y =２0x -60，当y =100时，x ＝8,所以资金紧张的时间为8-2＝6个月．……………．1２分17.(本题满分12分)数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题:1+2+3+4+5+…+9９+100=？高斯很快得出了答案,他的计算方法是:１＋２+3+4+5+…+99+100＝(1＋100)+(２+99）+(３＋98)+…＋(49+52)+(5０+５1)=5０ × １01＝５050(1) 请你利用上述方法或用其它的方法求s=１+3+5+7+…+［2（n –1）–1]+（２n –1）的计算公式;(2)如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中的中间三角形连结三边中点而得到的，依次类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数,由此推测出第ｎ个图形中三角形的个数,并求出第一个图形到第n 个图形的三角形个数之和.解:(1)s=n 2. …………….6分(2)第二个图形中三角形的个数5; …………….7分 第三个图形中三角形的个数９; ……………．8分 第四个图形中三角形的个数１3； …………….9分 第ｎ个图形中三角形的个数4n –3; ……………1０分第一个图形到与第n 个图形的三角形个数之和为2n 2–n. …………….1２分ﻬ18．(本题满分12分)(1)如图，A 、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧,Ａ工厂到河堤的距离A Ｃ为１k ｍ,B 工厂到河堤的距离BD 为2km ，经测量河堤上C 、D 两地间的距离为6k ｍ．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A 、Ｂ两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C 地多远的地方?（2)通过以上解答,充分展开联想，运用数形结合思想构造图形,尝试解决下面问题:若221(9)4y x x =++-+ ，当x 为何值时，ｙ的值最小，并求出这个最小值．解:（1)延长ＡC 到E,使ＣＥ＝AC,连接EB 交CD 于点P,则点P 就是污水处理厂所在的① ② ③ ……第17题图地方（画出图形).设CP=ｘ,则DP ＝６-ｘ,由点A 与点Ｅ的对称性可知∠APC=∠EPC, 又由对顶角相等可知∠ＢPD=∠ＥPC, ∴∠A ＰC=∠BPD,又∵∠ACP ＝∠B ＤP ＝９0°， ∴△A ＣP ∽△ＢＤＰ，∴AC CPBD DP =∴126x x=-, 解得x=2，所以，污水厂应建在距离Ｃ地2ｋｍ处；…………6分 (2)仿照（1）中建立图形，使AC=1,CD=9,BD=2,设C Ｐ=ｘ, 则221(9)4y x x =+-+21x +即是图中的ＡＰ，2(9)4x -+的ＢP ．所以221(9)4y x x =+-+A Ｐ＋BP 的最小值，仿照（1）中找到点Ａ关于直线CD 的对称点E ，连接EB,与CD 的交点就是所求的点P. 由△ＡCP ∽△BDP,得AC CPBD DP= ∴129xx=-, 解得ｘ＝３,所以当x＝3时，y=最小值是y==． (12)19.（本题满分13分)如图，⊙Ｏ的半径为1,点P 是⊙O 上一点，弦A Ｂ垂直平分线段OP ,点D 是APB 上任一点(与端点Ａ、B 不重合),ＤＥ⊥AB 于点E ，以点Ｄ为圆心、DE 长为半径作⊙D ,分别过点Ａ、B 作⊙D 的切线,两条切线相交于点C ．(１）求弦A Ｂ的长;(2）判断∠ＡCB 是否为定值,若是,求出∠ACB 的大小;否则,请说明理由；(3)记△A ＢC 的面积为S ,若2SDE＝43，求△ABC 的周长.解:(1）连接O Ａ,取ＯP 与A Ｂ的交点为F ,则有O Ａ=１．∵弦ＡＢ垂直平分线段O Ｐ,∴OF ＝12ＯＰ＝12,AF =BF ． 在Rt △ＯA Ｆ中，∵AF =22OA OF -=2211()2-＝3,∴AＢ=2AF ＝3．…………….4分（2)∠A ＣB 是定值．理由：由(1)易知,∠AOB ＝１20°，因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、ＢＤ，则∠ＣA Ｂ=2∠ＤAE ，∠C ＢA =2∠D ＢA ,因为∠DAE ＋∠ＤBA =12∠A ＯB =60°,所以∠C ＡB ＋∠CB Ａ＝12０°,所以∠ＡCB =60°； (8)（3）记△ABC 的周长为l ,取ＡC ,BC 与⊙Ｄ的切点分别为G ,H ，连接DG ，DC ,DH ,则有DG =DH =DE ,DG ⊥AC ,ＤH ⊥BC ．∴ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆=++＝12AB •ＤE +12BC •DH +12AC •DG ＝12（A Ｂ+BC +AC ) •DE ＝12l •DE . ∵2S DE =４3,∴212l DEDE ＝４3,∴l ＝83DE.∵ＣG ,ＣH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝12∠ＡＣB ＝３０°, F C PD OBAEH G∴在Rt △CG Ｄ中,CG ＝tan30DG =3=3ＤＥ,∴CH =ＣＧ＝3ＤE .又由切线长定理可知ＡG =ＡE ,ＢH =B Ｅ， ∴l =ＡB ＋BC +ＡC =２3＋23D Ｅ=83DE ，解得DE ＝13,∴△AB Ｃ的周长为83． (3)ﻬ20.(本题满分１３分）如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y ,Ｃ2：()512+--=x a y ，C 1与Ｃ２的交点为A ， B ,点Ａ的坐标是)4,2(,点Ｂ的横坐标是-2． (1)求a 的值及点B 的坐标；（2)点D 在线段AB 上，过D 作x 轴的垂线,垂足为点Ｈ，在DH 的右侧作正三角形D ＨG . 记过C 2顶点M 的 直线为l ,且l 与x 轴交于点Ｎ.① 若l 过△D ＨG 的顶点G ，点D 的坐标为(１，2），求点N 的横坐标;② 若l 与△DHG 的边D Ｇ相交，求点Ｎ的横坐标的取值范围.解:(1）∵ 点A )4,2(在抛物线C １上,∴ 把点A 坐标代入()512-+=x a y 得 a =１. …………….2分∴ 抛物线C １的解析式为422-+=x x y , 设B （－2,ｂ）， ∴ b =-4， ∴ B (-２,－4) . …………….4分 （2)①如图1,∵ M (1， 5）,D (1, 2), 且DH ⊥x 轴,∴ 点M 在D Ｈ上,M Ｈ=5． 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为Ｅ,由△ＤH Ｇ是正三角形,可得EG=3, ＥH =1, ∴ ＭE =4． 设N （ x , 0 ), 则 ＮＨ＝ｘ-1,由△ME Ｇ∽△MHN ,得 HNEGMH ME =， ∴ 1354-=x , ∴ =x 1345+,∴ 点N 的横坐标为1345+． …………….８分图1---- ② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图２,直线l 与DG 交于点G ,此时点N 的横坐标最大. 过点G ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F ,设Ｎ(x ,0）,∵ A （2， ４）, ∴ Ｇ （322+, 2）,∴ NQ ＝322--x ,ＮＦ ＝1-x , ＧQ =2， M Ｆ =5. ∵ △N ＧQ ∽△NM Ｆ,∴ MF GQNF NQ =,∴ 521322=---x x ,∴ 38310+=x . …………….10分当点Ｄ移到与点Ｂ重合时，如图３,直线l 与DG 交于点D ,即点B ,此时点Ｎ的横坐标最小.∵ B (－2， -4), ∴ H （-2, 0）, D (-２, －4), 设N (x ，0)，∵ △B ＨN ∽△M ＦＮ， ∴ MF BHFN NH =,∴ 5412=-+x x , ∴ 32-=x ． ……12分∴ 点N 横坐标的范围为 32-≤ｘ≤38310+. (3)图3 图4。